位移分析与刚度设计.pptx

工工程程力力学学第第八八章章位位移移分分析析与与刚刚度度设设计计 当杆件承受轴向载荷时，其轴向与横向尺寸均发生变当杆件承受轴向载荷时，其轴向与横向尺寸均发生变化。杆件沿轴线方向的变形称为轴向变形；与之垂直方向化。杆件沿轴线方向的变形称为轴向变形；与之垂直方向的变形称为横向变形。的变形称为横向变形。8.1.1 8.1.1 8.1.1 8.1.1 杆件的拉压变形杆件的拉压变形杆件的拉压变形杆件的拉压变形8-1 8-1 杆件微段的位移微分方程及其积分杆件微段的位移微分方程及其积分工工程程力力学学第第八八章章位位移移分分析析与与刚刚度度设设计计EA:EA:称为杆件的拉压刚度称为杆件的拉压刚度对于承受轴向分布力的杆件：对于承受轴向分布力的杆件：杆件的伸长量杆件的伸长量微段的伸长量：微段的伸长量：杆件总的伸长量：杆件总的伸长量：等截面直杆，轴力为常量：等截面直杆，轴力为常量：工工程程力力学学第第八八章章位位移移分分析析与与刚刚度度设设计计C C为积分常数，由杆件的约束条件确定。为积分常数，由杆件的约束条件确定。杆件横截面的位移杆件横截面的位移积分得到：积分得到：工工程程力力学学第第八八章章位位移移分分析析与与刚刚度度设设计计 2)求各段应力：求各段应力：AB=FNAB/A1 =40103N/(32010-6)m2 =125106Pa=125MPa BC=FNBC/A2=40103/(80010-6)=50MPa；CD=FNCD/A2=48103/(80010-6)=60MPa解：解：1)求内力求内力(轴力轴力)，例例 杆杆AB段为钢制，横截面积段为钢制，横截面积A1=320mm2，BD段段 为铜，为铜，A2=800mm2，E钢钢=210GPa；E铜铜=100GPa；l=400mm。求杆各段的应力。求杆各段的应力、应变、应变和总伸长量和总伸长量 AD。ABCDF1=40kNlllF2=8kN48kN48kNDCBA48kN40kNF FN N画轴力图画轴力图画轴力图画轴力图。工工程程力力学学第第八八章章位位移移分分析析与与刚刚度度设设计计4)杆的总伸长为：杆的总伸长为：lAD=lAB+lBC+lCD=0.68mm 2)求各段应变：求各段应变：e eAB=AB/E钢钢=125/(210103)0.610-3ABCDF1=40kNlllF2=8kNDCBA48kN40kNF FN N3)求各段伸长：求各段伸长：注意注意:l=e el=l/E=FNl/AE lAB=e eABlAB=0.610-3400mm=0.24mm lBC=e eBClBC=0.2mm；lCD=e eCDlCD=0.24mme eBC=BC/E铜铜=50/(100103)=0.510-3e eCD=CD/E铜铜=0.610-3工工程程力力学学第第八八章章位位移移分分析析与与刚刚度度设设计计例：一线弹性等直杆受自重和集中力作用，杆的长度为例：一线弹性等直杆受自重和集中力作用，杆的长度为l；抗；抗拉刚度为拉刚度为EA，材料的体积质量为，材料的体积质量为。试求。试求（1）杆中间截面）杆中间截面C以及自由端截面以及自由端截面B的位移的位移（2）杆）杆CB段的伸长量段的伸长量解：解：(1)求任一横截面的轴力。求任一横截面的轴力。（2）求杆沿轴线方向的位移）求杆沿轴线方向的位移工工程程力力学学第第八八章章位位移移分分析析与与刚刚度度设设计计边界条件边界条件:固定端处的位移固定端处的位移=0=0X=0,C=0（X=l/2）（X=l）（3 3）CBCB段的伸长量：段的伸长量：则：则：C C截面位移：截面位移：B B截面位移：截面位移：工工程程力力学学第第八八章章位位移移分分析析与与刚刚度度设设计计 表示相距为表示相距为d dx x的两个横截面之间的相对转角，因此沿的两个横截面之间的相对转角，因此沿x x积分积分即可得到相距为即可得到相距为l l的两个横截面的相对扭转角为的两个横截面的相对扭转角为圆轴扭转变形的特征是两个圆轴扭转变形的特征是两个横截面绕轴线发生相对转动，横截面绕轴线发生相对转动，设等截面圆杆受一对扭转力偶设等截面圆杆受一对扭转力偶矩作用，在讨论圆轴的应力计矩作用，在讨论圆轴的应力计算时，曾得到算时，曾得到或写作或写作 8.1.2 8.1.2 8.1.2 8.1.2 圆杆的扭转变形圆杆的扭转变形圆杆的扭转变形圆杆的扭转变形工工程程力力学学第第八八章章位位移移分分析析与与刚刚度度设设计计 对于扭矩对于扭矩T、切变模量、切变模量G及极惯性矩及极惯性矩Ip都不随轴线变化的都不随轴线变化的情况，两截面的相对扭转角为情况，两截面的相对扭转角为 若轴上作用几个不同的扭矩，或者横截面面积或剪切模量若轴上作用几个不同的扭矩，或者横截面面积或剪切模量在不同的区段发生突变，而在每一个区段内上述参数为常值，在不同的区段发生突变，而在每一个区段内上述参数为常值，也可利用上式分段求解，然后进行叠加，即也可利用上式分段求解，然后进行叠加，即工工程程力力学学第第八八章章位位移移分分析析与与刚刚度度设设计计 例：例：图示为一圆截面轴图示为一圆截面轴 ，受扭转力偶矩，受扭转力偶矩 ，与与 作作试计算该轴的总扭转角试计算该轴的总扭转角 （即截面（即截面C对截面对截面A的相对转角）。的相对转角）。工工程程力力学学第第八八章章位位移移分分析析与与刚刚度度设设计计解：扭转变形分析：解：扭转变形分析：利用截面法，得两段的扭矩分别为利用截面法，得两段的扭矩分别为 设上述二段轴的扭转角分别为设上述二段轴的扭转角分别为 和和 ，由叠加原理可知杆的总转角为由叠加原理可知杆的总转角为 工工程程力力学学第第八八章章位位移移分分析析与与刚刚度度设设计计例：钻杆横截面直径为例：钻杆横截面直径为20mm，在旋转时，在旋转时BC段受均匀分段受均匀分布的扭矩布的扭矩me的作用。已知使其转动的外力偶矩的作用。已知使其转动的外力偶矩Me=120N.m,材料的切变模量材料的切变模量G=80GPa,试求钻杆两端的相试求钻杆两端的相对扭转角。对扭转角。解解:1)地层对钻杆的阻力沿杆长方向均匀地层对钻杆的阻力沿杆长方向均匀分布，列平衡方程，求分布，列平衡方程，求me工工程程力力学学第第八八章章位位移移分分析析与与刚刚度度设设计计2)求相对扭转角求相对扭转角AB段任一截面上的扭矩段任一截面上的扭矩 T=-Me BC段任一截面的扭矩段任一截面的扭矩则则得得工工程程力力学学第第八八章章位位移移分分析析与与刚刚度度设设计计一、一、挠度与转角挠度与转角 由于外力的作用，梁的轴线将由直线变为曲线。变形后由于外力的作用，梁的轴线将由直线变为曲线。变形后梁的轴线称为梁的轴线称为挠曲线挠曲线，它是一条连续光滑的曲线。，它是一条连续光滑的曲线。对于平面弯曲问题，挠曲线为一平面曲线，且与外力在对于平面弯曲问题，挠曲线为一平面曲线，且与外力在同一平面内。同一平面内。8.1.3 8.1.3 8.1.3 8.1.3 梁的弯曲变形梁的弯曲变形梁的弯曲变形梁的弯曲变形工工程程力力学学第第八八章章位位移移分分析析与与刚刚度度设设计计梁的变形可用横截面形心的线位移与截面角位移表示。梁的变形可用横截面形心的线位移与截面角位移表示。横截面的形心（即轴线上的点）在垂直于梁轴线方向横截面的形心（即轴线上的点）在垂直于梁轴线方向的位移的位移 称为称为挠度挠度。不同截面的挠度一般不同，如果沿变形前的梁轴线建不同截面的挠度一般不同，如果沿变形前的梁轴线建立坐标轴立坐标轴 ，则，则挠曲线方程挠曲线方程为为工工程程力力学学第第八八章章位位移移分分析析与与刚刚度度设设计计 在实际工程中，转角在实际工程中，转角一般都很小，基本不超过一般都很小，基本不超过1(或或0.0175rad)。由挠曲线方程得由挠曲线方程得 横截面的转角等于挠曲线在该截面处的斜率。横截面的转角等于挠曲线在该截面处的斜率。挠度以向上为正，转角以截面逆时针转动为正。挠度以向上为正，转角以截面逆时针转动为正。工工程程力力学学第第八八章章位位移移分分析析与与刚刚度度设设计计二、二、挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程 纯弯曲，用中性层曲率表示的弯曲变形公式为纯弯曲，用中性层曲率表示的弯曲变形公式为 由梁微段的弯曲变形关系，可以得到：由梁微段的弯曲变形关系，可以得到：工工程程力力学学第第八八章章位位移移分分析析与与刚刚度度设设计计 对挠曲线近似微分方程求解，即可求得梁的转对挠曲线近似微分方程求解，即可求得梁的转角方程和挠曲线方程。角方程和挠曲线方程。式中式中C和和D为积分常数，可通过梁的边界条件来确定。为积分常数，可通过梁的边界条件来确定。对挠曲线近似微分方程进行两次积分可得：对挠曲线近似微分方程进行两次积分可得：工工程程力力学学第第八八章章位位移移分分析析与与刚刚度度设设计计 例如，固定端的挠度和转角均为零，例如，固定端的挠度和转角均为零，铰支座处的挠度为零。铰支座处的挠度为零。边界条件边界条件分段连续条件分段连续条件MM(x x)不同时，需分段积分。分段处必须保证左右挠不同时，需分段积分。分段处必须保证左右挠不同时，需分段积分。分段处必须保证左右挠不同时，需分段积分。分段处必须保证左右挠度、转角连续，可确定增加的常数。度、转角连续，可确定增加的常数。度、转角连续，可确定增加的常数。度、转角连续，可确定增加的常数。工工程程力力学学第第八八章章位位移移分分析析与与刚刚度度设设计计 例：例：悬臂梁受均布载荷，悬臂梁受均布载荷，E、为常数，求自由端的为常数，求自由端的挠度挠度 和转角和转角 。解：梁的弯矩方程解：梁的弯矩方程则梁的挠曲线微分方程为则梁的挠曲线微分方程为工工程程力力学学第第八八章章位位移移分分析析与与刚刚度度设设计计 考虑边界条件：考虑边界条件：将上述两个边界条件代入挠度和转角的表达式，可得将上述两个边界条件代入挠度和转角的表达式，可得出积分常数为出积分常数为 再进行第二次积分得再进行第二次积分得 对上式进行一次积分得对上式进行一次积分得工工程程力力学学第第八八章章位位移移分分析析与与刚刚度度设设计计 将积分常数代入挠度和转角的表达式可得转将积分常数代入挠度和转角的表达式可得转角方程角方程挠曲线方程为挠曲线方程为 工工程程力力学学第第八八章章位位移移分分析析与与刚刚度度设设计计 根据挠度和转角的符号规定，上述结果表明转角为顺根据挠度和转角的符号规定，上述结果表明转角为顺时针，挠度方向为向下。时针，挠度方向为向下。最后，把最后，把x=l分别代入转角和挠曲线方程，就可得到分别代入转角和挠曲线方程，就可得到梁自由端的转角和挠度：梁自由端的转角和挠度：工工程程力力学学第第八八章章位位移移分分析析与与刚刚度度设设计计 例：如图所示一简支梁，受一集中载荷例：如图所示一简支梁，受一集中载荷F作用，作用，、为常数。试求此梁的最大挠度为常数。试求此梁的最大挠度 以及最大转角以及最大转角 。工工程程力力学学第第八八章章位位移移分分析析与与刚刚度度设设计计 解：考察距离解：考察距离 端端 处的弯矩，因集中载荷把梁分为处的弯矩，因集中载荷把梁分为两段，各段弯矩方程不同，故需分别写出它们的弯矩方程，两段，各段弯矩方程不同，故需分别写出它们的弯矩方程，即即 可得挠曲线的近似微分方程可得挠曲线的近似微分方程 工工程程力力学学第第八八章章位位移移分分析析与与刚刚度度设设计计分别积分两次可得分别积分两次可得简支梁的边界条件简支梁的边界条件工工程程力力学学第第八八章章位位移移分分析析与与刚刚度度设设计计 因有四个积分常数，只有两个边界条件是不可能解决因有四个积分常数，只有两个边界条件是不可能解决的，要加上两个连续性条件的，要加上两个连续性条件由此可确定积分常数由此可确定积分常数 将积分常数代入转角和挠度的表达式，可得转角和挠将积分常数代入转角和挠度的表达式，可得转角和挠度的方程度的方程工工程程力力学学第第八八章章位位移移分分析析与与刚刚度度设设计计 将将 和和 分别代入对应的转角方程，即可得分别代入对应的转角方程，即可得左右支座处最大转角左右支座处最大转角（顺时针）（逆时针）工工程程力力学学第第八八章章位位移移分分析析与与刚刚度度设设计计令令 ，可得，可得 ，将此值代入相应的挠曲线方程，将此值代入相应的挠曲线方程，得最大挠度为得最大挠度为（向下）确定梁的最大挠度，需确定梁上转角确定梁的最大挠度，需确定梁上转角 的点。在本例的点。在本例中，设中，设 ，当，当 时，时，当，当 时，时，即，即 的位置（即最大挠度位置），定在的位置（即最大挠度位置），定在 段之内。段之内。当 时用中点的挠度代替最大挠度，用中点的挠度代替最大挠度，误差不超过误差不超过3%