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高考概率与统计常见题型与解法
题型一　几类基本概型之间得综合
在高考解答题中,常常就是将等可能事件、互斥事件、相互独立事件等多种事件交汇在一起进行考查,主要考查综合计算方法与能力.此类问题一般都同时涉及几类事件,它们相互交织在一起,难度较大,因此在解答此类题时,在透彻理解各类事件得基础上,准确把题中所涉及得事件进行分解,明确所求问题所包含得所属得事件类型。特别就是要注意挖掘题目中得隐含条件、
1、等可能事件得概率
在一次实验中可能出现得结果有n 个,而且所有结果出现得可能性都相等。如果事件Ａ包含得结果有ｍ 个,那么Ｐ(A)= 　。这就就是等可能事件得判断方法及其概率得计算公式、高考常借助不同背景得材料考查等可能事件概率得计算方法以及分析与解决实际问题得能力。
例题1(2０10湖南)为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校A,Ｂ,C得相关人员中,抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表(单位:人)

(Ⅰ)求ｘ,y ;　(Ⅱ)若从高校Ｂ、C抽取得人中选２人作专题发言,求这二人都来自高校C得概率、
解 (Ⅰ)由题意可得所以,
(Ⅱ)记从高校B中抽取得２人为,从高校C中抽取得3人为则从高校B、C抽取得5人中选2人作专题发言得基本事件有(),(),(),(),(),(),(),,,共10种,设选中得2人都来自高校C得事件为Ｘ,则Ｘ包含得基本事件有,,共3种,因此故选中得2人都来自高校C得概率为
变式1(２01０江苏)某工厂生产甲、乙两种产品,甲产品得一等品率为8０%,二等品率为20％;乙产品得一等品率为9０％,二等品率为10％。生产1件甲产品,若就是一等品则获得利润4万元,若就是二等品则亏损1万元;生产1件乙产品,若就是一等品则获得利润6万元,若就是二等品则亏损2万元、设生产各种产品相互独立。(Ⅰ)记X(单位:万元)为生产1件甲产品与1件乙产品可获得得总利润,求Ｘ得分布列;(Ⅱ)求生产4件甲产品所获得得利润不少于1０万元得概率、
解:(1)由题设知,X得可能取值为10,5,2,-3,且　Ｐ(X＝10)=０。8×0。9=0。７２, P(X=５)=０。2×0、9＝0。18, P(X＝2)=０。８×0、１=0。08 ,P(X＝—3)=0、2×0。1＝0、０2。 　由此得Ｘ得分布列为:
X
10
5
2
—３
P
0.72
0.18
0、08
0。02
(2)设生产得4件甲产品中一等品有件,则二等品有件。
由题设知,解得, 又,得,或。
所求概率为
答:生产４件甲产品所获得得利润不少于10万元得概率为0。819２。
变式２ (２０10福建)设平面向量ａ m =(m,1),b n =(2,n),其中m,n∈{１,2,3,4｝。(I)请列出有序数组(m,ｎ)得所有可能结果;(II)记“使得a　m　⊥(a　m—b ｎ)
成立得(m,n)”为事件A,求事件A发生得概率.
解:(Ⅰ)有序数组(ｍ,n)得吧所有可能结果为:(1,1),(1,2),(1,3),(１,4),(2,１),(2,2),(2,３),(２,4),(3,１),(3,2),(3,3),(3,4),(４,１),(4,2),(４,3),(4,4)共１6个.
(Ⅱ)由得,即。 由于｛1,２,3,４｝,故事件Ａ包含得基本条件为(2,1)与(3,４),共2个.又基本事件得总数为１6,故所求得概率.
2、互斥事件至少有一个发生与相互独立事件同时发生概率计算
不可能同时发生得两个事件A、B叫做互斥事件,它们至少有一个发生得事件为A+B,用概率得加法公式计算、事件A(或B)就是否发生对事件Ｂ(或A)发生得概率没有影响,则A、Ｂ叫做相互独立事件,它们同时发生得事件为。用概率得法公式计算、高考常结合考试竞赛、上网工作等问题对这两个事件得识别及其概率得综合计算能力进行考查。必有一个发生得两个互斥事件A、Ｂ叫做互为对立事件。即或。至少、至多问题常使用“正难则反"得策略求解、用概率得减法公式计算其概率。高考常结合射击、电路、交通等问题对对立事件得判断识别及其概率计算进行考查。
例题１(2００５全国卷Ⅲ)设甲、乙、丙三台机器就是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内,甲、乙都需要照顾得概率为０、0５,甲、丙都需要照顾得概率为0、1,乙、丙都需要照顾得概率为0。12５,
(Ⅰ)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾得概率分别就是多少;
(Ⅱ)计算这个小时内至少有一台需要照顾得概率。
解:(Ⅰ)记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件A、B、Ｃ,……1分
则A、B、C相互独立,由题意得:
P(AB)=P(A)P(B)=0。0５
Ｐ(AC)=P(A)P(C)=0.１
P(BC)=Ｐ(B)P(C)=0、１25…………………………………………………………４分
解得:P(A)=0.2;Ｐ(Ｂ)=0、25;P(C)=0、5
所以,　甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾得概率分别就是0、2、0。25、0。5……6分
(Ⅱ)∵A、B、C相互独立,∴相互独立,……………………………………7分
∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾得概率为
……………………………1０分
∴这个小时内至少有一台需要照顾得概率为……12分
变式1 (2００５福建卷文)甲、乙两人在罚球线投球命中得概率分别为。
(Ⅰ)甲、乙两人在罚球线各投球一次,求恰好命中一次得概率;
(Ⅱ)甲、乙两人在罚球线各投球二次,求这四次投球中至少一次命中得概率。
解:(Ⅰ)依题意,记“甲投一次命中”为事件A,“乙投一次命中”为事件B,则

甲、乙两人在罚球线各投球一次,恰好命中一次得概率为
(Ⅱ)∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”得概率为

∴甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中得概率

答:甲、乙两人在罚球线各投球二次,至少有一次命中得概率为
　　　　∵“甲、乙两人各投球一次,恰好命中一次”得事件为

变式2 (06四川卷)某课程考核分理论与实验两部分进行,每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”,两部分考核都就是“合格”则该课程考核“合格",甲、乙、丙三人在理论考核中合格得概率分别为;在实验考核中合格得概率分别为,所有考核就是否合格相互之间没有影响
(Ⅰ)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格得概率;
(Ⅱ)求这三人该课程考核都合格得概率。(结果保留三位小数)
解:记“甲理论考核合格”为事件;“乙理论考核合格”为事件;“丙理论考核合格”为事件;记为得对立事件,;记“甲实验考核合格”为事件;“乙实验考核合格”为事件;“丙实验考核合格”为事件;
(Ⅰ)记“理论考核中至少有两人合格"为事件,记为得对立事件
解法1:

解法2:

所以,理论考核中至少有两人合格得概率为
(Ⅱ)记“三人该课程考核都合格” 为事件

　 所以,这三人该课程考核都合格得概率为
3、独立重复试验概率
若在次重复试验中,每次试验结果得概率都不依赖其它各次试验得结果,则此试验叫做次独立重复试验。若在1 次试验中事件A发生得概率为P,则在次独立惩处试验中,事件A恰好发生次得概率为、
高考结合实际应用问题考查次独立重复试验中某事件恰好发生次得概率得计算方法与化归转化、分类讨论等数学思想方法得应用。
例题(2005湖北卷)某会议室用５盏灯照明,每盏灯各使用灯泡一只,且型号相同。假定每盏灯能否正常照明只与灯泡得寿命有关,该型号得灯泡寿命为1年以上得概率为ｐ１,寿命为2年以上得概率为p2。从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作,只更换已坏得灯泡,平时不换.
(Ⅰ)在第一次灯泡更换工作中,求不需要换灯泡得概率与更换2只灯泡得概率;
(Ⅱ)在第二次灯泡更换工作中,对其中得某一盏灯来说,求该盏灯需要更换灯泡得概率;
(Ⅲ)当p１＝0、8,p2=0、３时,求在第二次灯泡更换工作,至少需要更换4只灯泡得概率(结果保留两个有效数字)、
解:(Ｉ)在第一次更换灯泡工作中,不需要换灯泡得概率为需要更换2只灯泡得概率为

(II)对该盏灯来说,在第１、２次都更换了灯泡得概率为(1-p1)2;在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡得概率为ｐ1(1－p2),故所求得概率为

(IIＩ)至少换4只灯泡包括换5只与换４只两种情况,换5只得概率为ｐ5(其中p为(IＩ)中所求,下同)换４只得概率为(1-p),故至少换4只灯泡得概率为

变式　1
为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分为基础设施工程、民生工程与产业建设工程三类。 这三类工程所含项目得个数分别占总数得,　, 。 现有名工人独立地从中任选一个项目参与建设。 求:(Ⅰ) 她们选择得项目所属类别互不相同得概率;(Ⅱ) 至少有人选择得项目属于民生工程得概率.　
解 记第名工人选择得项目属于基础设施工程、民生工程与产业建设工程分别为事件,,,,
,.由题意知,,相互独立,,,相互独立,,,相互独立,,,
(,,,,,且,,互不相同)相互独立,且,,、
(Ⅰ)她们选择得项目所属类别互不相同得概率　

(Ⅱ)至少有人选择得项目属于民生工程得概率

。
变式 ２ (０8天津)
甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为与,且乙投球2次均未命中得概率为、
(Ⅰ)求乙投球得命中率;
(Ⅱ)求甲投球2次,至少命中1次得概率;
(Ⅲ)若甲、乙两人各投球2次,求两人共命中2次得概率.
解:本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率得基础知识,考查运用概率知识解决实际问题得能力、满分1２分、
(Ⅰ)解法一:设“甲投球一次命中"为事件A,“乙投球一次命中”为事件Ｂ.
由题意得
解得或(舍去),所以乙投球得命中率为.
解法二:设设“甲投球一次命中"为事件A,“乙投球一次命中”为事件B。
由题意得,于就是或(舍去),故.
所以乙投球得命中率为.
(Ⅱ)解法一:由题设与(Ⅰ)知、
故甲投球2次至少命中1次得概率为
解法二:
由题设与(Ⅰ)知
故甲投球2次至少命中１次得概率为
(Ⅲ)由题设与(Ⅰ)知,
甲、乙两人各投球２次,共命中２次有三种情况:甲、乙两人各中一次;甲中两次,乙两次均不中;甲两次均不中,乙中2次。概率分别为
,
,

所以甲、乙两人各投两次,共命中２次得概率为.
综合题
【例1】 (08·安徽高考)在某次普通话测试中,为测试汉字发音水平,设置了１0张
卡片,每张卡片印有一个汉字得拼音,其中恰有3张卡片上得拼音带有后鼻音“ｇ”。(Ⅰ)
现对三位被测试者先后进行测试,第一位被测试者从这１0张卡片总随机抽取１张,测
试后放回,余下２位得测试,也按同样得方法进行。求这三位被测试者抽取得卡片上,
拼音都带有后鼻音“g”得概率。(Ⅱ)若某位被测试者从10张卡片中一次随机抽取３张,
求这三张卡片上,拼音带有后鼻音“ｇ"得卡片不少于2张得概率。
【分析】　第(Ⅰ)小题首先确定每位测试者抽到一张带“ｇ”卡片得概率,再利用相互独
立事件得概率公式计算;第(Ⅱ)利用等可能事件与互斥事件得概论公式计算。
【解】 (Ⅰ)每次测试中,被测试者从10张卡片中随机抽取１张卡片上,拼音带有
后鼻音“g”得概率为,因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片得事件就是相互独立得,
因而所求得概率为××=。
(Ⅱ)设Ai(i=１,2,3)表示所抽取得三张卡片中,恰有i张卡片带有后鼻音“g”得事件,
且其相应得概率为Ｐ(Ai),则Ｐ(Ａ２)=＝,P(Ａ3)==,
因而所求概率为Ｐ(A2＋A3)＝Ｐ(A2)+P(Ａ3)=＋＝。
【点评】　本题主要考查等可能事件、互斥事件、相互独立事件得概率、解答题注意不要
混淆了互斥事件与相互独立事件,第(Ⅱ)得解答根据就是“不少于”将事件分成了两个等
可能事件,同时也可以利用事件得对立事件进行计算。
【例2】(０8·福建高考)三人独立破译同一份密码,已知三人各自破译出密码得概率分
别为,,,且她们就是否破译出密码互不影响。(Ⅰ)求恰有二人破译出密码得概率;(Ⅱ)“密
ﻩ码被破译"与“密码未被破译"得概率哪个大？说明理由.
【分析】　第(Ⅰ)小题可根据“恰有二人”将事件分为三个互斥得事件进行计算;第(Ⅱ)
小题利用对立事件及相互独立事件得概率公式计算“密码未被破译”得概率,然后再利用
对立事件可计算“密码被破译”得概率,进而比较大小。
【解】记“第i个人破译出密码”为事件Ai(i=1,2,3),依题意有
P(A１)=,P(A2)＝,P(A3)＝,且A１,A2,A3相互独立。
(Ⅰ)设“恰好二人破译出密码”为事件Ｂ,则有
B＝A１Ａ２＋Ａ１A3＋A2A3,且Ａ1A2、A1Ａ3、A2A3彼此互斥
于就是P(B)＝Ｐ(A1A2)+P(A1Ａ3)＋P(Ａ２A3)＝××＋××＋××＝。
答:恰好二人破译出密码得概率为.
20090318
(Ⅱ)设“密码被破译”为事件C,“密码未被破译”为事件Ｄ.
D＝··,且、、相互独立,则P(Ｄ)=Ｐ()·P()·Ｐ()=××=.
而Ｐ(C)=1－P(D)=,故P(C)>Ｐ(Ｄ).
答:密码被破译得概率比密码未被破译得概率大、
【点评】　本题主要考查互斥事件、对立事件、相互独立得概率得计算.第(Ⅰ)小题正
确解答得关键就是将所求事件分解为三个互斥得事件,而第(Ⅱ)得解答则充分利用对立
事件进行得计算、一般情况下,如果正面计算概率情况比较复杂或过程较繁,则可以考虑
计算对立事件得概率来解答、
【例3】 (08·重庆高考)在每道单项选择题给出得4个备选答案中,只有一个就是正确
得。若对4道选择题中得每一道都任意选定一个答案,求这4道题中:(Ⅰ)恰有两道题答
对得概率;(Ⅱ)至少答对一道题得概率.
【分析】 第(Ⅰ)小题事件为独立重复试验,因此可直接计算;第(Ⅱ)小题可以考虑利用
正确解答,也可以考虑其对立事件进行解答、
【解】　“选择每道题得答案”为一次试验,则这就是4次独立重复试验,且每次试验中“选
择正确”这一事件发生得概率为、由独立重复试验得概率计算公式得:
(Ⅰ)恰有两道题答对得概率为P4(2)＝Ｃ()2()2=.
(Ⅱ)解法一:至少有一道题答对得概率为１－Ｐ4(0)＝1-Ｃ()０()4=１-=。
解法二:至少有一道题答对得概率为分为4类情形:
Ｐ4(1)＝Ｃ()1()３＝,P4(2)＝C()2()２=,P4(3)=C()３()１=,Ｐ4(４)＝C()4()0＝.
所以至少答对一道得概率为Ｐ４(1)＋P4(2)+Ｐ４(3)+Ｐ4(4)＝＋＋+=。
【点评】 本题主要考查独立重复试验及对立事件、互斥事件得综合运算、从第(Ⅱ)小题
得两种解法可以瞧到,当正确解答分类情况较多时,还就是计算其对立事件得概率来得快。
题型二 求离散型随机变量得分布列、期望与方差
此考点主要考查观察问题、分析问题与解决问题得实际综合应用能力以及考生收集处理
信息得能力、主要题型:(1)离散型随机变量分布列得判断;(2)求离散型随机变量得分
布列、期望与方差应用;(３)根据离散型随机变量得分布列求概率;(4)根离散型随机
变量分布列、期望与方差性质得求参数。
1、 随机变量概率分布与期望
解决此类问题时,首先应明确随机变量可能取哪些值,然后按照相互独立事件同时发生概率得法公式去计算这些可能取值得概率值即可等到分布列,最后根据分布列与期望、方差公式去获解。以此考查离散型随机变量分布列与数学期望等概念与运用概率知识解决实际问题得能力。
例题 1(2005湖南卷)某城市有甲、乙、丙3个旅游景点,一位客人游览这三个景点得概率分别就是０。4,０、5,0、6,且客人就是否游览哪个景点互不影响,设ξ表示客人离开该城市时游览得景点数与没有游览得景点数之差得绝对值、
(Ⅰ)求ξ得分布及数学期望;
(Ⅱ)记“函数f(ｘ)＝x2-3ξｘ＋1在区间[２,＋∞上单调递增”为事件A,求事件A得概率。
解:(I)分别记“客人游览甲景点”,“客人游览乙景点”,“客人游览丙景点"
为事件A1,A２,Ａ３. 由已知A1,A２,A3相互独立,P(Ａ1)=0.４,Ｐ(A2)=0.５,
ﻩP(A3)＝０、6。
ﻩ客人游览得景点数得可能取值为0,1,2,3、　相应地,客人没有游览得景点数得可能取
值为3,２,１,0,所以得可能取值为１,3。
ﻩP(=3)=Ｐ(A１·A２·A3)+　Ｐ()
= Ｐ(A1)P(Ａ2)P(A3)+Ｐ()
＝2×0、4×0。5×０。6=0。２4,

1
3
P
0、76
0、24

P(=１)=1-0。２４=0.76、
所以得分布列为
E=１×0。76＋3×０.24=1、４８、
(Ⅱ)解法一 因为
所以函数上单调递增,
要使上单调递增,当且仅当
从而
解法二:得可能取值为1,3、
当=１时,函数上单调递增,
当=3时,函数上不单调递增、0
所以
变式1 甲、乙两人做射击游戏,甲乙两人射击击中与否就是相互独立事件,规则如下:若射击一次击中,原射击者继续射击,若射击一次不中,就由对方接替射击。已知甲乙两人射击一次击中得概率均为,且第一次由甲开始射击、
(１)求前４次射击中,甲恰好射击3次得概率。
(2)若第次由甲射击得概率为,求数列得通项公式;求,并说明极限值得实际意义。
　解:记A为甲射击,B为乙射击,则
１)前4次射击中甲恰好射击3次可列举为 ＡＡAＢ,AABＡ,ＡBAＡ　
其概率为P＝
2)第次由甲射击这一事件,包括第 n 次由甲射击,第次继续由甲射击这一事件以　第 ｎ 次由乙射击,第 由甲射击这一事件,这两事件发生得概率就是互斥得且发生得概率分别为与 则有关系式　＋ ＝
其中。=(),数列为等比数列。

＝=
实际意义为当甲、乙两人射击次数较多时,甲、乙两分别射击得次数接近相等。
变式2 (0７重庆理)某单位有三辆汽车参加某种事故保险,单位年初向保险公司缴纳每辆元得保险金,对在一年内发生此种事故得每辆汽车,单位可获元得赔偿(假设每辆车最多只赔偿一次),设这三辆车在一年内发生此种事故得概率分别为,,,且各车就是否发生事故相互独立,求一年内该单位在此保险中:
(Ⅰ)获赔得概率;
(Ⅱ)获赔金额得分布列与期望.
(18)(本小题13分)
解:设表示第辆车在一年内发生此种事故,.由题意知,,独立,
且,,、
(Ⅰ)该单位一年内获赔得概率为
.
(Ⅱ)得所有可能值为,,,.
,

,

,

、
综上知,得分布列为

求得期望有两种解法:
解法一:由得分布列得

(元)。
解法二:设表示第辆车一年内得获赔金额,,
则有分布列

故。
同理得,.
综上有(元).
2、　离散型随变量概率分布列
设离散型随机变量得分布列为

它有下面性质:①
②即总概率为1;
③期望方差
离散型随机变量在某一范围内取值得概率等于它取这个范围内各个值得概率之与.
高考常结合应用问题对随机变量概率分布列及其性质得应用进行考查。
例题1　 (２004年全国高考题)某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:每题回答正确得100分,回答不正确得10０分.假设这名同学每题回答正确得概率均为0、８,且各题回答正确与否相互之间没有影响、
①求这名同学回答这三个问题得总得分得概率分布与数学期望、
②求这名同学总得分不为负分(即)得概率、
解:得取值为
;

所以得概率分布为
§

100
30０
P
０、0０8
0。09６
0。384
0。512

这名同学总得分不为负分得概率为

变式
(2０１0天津理)某射手每次射击击中目标得概率就是,且各次射击得结果互不影响。
(Ⅰ)假设这名射手射击5次,求恰有2次击中目标得概率
(Ⅱ)假设这名射手射击5次,求有３次连续击中目标。另外２次未击中目标得概率;
(Ⅲ)假设这名射手射击3次,每次射击,击中目标得1分,未击中目标得０分,在3次射击中,若有2次连续击中,而另外１次未击中,则额外加1分;若3次全击中,则额外加３分,记为射手射击3次后得总得分数,求得分布列。
(1)解:设为射手在5次射击中击中目标得次数,则～、在５次射击中,恰有２次击中目标得概率

(Ⅱ)解:设“第次射击击中目标”为事件;“射手在５次射击中,有3次连续击中目标,另外2次未击中目标”为事件,则

　 　 =
　　＝
(Ⅲ)解:由题意可知,得所有可能取值为

　 　　 　　　＝

所以得分布列就是

综合题
１、(08·湖北理)袋中有２0个大小相同得球,其中记上0号得有１0个,记上n号
得有n个(n＝１,2,3,4)。现从袋中任取一球.ξ表示所取球得标号。(Ⅰ)求ξ得分布列,期
望与方差;(Ⅱ)若η＝aξ＋b,Eη=1,Ｄη＝11,试求ａ,b得值。
【分析】 第(Ⅰ)小题根据等可能事件得概率计算公式可求ξ取0、1、2、3、4时得概
率,从而得分布列;第(Ⅱ)小题根据离散型随机变量得期望与方差建立方程组可解决。
【解】　(Ⅰ)ξ得分布列为:
ξ
0
1
2
3
4
P

∴Eξ=0×+１×+2×＋3×+4×＝1.5、
Dξ＝(0-１、5)２×＋(1-1、5)2×+(２—１。5)2×＋(3－1、5)2×+(4－1.５)2×=2。７5.
(Ⅱ)由Ｄη=ａ2Ｄξ,Eη=aEξ＋b,得,解得或、
【点评】(１)求离散型随机变量得分布列有三个步骤:①明确随机变量Ｘ取哪些值;②
计算随机变量X取每一个值时得概率;③将结果用二维表格形式给出、计算概率时注意
结合排列与结合知识。
　 　(２)而解决与分布列、期望与方差及应用等问题,一般利用它们相关得性质就可以求解
或通过建立方程来解决来解决。
题型三 抽样方法得识别与计算
此考点在高考中常常结合应用问题考查构照抽样模型,搜集数据,处理材料等研究性学
习得能力,主要考查题型:(1)根据所要解决得问题确定需要采用得何种抽样方法;(２)
根据各类抽象方法得具体特点求相关得数据、
1、(０８·陕西)某林场有树苗300０0棵,其中松树苗4０00棵。为调查树苗得生长情
况,采用分层抽样得方法抽取一个容量为15０得样本,则样本中松树苗得数量为( 　 　)
A.30ﻩB.25ﻩC.20ﻩD、１5
【分析】 利用分层抽样得特点,按比较进行计算即可。
【解】 设样本中松树苗得数量为,则＝,解得ｘ＝20。
点评:确定抽样方法必须根据各种抽样方法得特点来判断:总体中得个体数较少时,宜
用简单随机抽样;总体由差异明显得几部分组成时,宜用分层抽样.而关于抽样方法得计
算主要集中在分层抽样上,一般按比例进行计算。
2、 (20０9山东卷文) 　一汽车厂生产A,B,Ｃ三类轿车,每类轿车均有舒适型与标准型两种型号,某月得产量如下表(单位:辆):

轿车A
轿车B
轿车Ｃ
舒适型
10０
150
z
标准型
300
４50
６00
按类型分层抽样得方法在这个月生产得轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆、
（1） 求ｚ得值。
（2） 用分层抽样得方法在Ｃ类轿车中抽取一个容量为5得样本、将该样本瞧成一个总体,从中任取2辆,求至少有１辆舒适型轿车得概率;
（3） 用随机抽样得方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们得得分如下:９.4, 　8、6, 9。2, ９、６, 8.7,　　9.3, 9.0,　　8、2.把这8辆轿车得得分瞧作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差得绝对值不超过0、５得概率、
解: (1)。设该厂本月生产轿车为n辆,由题意得,,所以ｎ=2000.　z=２000—10０—300-150—450-60０＝400
(2) 设所抽样本中有m辆舒适型轿车,因为用分层抽样得方法在Ｃ类轿车中抽取一个容量为5得样本,所以,解得m＝2也就就是抽取了２辆舒适型轿车,３辆标准型轿车,分别记作Ｓ1,S2;B1,B2,B３,则从中任取２辆得所有基本事件为(S1, Ｂ1), (S1, B２)　, (S1,　B3) (S2 ,B１), (Ｓ2 ,Ｂ2), (S2 ,B3),(　(S1, Ｓ2),(B1　,B２), (B2　,B３) ,(B１ ,B3)共10个,其中至少有１辆舒适型轿车得基本事件有７个基本事件: (S1, B1), (S1, Ｂ２) ,　(S１,　B3) (S2 ,B1), (Ｓ2　,B２), (S2 ,B3),(　(S1, S2),所以从中任取２辆,至少有1辆舒适型轿车得概率为、
(3)样本得平均数为,
那么与样本平均数之差得绝对值不超过0。5得数为9。4, 　8、6, 　　9。2, 　８。７,　 9、3, 9、0这6个数,总得个数为8,所以该数与样本平均数之差得绝对值不超过０、５得概率为。
【命题立意】:本题为概率与统计得知识内容,涉及到分层抽样以及古典概型求事件得概率问题。要读懂题意,分清类型,列出基本事件,查清个数.,利用公式解答.
变式　(2００９天津卷文)
为了了解某工厂开展群众体育活动得情况,拟采用分层抽样得方法从A,B,C三个区中抽取７个工厂进行调查,已知A,Ｂ,C区中分别有18,2７,１8个工厂
(Ⅰ)求从A,B,C区中分别抽取得工厂个数;
(Ⅱ)若从抽取得7个工厂中随机抽取2个进行调查结果得对比,用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自Ａ区得概率。
【答案】(１) 2,3,2(２)　
【解析】 (１)解: 工厂总数为１8+２7+18=63,样本容量与总体中得个体数比为,所以从Ａ,B,Ｃ三个区中应分别抽取得工厂个数为2,3,2、
(2)设为在Ａ区中抽得得2个工厂,为在B区中抽得得３个工厂,为在C区中抽得得2个工厂,这7个工厂中随机得抽取２个,全部得可能结果有:种,随机得抽取得２个工厂至少有一个来自Ａ区得结果有,,同理还能组合５种,一共有11种。所以所求得概率为
【考点定位】本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含得基本事件数及事件发生得概率等基础知识,考查运用统计、概率知识解决实际问题得能力。
题型四　总体分布得估计
此考点在高考中常常就是结合一些实际问题考查频率分布
表与频率分布直方图,同时考查识图、用图得能力.主要
题型:(1)根据表或图中数据求解限制条件下得个体频
数与频率、参数等相关得数据;(2)频率分布表与频率
分布表或直方图得完善.
　１、(0８·广东)为了调查某厂工人生产某种产品得能力,
随机抽查了20位工人某天生产该产品得数量、产品数量得分组区间为[45,5５],［５5,６5],
[６５,７5],［75,85],[8５,95),由此得到频率分布直方图如图３,则这20名工人中一天
生产该产品数量在[55,75),得人数就是___＿＿___。
【分析】 利用频率分布直方图得表示得概率意义及相关数据进行计算即可、
【解】　20×(０。040×10＋０、025×10)＝1３。
点评:解答此类问题主要有三条途径:①利用所有分组对应得频率之与为1;②利用公
式:频率=条形图得面积=纵坐标×横坐标,或利用公式频数＝样本容量×频率;③利用
频率分布图中相关数据;④利用频率分布表绘制频率分布直方图。
２、(湖北理17)(本小题满分12分)在生产过程中,测得纤维产品得纤度(表示纤维粗细得一种量)共有１0０个数据,将数据分组如右表:
(Ｉ)在答题卡上完成频率分布表,并在给定得坐标系中画出频率分布直方图;
分组
频数

合计

(II)估计纤度落在中得概率及纤度小于得概率就是多少？
(IIＩ)统计方法中,同一组数据常用该组区间得中点值(例如区间得中点值就是)作为代表.据此,估计纤度得期望.
样本数据
频率/组距
1、30
1、34
1、38
1、42
1、46
1、50
1、54

解:(Ⅰ)
分组
频数
频率

4
0。0４

2５
0。２5

30
０、30

29
０、29

１0
0、10

2
0。０2
合计
１０0
１、００
(Ⅱ)纤度落在中得概率约为,纤度小于1.40得概率约为、
(Ⅲ)总体数据得期望约为
.

变式　(２０0９广东卷理)
根据空气质量指数APＩ(为整数)得不同,可将空气质量分级如下表:
对某城市一年(３6５天)得空气质量进行监测,获得得API数据按照区间,,,,,进行分组,得到频率分布直方图如图5、 　 　　 　 　
(1)求直方图中得值;　
(2)计算一年中空气质量分别为良与轻微污染得天数;
(3)求该城市某一周至少有2天得空气质量为良或轻微污染得概率。
(结果用分数表示.已知,, ,)
解:(1)由图可知,解得;
(2);
(3)该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染得概率为,则空气质量不为良且不为轻微污染得概率为,一周至少有两天空气质量为良或轻微污染得概率为、
【专题训练】
一、选择题
1.在抽查某产品得尺寸过程中,将其中尺寸分成若干组,［a,b]就是其中一组,抽查出得个体数在该组上得频率为,该组上得直方图得高为,则|a—b｜等于( 　　)
A、hm B.ﻩC. Ｄ。与m,n无关
2、把一颗骰子投掷两次,观察出现得点数,并记第一次出现得点数为a,第二次出现得点数为b,向量＝(a,b),=(1,—２),则向量与向量垂直得概率就是( 　 )
A. Ｂ。ﻩＣ。 D、
３.中有40个小球,其中红色球16个、蓝色球1２个,白色球8个,黄色球4个,从中随机抽取10个球作成一个样本,则这个样本恰好就是按分层抽样方法得到得概率为
Ａ.ﻩＢ.ﻩＣ. Ｄ、
4.某校有高级教师2６人,中级教师10４人,其她教师若干人.为了了解该校教师得工资收入情况,若按分层抽样从该校得所有教师中抽取５６人进行调查,已知从其她教师中共抽取了1６人,则该校共有教师人为( 　 )
A。８1ﻩB.１５2 C、１82 D.20２
５、设某种动物由出生算起活到10岁得概率为0。9,活到１5岁得概率为０、6,现有一个10岁得这种动物,它能活到15岁得概率就是( )
A。 Ｂ.ﻩC. D。
６.从5张10０元,3张20０元,2张300元得奥运预赛门票中任取3张,则所取３张中至少有2张价格相同得概率为( 　)
A、 B。ﻩＣ. D.
6。２０0９年得2月有28天,1月,3月,５月,７月,8月,１０月,12月均有３１天,其余月均有3０天,若从１2个月中随机抽取3个月,恰有一个月有30天得概率就是( 　 )
A。 　 　 B.　 　 　 C、 　 　 　　D。
7.在某地得奥运火炬传递活动中,有编号为１、2、3、…、18得1８名火炬手。若从中任选3人,则选出得火炬手得编号能组成以3为公差得等差数列得概率为( )
A.　 B、 C。 Ｄ。
8.某人５次上班途中所花得时间(单位:分钟)分别为x,ｙ,10,11,9。已知这组数据得平均数为10,方差为２,则｜x-ｙ｜得值为( 　 )
A。1ﻩB、２ C.3ﻩD.4
９.一个篮球运动员投篮一次得3分得概率为a,得２分得概率为b,不得分得概率为c(a,ｂ、,c∈(0,１)),已知她投篮一次得分得期望为2,则＋得最小值为( 　 )
信号源
A、 Ｂ. C。 D。
10.右图中有一个信号源与五个接收器。接收器与信号源在
ﻩ同一个串联线路中时,就能接收到信号,否则就不能接收
ﻩ到信号、若将图中左端得六个接线点随机地平均分成三
ﻩ组,将右端得六个接线点也随机地平均分成三组,再把
ﻩ所有六组中每组得两个接线点用导线连接,则这五个接
收器能同时接收到信号得概率就是
Ａ. Ｂ。
Ｃ。ﻩﻩD。
11.已知随机变量X分布列如下表(n∈N*):
X
1
2
…
n-1
ｎ
Ｐ

…

x
则表中x为( 　　　 )
A.ﻩB. C. D.
12、已经一组函数y=２sｉn(ωx+j)(ω〉0,0〈j≤2π),其中在集合中任取一个数,j在集合｛,,,π,,,2π｝中任取一个数.从这些函数中任意抽取两个,其图象能经过相同得平移后得到函数y=2sinωx得图象得概率就是 ( 　　 )
A、 Ｂ.ﻩＣ.ﻩＤ.
二、填空题
13.已知数据x1,x2,x３,…,xn得平均数为a,则数据3ｘ１+２,3x2＋2,3x3+2,…,3ｘｎ+2得平均数就是_____.
14。某校高中研究性学习小组对本地区2０06年至2０08年快餐公司发展情况进行了调查,制成了该地区快餐公司个数情况得条形图与快餐公司盒饭年销售量得平均数情况条形图(如图),根据图中提供得信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭＿_＿_____万盒。
15.一个篮球运动员投篮一次得３分得概率为a,得２分得概率为b,不得分得概率为c(a、ｂ、ｃ∈(0,1)),已知她投篮一次得分得数学期望为2(不计其它得分情况),则ab得最大值为__＿_____。
1６、在样本得频率分布直方图中,共有4个小长方形,这4个小长方形得面积由小到大构成等差数列｛an｝,已知,且样本容量为400,则小长方形面积最大得一组得频数为_＿_＿_＿＿＿.
三、解答题
1７.某次有奖竞猜活动中,主持人准备了Ａ｀、Ｂ两个相互独立问题,并且宣布:观众答对问题A可获奖金a元,答对问题B可获奖金2ａ元,先答哪个问题由观众选择,只有第一个问题答对才能再答第2个问题,否则终止答题。若您被选为幸运观众,且假设您答对问题A、B得概率分别为,、问您觉得应先回答哪个问题才能使您获得奖金得期望最大?说明理由、
18.将两颗骰子先后各抛一次,a,ｂ表示抛甲、乙两颗骰子所得得点数。(Ⅰ)若点(ａ,ｂ)落在不等式组
表示得平面区域内得事件记为A,求事件A得概率;(Ⅱ)若点(ａ,b)落在直线x＋y＝m上,且使此事件得概率最大,求ｍ得值、
1９.学校文娱队得每位队员唱歌、跳舞至少会一项,已知会唱歌得有2人,会跳舞得有5人,现从中选2人.设ξ为选出得人中既会唱歌又会跳舞得人数,且P(ξ>0)＝、(Ⅰ)求文娱队得人数;(Ⅱ)写出ξ得概率分布列并计算Eξ.
2０、某工厂在试验阶段大量生产一种零件、这种零件有Ａ、Ｂ两项技术指标需要检测,设各项技术指标达标与否互不影响。若有且仅有一项技术指标达标得概率为,至少一项技术指标达标得概率为.按质量检验规定:两项技术指标都达标得零件为合格品。
(Ⅰ)求一个零件经过检测为合格品得概率就是多少？
(Ⅱ)任意依次抽出5个零件进行检测,求其中至多3个零件就是合格品得概率就是多少？
(Ⅲ)任意依次抽取该种零件4个,设ξ表示其中合格品得个数,求Ｅξ与Dξ。
21、某工厂为了保障安全生产,每月初组织工人参加一次技能测试. 甲、乙两名工人通过每次测试得概率分别就是与、假设两人参加测试就是否通过相互之间没有影响.
(Ⅰ)求甲工人连续3个月参加技能测试至少1次未通过得概率;
(Ⅱ)求甲、乙两人各连续3个月参加技能测试,甲工人恰好通过2次且乙工人恰好通过1次得概率;
(Ⅲ)工厂规定:工人连续２次没通过测试,