函数单调性、奇偶性、对称性、周期性解析.pdf

函数单调性、奇偶性、对称性、周期性解析函数单调性、奇偶性、对称性、周期性解析一、函数的单调性一、函数的单调性1单调函数与严格单调函数单调函数与严格单调函数设为定义在上的函数，若对任何，当时，总有()f xI12,x xI12xx()，则称为上的增函数，特别当且仅当严格不等式)()(21xxff()f xI成立时称为上的严格单调递增函数。12()()f xf x()f xI()，则称为上的减函数，特别当且仅当严格不等式)()(21xxff()f xI成立时称为上的严格单调递减函数。12()()f xf x()f xI2函数单调的充要条件函数单调的充要条件若为区间上的单调递增函数，、为区间内两任意值，那么有：()f xI1x2x或1212()()0ffxxxx1212)()()0ffxxxx（若为区间上的单调递减函数，、为区间内两任意值，那么有：()f xI1x2x或1212()()0ffxxxx1212)()()0ffxxxx（3函数单调性的判断函数单调性的判断(证明证明)(1)作差法(定义法)(2)作商法4 复合函数的单调性的判定复合函数的单调性的判定对于函数和，如果函数在区间上具有单调性，当()yf u()ug x()ug x(,)a b时，且函数在区间上也具有单调性，则复合函数,xa b,um n()yf u(,)m n在区间具有单调性。()yf g x,a b5由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断对于两个单调函数和，若它们的定义域分别为和，且：()f x()g xIJIJ(1)当和具有相同的增减性时，函数、()f x()g x1()()()F xf xg x的增减性与(或)相同，、2()()()F xf xg x()f x()g x3()()()F xf xg x的增减性不能确定；4()()()0)()f xF xg xg x(2)当和具有相异的增减性时，我们假设为增函数，为减函数，那么：()f x()g x()f x()g x、的增减性不能确定；1()()()F xf xg x2()()()F xf xg x、为增函数，3()()()F xf xg x4()()()0)()f xF xg xg x为减函数。5()()()0)()g xF xf xf x二、函数的奇偶性二、函数的奇偶性1.1.奇偶性的定义奇偶性的定义如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，则称函数为偶()f xx()()f xfx()f x函数；如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，则称函数()f xx()()f xfx 为奇函数。()f x2.奇偶性的几何意义奇偶性的几何意义具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称。y3.函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断(证明证明)(1)比较与的关系；()f x()fx(2)（）与的关系；()()f xfx()0fx1(3)与的关系()()f xfx04.由具有奇偶性的函数的四则运算所得到的函数的奇偶性的判断由具有奇偶性的函数的四则运算所得到的函数的奇偶性的判断对于两个具有奇偶性的函数和，若它们的定义域分别为和，且：()f x()g xIJIJ(1)当和具有相同的奇偶性时，假设为奇函数，那么：()f x()g x函数、也为奇函数；1()()()F xf xg x3()()()F xf xg x、为偶函数；2()()()F xf xg x4()()()0)()f xF xg xg x(2)当和具有相异的奇偶性时，那么：()f x()g x、的奇偶性不能确定；1()()()F xf xg x3()()()F xf xg x、为奇函数。2()()()F xf xg x4()()()0)()f xF xg xg x5()()()0)()g xF xf xf x若函数是偶函数，则；若函数是偶函数，)(xfy)()(axfaxf)(axfy则.)()(axfaxf三、函数的对称性三、函数的对称性1.1.函数自对称函数自对称（1 1）关于轴对称的函数（偶函数）的充要条件是y)()(xfxf（2 2）关于原点对称的函数（奇函数）的充要条件是0,00)()(xfxf（3 3）关于直线对称的函数的充要条件是yx1()()fxf x2.两个函数的图象对称性两个函数的图象对称性（1 1）)(xfy 与)(xfy关于轴对称。x换种说法：与若满足，即它们关于对称。)(xfy)(xgy)()(xgxf0y（2 2）)(xfy 与)(xfy关于轴对称。y换种说法：与若满足，即它们关于对称。)(xfy)(xgy)()(xgxf0 x（3 3）)(xfy 与)2(xafy关于直线ax 对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。)(xfy)(xgy)2()(xagxfax（4 4）与关于直线对称。)(xfy)(2xfayay 换种说法：与若满足，即它们关于对称。)(xfy)(xgy axgxf2)()(ay（5 5）关于点对称。)2(2)(xafbyxfy与,a b换种说法：与若满足，即它们关于点对)(xfy)(xgy bxagxf2)2()(,a b称。（6 6）与关于直线对称。)(xafy)(bxy2bax（7 7）与关于直线对称。()yf x1()yfxyx若,则函数的图象关于点对称;)()(axfxf)(xfy)0,2(a3.3.几个常见的函数方程几个常见的函数方程（1 1）正比例函数,.()f xcx()()(),(1)f xyf xf yfc（2 2）指数函数,.()xf xa()()(),(1)0f xyf x f yfa（3 3）对数函数,.()logaf xx()()(),()1(0,1)f xyf xf yf aaa（4 4）幂函数,.()f xx()()(),(1)f xyf x f yf（5 5）余弦函数,正弦函数，()cosf xx()sing xx()()()()()f xyf x f yg x g y.0()(0)1,lim1xg xfx四、函数的周期性主要结论四、函数的周期性主要结论1如果函数对于一切 xR,都有(),那)(xfy)()(xafxaf)()2(xfxaf么函数 y=f(x)的图像关于直线对称是偶函数ax)(axfy2 2如果函数 对于一切 xR,都有 f(a+x)=f(b-x)成立，那么函数的)(xfy)(xfy 图像关于直线 x=（由 x=确定）对称2ba 2)()(xbxa3.3.如果函数对于一切 xR,都有成立,那么函数)(xfy bxafxaf2)()(的图像关于点对称)(xfy),(ba4.4.两个函数图像之间的对称性（1 1）函数 与函数的图像关于直线(即 y 轴)对称；函数)(xfy)(xfy0 x 与函数的图像关于直线;函数 与函数)(xfy)(xfy0y)(xfy 图像关于坐标原点对称。)(xfy（2）函数,的图像关于直线(由确定)(),(xbfyxafy2baxxbxa对称（3）函数与函数的图像关于直线对称（由)(xfy)(xfAy2Ay 确定 2)()(xfAxfy（4 4）函数与函数的图像关于点中心对称)(xfy)(xnfmy)2,2(mn5.5.左加右减（对一个 x 而言），上加下减（对解析式而言）：若将函数的图像右)(xfy 移 a、上移 b 个单位，得到函数的图像；若将曲线的图像右baxfy)(0),(yxf移 a、上移 b 个单位，得到曲线的图像0),(byaxf6.函数的图像是把的图像沿 x 轴向左平移 a 个单位得到的；函数)0)(aaxf)(xfy 的图像是把的图像沿 x 轴向右平移个单位得到的；函数)0)(aaxf)(xfy a的图像是把的图像沿 x 轴向左平移个单位得到的)(awxfy)(bwxfywba 7.定义：对于函数，如果存在一个非零常数 T。使得当 x 取定义域内的每一个值时，)(xf都有，则的最小正周期为 T，T 为这个函数的一个周期)()(xfTxf)(xf8.如果函数是 R 上的奇函数，且最小正周期为 T，那么)(xf0)2()2(TfTf9.如果函数所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最)(xf)(xf小正周期，如果函数的最小正周期为 T 则函数的最小正周期为，如果)(xf)(axfaT是周期函数，那么的定义域无界)(xfy)(xfy 10.关于函数的周期性的几个重要性质：（1）如果是 R 上的周期函数，且一个周期为 T，那么)(xfy)()(ZnxfnTxf（2）函数图像关于轴对称bxax,)(2baT（3）函数图像关于中心对称0,0,ba)(2baT（4）函数图像关于轴对称，关于中心对称ax 0,b)(4baT（5）或或或)0)()(1)(xfxfaxf)0)()(1)(xfxfaxf)()(xfaxf,则的周期 T=2a21()()(),()0,1)2f xfxf xaf x)(xf（6），则的周期 T=3a)1)(,)(11)(xfxfaxf)(xf（7）则的周期 T=4a；)(1)(1)(xfxfaxf)(xf（8）()()(2)(3)(4)f xf xaf xa f xaf xa,则的周期 T=5a；()()(2)(3)(4)f x f xa f xa f xa f xa)(xf（9），则的周期 T=6a)()()(axfxfaxf)(xf