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第十章 静电场中的导体和电介质
在上一章中，我们讨论了真空中的静电场。实际上，在静电场中总有导体或电介质存在，而且在静电的应用中也都要涉及导体和电介质的影响，因此，本章主要讨论静电场中的导体和电介质。本章所讨论的问题，不仅在理论上有重大意义，使我们对静电场的认识更加深入，而且在应用上也有重大作用。
§10-1 静电场中的导体
一、静电平衡条件
1、导体与电介质的区别：
（1）宏观上，它们的电导率数量级相差很大（相差10多个数量级，而不同导体间电导率数量级最多就相差几个数量级）。
（2）微观上导体内部存在大量的自由电子，在外电场下会发生定向移动，产生宏观上的电流而电介质内部的电子处于束缚状态，在外场下不会发生定向移动（电介质被击穿除外）。
2、导体的静电平衡条件
（1）导体内部任何一点处的电场强度为零；
（2）导体表面处的电场强度的方向,都与导体表面垂直.
导体处于静电平衡状态的必要条件:（当导体处于静电平衡状态时，导体内部不再有自由电子定向移动，导体内电荷宏观分布不再随时间变化，自然其内部电场（指外场与感应电荷产生的电场相叠加的总电场）必为0。
二、静电平衡时导体上的电荷分布
1、导体内部没有净电荷，电荷（包括感应电荷和导体本身带的电荷）只分布在导体表面。这个可以由高斯定理推得：，S是导体内“紧贴”表面的高斯面，所以。
2、导体是等势体，导体表面是等势面。显然，a,b为导体内或导体表面的任意两点，只需将积分路径取在导体内部即可。
3、导体表面以处附近空间的场强为：，为邻近场点的导体表面面元处的电荷密度，为该面元的处法向。简单的证明下：以导体表面面元为中截面作一穿过导体的高斯柱面，柱面的处底面过场点，下底面处于导体内部。由高斯定理可得：，,分别为高斯柱面的上、下底面。因为导体表面为等势面所以，所以而=0所以，即（沿导体表面面元处法线方向，沿导体表面面元处法线指向导体内部）。
4、导体表面的静电压强：
证明：任取导体表面的一个电荷元，设除去该电荷元外其它场源（包括外场源、导体表面的其它电荷元）在该电荷元处产生的电场为；由高斯定理可算出电荷元在导体表面外邻近点的电场强度。而，所以，电荷元受到的静电力，所以。

导体所受静电力由给出（s是导体表面）。
三、静电屏蔽
在静电场中，因导体的存在是某些特定的区域不受电场影响的现象称之为静电屏蔽。
1、 屏蔽外电场
空腔导体可以屏蔽外电场, 使空腔内物体不受外电场影响.这时,整个空腔导体和腔内的电势也必处处相等.
假设腔内有电场线，由（1）可知电场线不能贯穿于导体内表面之间，又由于腔内无电荷所以电场线不能以腔内某点为终点或起点，这样电场线只能在腔内形成闭合曲线这与静电场线的性质不符合，所以腔内必无电场，自然空腔成为等势区，与导体电势相等。
2、屏蔽腔内电场
接地空腔导体将使外部空间不受空腔内的电场影响.

§10-2 静电场中的电介质
一、电介质对电场的影响 相对电容率
实验测得两板间电介质中的电场强度仅是两板间为真空时电场强度的倍(此处是大于1的纯数)，即

叫做电介质的相对电容率。
二、电介质的极化
构成电介质的分子分为两种：（1）无极分子，电荷中心重合 （2）有极分子，电荷中心不重

所谓电介质的极化是指在外电场作用下电介质出现极化电荷的现象。对于各向同性的均匀电介质而言，极化时其体内无未被抵消的净极化电荷，极化电荷只分布在它的表面上。对于各向异性的非均匀电介质而言，一般说来，极化时其体内有未被抵消的极化电荷，其表面上也分布有极化电荷。
1、电介质极化的微观机制
按电介质分子的电结构分类：无极分子电介质和有极分子电介质两类，它们极化的微观机制是：
无极分子电介质：在无外场作用时，分子的正、负电荷的中心是重合的。在外电场作用下，分子的正、负电荷中心错开，形成电偶极子，这种分子的极化机制是位移极化。
有极分子电介质：在无外场作用时，分子的正、负电荷的中心亦不重合，即分子具有固有电矩，但由于分子的无规则热运动，分子的固有电矩取向杂乱无章，在介质内的任一体积中所有分子的固有电矩的矢量和为零。在外电场作用下，有极分子受到力矩P(→)分子×E(→)。作用使分子电矩P(→)分子方向转向外电场E(→)0方向。外电场愈强，分子电矩转向排列愈整齐。这种极化机制是取向极化。
无论是无极分子电介质或有极分子电介质极化后，极化电荷在介质内所产生的场强总是削弱介质内的场强。
2、极化强度
(1) 极化强度的定义
在电介质中，单位体积内分子电矩的矢量和称为极化强度，即

极化强度是在宏观上用来描述电介质极化状态的物理量，亦描述电介质的极化程度（强度）和极化方向。在静电场中，一般说来，P(→)e是空间坐标的函数。如果在电介质内各点的P(→)e大小相等和方向相同，亦P(→)e =常矢，则电介质的极化是均匀的，否则极化是非均匀的。
(2) 极化强度与极化电荷的关系

上式表明：介质表面某处的极化电荷面密度等于该处极化强度P(→)e沿介质表面外法线方向上的分量。当P(→)e与介质表面外法线方向的单位矢量n(→)的夹角为锐角的地方， >0，为正的极化电荷；当为钝角的地方，<0，为负的极化电荷。
极化强度的通量公式：
即介质内通过任一闭合曲面的极化强度的通量等于该闭合曲面所包围的极化电荷的代数和的负值。上式表明，极化强度的源是极化电荷，因电矩的方向总是从负电荷指向正电荷，所以P(→)e的源头必须是负极化电荷，它的尾闾必是正极化电荷。
在各向同性的均匀电介质中，上式变为：

表示极化电荷只可能出现在各向同性的均匀电质表面。
(3) 电介质的极化规律
对于各向同性的电介质有：
式中x是电介质的极化率，由介质的性质决定。
应指出：
上式在外电场E(→)0较小时，只对各向同性的电介质成立。所谓各向同性的电介质是电介质的电性质不随量度的方向而变化。在这里是指电介质的x（或ε）值不随量度的方向而变化。也就是说，当外电场沿不同方向作用时，电介质的极化情况相同，亦极化程度相同，极化方向（P(→)e的方向）均沿外电场方向。上式对各向异性的电介质不成立，P(→)e既不与E(→)成正比，且P(→)e的方向也不与E(→)的方向相同。在普通物理学中，主要讨论各向同性的均匀电介质。另外，上式中的场强必须是所求极化强度处的总场强。
二、电介质中的电场强度 极化电荷与自由电荷的关系
1、电介质中的电场强度
由场强的迭加原理：介质内任一点的场强E(→)是外电场在该点的场强E(→)0（由自由电荷产生）和极化电荷在该点产生的场强E'(→)的矢量和。即：
E(→)=E(→)0+E'(→)
2、极化电荷：
介质中，取向与外电场一致的分子电偶极子穿出面s的电荷总和就是面S上的极化电荷。

3、极化强度与极化电荷分布的关系：
设介质里的任一面元，设分子的电偶极距,以为底，为斜高作一圆柱体，圆柱体体积记为dV，设dV内取向与外电场一致的分子电偶矩数量为N，显然在圆柱体内的分子电偶矩都穿出面元又，所以就是穿过面元的极化电量。在介质里任取一闭合曲面S，则穿出S的极化电量,由电荷守恒（原来电介质是呈电中性）可知面内有等值异号的极化电荷。

§10-3 电位移 有电介质时的高斯定理
- - - - - -
+ + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - -

如图所示，取一闭合的正柱面作为高斯面，高斯面的两端面与极板平行，其中一个端面在电介质内，端面的面积为。设极板上的自由电荷面密度为，电介质表面上的极化电荷为。对此高斯面来说，由高斯定理，有

将代入上式，得

令
其中为电介质的电容率。
那么式可写成

式中称作电位移，而则是通过任意闭合曲面S的电位移通量。电位移的单位为。
因此，有电介质时的高斯定理可叙述为：在静电场中，通过任意闭合曲面的电位移通量等于该闭合曲面内所包围的自由电荷的代数和，其数学表达式为

应指出：
(1) 电介质中的高斯定理是电磁学中的基本定理之一。它对于任何电介质，对于无论是静电场，还是变化的电场亦适用，是麦克斯韦方程组的四个方程之一。
(2) 在有介质时的高斯定理中， 并不表示电位移 D(→) 本身与极化电荷无关。 事实上，
D(→)=ε0E(→)+P(→)e，而E(→)和P(→)e均与极化电荷有关，因此，应与极化电荷有关。就是在各向同性的电介质中，D(→)=εE(→)中的因子ε和E(→)（是由自由电荷和极化电荷共同决定的）已把极化电荷的影响考虑进去了。
(3) 在利用介质中的高斯定理求电介质中的场强时，可使其计算大为简化。但只有自由电荷分布具有一定的对称性，且各向同性的均匀电介质充满电场所在空间，或各向同性的均匀介质表面是等势面时，则无需知道极化电荷的多少，方可用高斯定理求出D(→)，然后利用D(→)=εE(→)求出场强。其原因在于只有电介质各向同性的，在电介质中才有D(→)=εE(→)的关系；只有自由电荷分布具有一定的对称性，才有E(→)0的分布具有一定的对称性；只有均匀电介质充满电场所在的空间或介质的表面是等势面时，才有极化电荷分布具有一定的对称性，即E'(→)分布也具有一定的对称性。从而才能保证E(→)=E(→)0+E'(→)和D(→)=εE(→)都具有一定对称性。这样方有可能使D从积分号内提出来，进而才能利用高斯定理和D(→)=εE(→)求场强E(→)。

§10-4 电容
电容是表征导体由于带电而引起本身电势改变的物理量。导体可容纳电荷，利用导体的这一性质制成的电容器是电子技术中最基本的元件之一。本节主要介绍几种电容器及其计算。
一、电容
1、孤立导体的电容
在真空中设有一半径为R的孤立的球形导体，它的电量为q，那么它的电势为（取无限远处电势=0）

对于给定的导体球，R一定，当增大时，U也变大，变小时，U则变小，而比值却不变，此结论虽然是对球形孤立导体而言的，但对一定形状的其它导体也是如此，比值仅与导体大小和形状等有关，称为孤立导体电容，用C表示，记作：

对于孤立导体球，其电容为。对给定的孤立导体，其电容是一个恒量，只与导体的形状和尺寸有关，而与、U无关，即与电量的存在与否无关。
在SI制中，电容的单位为：法拉，符号为F，1F=1C/1V。孤立导体的电容都很小，如把地球看作是一个导体球，它的电容可以计算出来，约为7×10-4F，所以在实际应用中F太大，常用或，他们之间换算关系为
。
2、电容器及其电容
实际上，绝对孤立的导体是不存在的，一个带电导体附近总会有其它导体，当有其它导体存在时，则必然因静电感应而改变原来的电场分布，当然会影响导体电容。为了使导体的电容不受其它导体影响，可以设计一个导体组合，形成一种器件，如在金属壳B中放置另一导体A构成一导体组，根据静电屏蔽原理，那么，分布在壳外的电荷不会影响壳内空间的状态。所以，我们将两个带有等值而异号电荷的导体所组成的带电系统称为电容器。电容器可以储存电荷，以后将看到电容器也可以储存能量。下面我们具体讨论电容器的电容。
如图所示，两个导体A、B放在真空中，它们所带的电量分别为+q，-q，如果A、B电势分别为、，那么A、B电势差为，电容器的电容定义为： 电容器的概念

由式可知，如将B移至无限远处，=0，式就变为孤立导体的电容，所以，孤立导体的电势相当于孤立导体与无限远处导体之间的电势差。所以，孤立导体电容是B放在无限远处时电容的特例。导体A、B常称电容器的两个电极。通常实用的电容器是由两个距离很近的导体板构成（如平板电容器），或是把电容器的一个极板做成一个导体空腔，另一个极板放在空腔之内形成屏蔽（如圆柱形电容器，和球形电容器），这样做可以使电容器的电容较大而且不容易受到外电场的影响。
在实际问题中，对电容器的屏蔽要求并不那么严密，只要两片导体（即极板）相距很近，电荷将集中分布在两极板的相对表面上，电场集中分布在两表面之间的狭窄空间里，外界干扰对两极板间的电势差的影响可以忽略不计，类似这样的装置都可看成电容器。
二、电容器电容的计算
1、平行板电容器的电容
设A、B二极板平行，面积均为S，相距为d，电量为+q，-q，极板线度比d大得多，且不计边缘效应，所以两极板A、B间接近于为均匀电场。当电容器内部为真空或空气时，由高斯定理知，A、B间场强大小为

式中，A、B两极板的电势差为

由电容器电容的定义式得

即平行板电容器的电容为

2、球形电容器的电容
设二均匀带电同心球面A、B，半径分别为、，设分别带有电荷+q，-q，如图1所示。则A、B间任一点场强大小为

A、B间的电势差为

所以，球形电容器的电容为

对于上式进行讨论如下：
（1）当时，有，令，则

上式即平行板电容器结果。
（2）当趋于无限大，趋于零，则有

此即为孤立球形导体电容的公式。

图2
图1

3、圆柱形电容器的电容
圆柱形电容器是两个同轴柱面极板构成的，且圆柱体的长度比半径大得多，如图2所示。设A、B半径分别为、，所带电荷分别为+q，-q，不考虑边缘效应，电荷均匀分布在内外两圆柱面上，则单位长柱面带电量。因为,所以可将两圆柱面间的电场看成是无限长圆柱面的电场，由高斯定理得A、B间任一点P处场强的大小为

A、B间的电势差为

根据电容器电容的定义式得圆柱形电容器的电容为

从以上计算可以知道，在计算电容器时主要是计算两极间的电势差。
以上讨论的是几种典型电容器的电容，实际上任何导体间都存在着电容，如导线与导线间、元件与元件间、元件与金属外壳间等，都存在着电容，这些电容在电工和电子技术中通常叫分布电容。分布电容比较小，且不易计算，一般情况下可忽略不计，但在安装电子设备时，尤其是在高频电路中，必须考虑分布电容的影响。
三、电容器的并联和串联
1、电容器的并联
设n个电容并联起来，其电容与极板电量分别为、,加在电容的两端电压为（i=1,2…n）。现计算其等效电容C。因为各电容并联所以等效电容两端的电压为，此时等效电容的带电量为，所以
2、电容器的串联
现将这n个电容串联起来，等效电容的两端电压为，而由电荷守恒可知各电容带电量相同，相邻两电容的相邻两极板带等量异号电荷，即等效电容的带电量为q。所以

§10-5 静电场的能量 能量密度
一、电容器的电能
电容器的极板一旦带电，它就储存了能量，设电容器的电容为C，充电完毕完极板带电量为Q，极板两端电压为U，电容器所储存的电势能是来源于充电过程电源克服极板上的电荷产生的电场把自由电荷从电容器的一个极板迁移到另一个极板，设充电某一瞬时，极板上的电量为q，此时两极板间的电势差为，电源把电量为－dq的电子从正极板搬运至负极板，电源作的元功
，
电容器储存的电势能增加了
，
从充电开始至充电结束电容器储存的电势能
。
二、静电场的能量 能量密度
电磁理论和实验证明：电能不是分布在电荷上，而分布在电场中。电容器中所储存的电势能实际就是极板上电荷在两极板之间所激发的电场具有的能量。以平行板电容器为例推导电场中的能量密度公式，设平行板两极板面积为S，两极板之间的距离为d，极板间的均匀电介质的电容率为，我们知道电容器所储存的电势能
，
V是两极板之间的体积（也是电场分布的空间区域的体积）；这些能量分布在有电场的空间区域，由上我们可将电势能写成，那么两极板之间电场存在区域的电场能量密度
。
这个式子称为电场能量密度公式。虽然公式是由平行板电容器这一特例推导出的，但这是一个普遍成立的公式。若电场能量分布不均匀，则不为常数，空间体积V内的电场能量