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第二节 对等与基数第一章第一章 集合及其基数集合及其基数定义定义定义定义1 1：设：设：设：设X,YX,Y是两个非空集合，若依照对应法则是两个非空集合，若依照对应法则是两个非空集合，若依照对应法则是两个非空集合，若依照对应法则 f f，对，对，对，对X X中的中的中的中的每个每个每个每个x x，均存在，均存在，均存在，均存在Y Y中中中中唯一唯一唯一唯一的的的的y y与之对应，则与之对应，则与之对应，则与之对应，则称这个称这个称这个称这个对应法则对应法则对应法则对应法则 f f 是从是从是从是从 X X 到到到到 Y Y 的一个映射，记作的一个映射，记作的一个映射，记作的一个映射，记作 f:f:XYXY。X X称为称为称为称为f f的定义域。的定义域。的定义域。的定义域。映射的定义映射的定义当映射当映射f使使y与与x对应时，对应时，y称为称为x在映射在映射f下的像。下的像。像的全体组成值域。像的全体组成值域。对于某一固定的对于某一固定的y，称适应关系，称适应关系y=f(x)的的x的全的全体是元素体是元素y在映射在映射f下的原像。下的原像。注：模糊集：注：模糊集：参见：参见：模糊集合、语言变量及模糊逻辑模糊集合、语言变量及模糊逻辑，L.A.Zadeh例例12、实数的加法运算实数的加法运算+:RRR RRR 1、定积分运算定积分运算 为从为从a,b上的可积函数集上的可积函数集到实数集的映射。到实数集的映射。3、集合集合A的特征函数的特征函数（集合（集合A与特征函数互相决定）与特征函数互相决定）称称 为集为集A的特征函数，的特征函数，定义定义2：设：设X,Y是两个非空集合，集合是两个非空集合，集合X到集合到集合Y上的一一映射上的一一映射f满足：满足：(1)单射：单射：(2)满射：满射：既是单射又是满射的映射称为双射或一一映射既是单射又是满射的映射称为双射或一一映射。2 集合运算关于映射的性质（像集）集合运算关于映射的性质（像集）集合运算关于映射的性质（原像集）集合运算关于映射的性质（原像集）注：注：6），），7）一般不能使等号）一般不能使等号成立成立，6）等号成立当且仅当等号成立当且仅当f为为单射，单射，7）等号成立当且仅等号成立当且仅当当f为为满射满射证明的过程略证明的过程略证明的过程略证明的过程略3 对等与势对等与势1）设设A,B是两是两非空非空集合，若存在着集合，若存在着A到到B的的一一映射（既单又满），则称一一映射（既单又满），则称A与与B对等对等,注：称与注：称与A对等的集合为与对等的集合为与A有相同的有相同的势（基数），记作势（基数），记作势是对有限集势是对有限集元素个数元素个数概念的推广概念的推广记作记作约定约定1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,.1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,.1,3,5,7,9,11,13,15,.1,3,5,7,9,11,13,15,.2,4,6,8,10,12,14,16.2,4,6,8,10,12,14,16.n2n-12n0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,.0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,.,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,.,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,.例例2有限集与无限集的本质区别：有限集与无限集的本质区别：无限集可与其某个真子集合有相同多的元素无限集可与其某个真子集合有相同多的元素个数（个数（对等）且一定能做到，而有限集等）且一定能做到，而有限集则不可能不可能。例例2Galileo在在17世纪最先考虑自然数与自然数平方世纪最先考虑自然数与自然数平方的多少的多少,1870Cantor开始系统考虑开始系统考虑.基数的大小比较4 Bernstein定理定理例：由例：由 可知可知 ，试问试问如何构造两者间的既单又满的映射。如何构造两者间的既单又满的映射。BernsteinBernstein定理的证明定理的证明定理的证明定理的证明fBernsteinBernstein定理的证明定理的证明定理的证明定理的证明证明证明:A AB Bg gf fBernsteinBernstein定理的证明（续）定理的证明（续）定理的证明（续）定理的证明（续）A AB Bg gg gf ff ff fA AB Bf fg gf ff fg gBernsteinBernstein定理的证明（续）定理的证明（续）定理的证明（续）定理的证明（续）BernsteinBernstein定理的证明定理的证明定理的证明定理的证明此处都是关于映射此处都是关于映射g,如果不是同一映射如果不是同一映射,则不一定成立则不一定成立.