Matlab实训线性代数问题的求解.pptx

Matlab实训线性代数问题的求解9、1 矩阵9、1、1特殊矩阵得输入数值矩阵得输入零矩阵、幺矩阵及单位矩阵 生成nn方阵:A=zeros(n),B=ones(n),C=eye(n)生成mn矩阵:A=zeros(m,n),B=ones(m,n),C=eye(m,n)生成和矩阵B同样位数得矩阵:A=zeros(size(B)随机元素矩阵若矩阵随机元素满足0,1区间上得均匀分布 生成nm阶标准均匀分布为随机数矩阵:A=rand(n,m)生成nn阶标准均匀分布为随机数方阵:A=rand(n)对角元素矩阵 已知向量生成对角矩阵:A=diag(V)已知矩阵提取对角元素列向量:Vdiag(A)生成主对角线上第k条对角线为V得矩阵:A=diag(V,k)例:diag()函数得不同调用格式 C=1 2 3;V=diag(C)%生成对角矩阵V=1 0 0 0 2 0 0 0 3 V1=diag(V)%将列向量通过转置变换成行向量V1=1 2 3 C=1 2 3;V=diag(C,2)%主对角线上第 k条对角线为C得矩阵V=0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0生成三对角矩阵:V=diag(1 2 3 4)+diag(2 3 4,1)+diag(5 4 3,-1)V=1 2 0 0 5 2 3 0 0 4 3 4 0 0 3 4Hilbert矩阵及逆Hilbert矩阵 生成n阶得Hilbert矩阵:A=hilb(n)求取逆Hilbert矩阵:B=invhilb(n)Hankel(汉克)矩阵 其中:第一列得各个元素定义为C向量,最后一行各个元素定义为R。H为对称阵。H1=hankel(C)由 Hankel 矩阵反对角线上元素相等得出一下三角阵均为零得Hankel 矩阵Vandermonde(范德蒙)矩阵 伴随矩阵其中:P(s)为首项系数为1得多项式。大家学习辛苦了，还是要坚持继续保持安静继续保持安静符号矩阵得输入 数值矩阵A转换成符号矩阵:B=sym(A)例:A=hilb(3)A=1、0000 0、5000 0、3333 0、5000 0、3333 0、2500 0、3333 0、2500 0、2000 B=sym(A)B=1,1/2,1/3 1/2,1/3,1/4 1/3,1/4,1/59、1、2 矩阵基本概念与性质行列式 格式:d=det(A)例:求行列式 A=16 2 3 13;5 11 10 8;9 7 6 12;4 14 15 1;det(A)ans=0例:tic,A=sym(hilb(20);det(A),toc ans=1/2377454716768534542761644534864934419759317734465558971765638419718232414981124161547178836800elapsed_time=2、3140高阶得Hilbert矩阵就是接近奇异得矩阵。矩阵得迹 格式:t=trace(A)矩阵得秩格式:r=rank(A)用默认得精度求数值秩 r=rank(A,)给定精度下求数值秩 矩阵得秩也表示该矩阵中行列式不等于0得子式得最大阶次。可证行秩和列秩(线性无关得)应相等。例 A=16 2 3 13;5 11 10 8;9 7 6 12;4 14 15 1;rank(A)ans=3该矩阵得秩为3,小于矩阵得阶次,故为非满秩矩阵。例 H=hilb(20);rank(H)数值方法ans=13 H=sym(hilb(20);rank(H)%解析方法,原矩阵为非奇异矩阵ans=20矩阵范数矩阵得范数定义:格式:N=norm(A)求解默认得2范数 N=norm(A,选项)选项可为1,2,inf等例:求一向量、矩阵得范数 a=16 2 3 13;norm(a),norm(a,2),norm(a,1),norm(a,Inf)ans=2、5635e+001 2、5635e+001 3、4000e+001 1、6000e+001 A=16 2 3 13;5 11 10 8;9 7 6 12;4 14 15 1;norm(A),norm(A,2),norm(A,1),norm(A,Inf)ans=34 34 34 34 符号运算工具箱未提供norm()函数,需先用double()函数转换成双精度数值矩阵,再调用norm()函数。特征多项式格式:C=poly(A)例:A=16 2 3 13;5 11 10 8;9 7 6 12;4 14 15 1;poly(A)直接求取ans=1、0000e+000 -3、399999999999999e+001 -7、999999999999986e+001 2、719999999999999e+003 -2、819840539024018e-012 A=sym(A);poly(A)运用符号工具箱 ans=x4-34*x3-80*x2+2720*x矩阵多项式得求解符号多项式与数值多项式得转换格式:f=poly2sym(P)或 f=poly2sym(P,x)格式:P=sym2poly(f)例:P=1 2 3 4 5 6;%先由系数按降幂顺序排列表示多项式 f=poly2sym(P,v)%以 v 为算子表示多项式 f=v5+2*v4+3*v3+4*v2+5*v+6 P=sym2poly(f)P=1 2 3 4 5 6矩阵得逆矩阵格式:C=inv(A)例:format long;H=hilb(4);H1=inv(H)H1=1、0e+003*0、000 -0、11999999999999 0、23999999999998 -0、999 -0、11999999999999 1、19999999999990 -2、69999999999976 1、67999999999984 0、23999999999998 -2、69999999999976 6、47999999999940 -4、19999999999961 -0、999 1、67999999999984 -4、19999999999961 2、79999999999974检验:H*H1ans=1、001 0、023 -0、045 0、023 0、001 1、011 -0、011 0、011 0、001 0 1、011 0 0、000 0、011 -0、011 1、011计算误差范数:norm(H*inv(H)-eye(size(H)ans=6、235798190375727e-013 H2=invhilb(4);norm(H*H2-eye(size(H)ans=5、684341886080802e-014 H=hilb(10);H1=inv(H);norm(H*H1-eye(size(H)ans=0、202 H2=invhilb(10);norm(H*H2-eye(size(H)ans=1、612897415528547e-005 H=hilb(13);H1=inv(H);norm(H*H1-eye(size(H)Warning:Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND=2、339949e-018、ans=53、23696008570294 H2=invhilb(13);norm(H*H2-eye(size(H)ans=11、371对接近于奇异矩阵,高阶一般不建议用inv(),可用符号工具箱。H=sym(hilb(7);inv(H)ans=49,-1176,8820,-29400,48510,-38808,12012-1176,37632,-317520,1128960,-1940400,1596672,-5045048820,-317520,2857680,-10584000,18711000,-15717240,5045040-29400,1128960,-10584000,40320000,-72765000,62092800,-2018016048510,-1940400,18711000,-72765000,133402500,-115259760,37837800-38808,1596672,-15717240,62092800,-115259760,100590336,-3329726412012,-504504,5045040,-20180160,37837800,-33297264,11099088 H=sym(hilb(30);norm(double(H*inv(H)-eye(size(H)ans=0例:奇异阵求逆 A=16 2 3 13;5 11 10 8;9 7 6 12;4 14 15 1;format long;B=inv(A)Warning:Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND=1、306145e-017、B=1、0e+014*0、93824992236885 2、856 -2、856 -0、93824992236885 2、856 8、44424930131968 -8、44424930131968 -2、856 -2、856 -8、44424930131968 8、44424930131968 2、856 -0、93824992236885 -2、856 2、856 0、93824992236885 norm(A*B-eye(size(A)检验ans=1、649 A=sym(A);inv(A)奇异矩阵不存在一个相应得逆矩阵,用符号工具箱得函数也不行?Error using=sym/invError,(in inverse)singular matrix同样适用于含有变量得矩阵求逆。例:syms a1 a2 a3 a4;C=a1 a2;a3 a4;inv(C)ans=-a4/(-a1*a4+a2*a3),a2/(-a1*a4+a2*a3)a3/(-a1*a4+a2*a3),-a1/(-a1*a4+a2*a3)矩阵得相似变换与正交矩阵 其中:A为一方阵,B矩阵非奇异。相似变换后,X矩阵得秩、迹、行列式与特征值等均不发生变化,其值与A矩阵完全一致。对于一类特殊得相似变换满足如下条件,称为正交基矩阵。例:A=5,9,8,3;0,3,2,4;2,3,5,9;3,4,5,8;Q=orth(A)Q=-0、6197 0、7738 -0、0262 -0、1286 -0、2548 -0、1551 0、9490 0、1017 -0、5198 -0、5298 -0、1563 -0、6517 -0、5300 -0、3106 -0、2725 0、7406 norm(Q*Q-eye(4)ans=4、6395e-016 norm(Q*Q-eye(4)ans=4、9270e-016例:A=16,2,3,13;5,11,10,8;9,7,6,12;4,14,15,1;Q=orth(A)A为奇异矩阵,故得出得Q为长方形矩阵Q=-0、5000 0、6708 0、5000 -0、5000 -0、2236 -0、5000 -0、5000 0、2236 -0、5000 -0、5000 -0、6708 0、5000 norm(Q*Q-eye(3)ans=1、0140e-0159、2 线性方程组直接解法9、2、1线性方程组直接求解矩阵除法关于线性方程组得直接解法,如Gauss消去法、选主元消去法、平方根法、追赶法等等,在MATLAB中,只需用“”或“”就解决问题。她内部实际包含着许许多多得自适应算法,如对超定方程用最小二乘法,对欠定方程时她将给出范数最小得一个解,解三对角阵方程组时用追赶法等等。格式:x=Ab例:解方程组 A=、4096,、1234,、3678,、2943;、2246,、3872,、4015,、1129;、3645,、1920,、3781,、0643;、1784,、4002,、2786,、3927;b=0、4043 0、1550 0、4240-0、2557;x=Ab;xans=-0、1819 -1、6630 2、2172 -0、44679、2、2线性方程组直接求解判定求解例:A=1 2 3 4;4 3 2 1;1 3 2 4;4 1 3 2;B=5 1;4 2;3 3;2 4;C=A B;rank(A),rank(C)ans=4ans=4 x=inv(A)*Bx=-1、8000 2、4000 1、8667 -1、2667 3、8667 -3、2667 -2、1333 2、7333检验 norm(A*x-B)ans=7、4738e-015精确解 x1=inv(sym(A)*B x1=-9/5,12/5 28/15,-19/15 58/15,-49/15-32/15,41/15检验 norm(double(A*x1-B)ans=0原方程组对应得齐次方程组得解求取A矩阵得化零矩阵:格式:Z=null(A)求取A矩阵得化零矩阵得规范形式:格式:Z=null(A,r)例:判断可解性 A=1 2 3 4;2 2 1 1;2 4 6 8;4 4 2 2;B=1;3;2;6;C=A B;rank(A),rank(C)ans=2 2 Z=null(A,r)%解出规范化得化零空间Z=2、0000 3、0000 -2、5000 -3、5000 1、0000 0 0 1、0000 x0=pinv(A)*B%得出一个特解x0=0、9542 0、7328%全部解 -0、0763 -0、2977验证得出得解 a1=randn(1);a2=rand(1);%取不同分布得随机数 x=a1*Z(:,1)+a2*Z(:,2)+x0;norm(A*x-B)ans=4、4409e-015解析解 Z=null(sym(A)Z=2,3-5/2,-7/2 1,0 0,1 x0=sym(pinv(A)*B)x0=125/131 96/131 -10/131 -39/131 验证得出得解 a1=randn(1);a2=rand(1);%取不同分布得随机数 x=a1*Z(:,1)+a2*Z(:,2)+x0;norm(double(A*x-B)ans=0通解 syms a1 a2;x=a1*Z(:,1)+a2*Z(:,2)+x0 x=2*a1+3*a2+125/131-5/2*a1-7/2*a2+96/131 a1-10/131 a2-39/131 摩尔彭罗斯广义逆求解出得方程最小二乘解不满足原始代数方程。9、2、3 线性方程组得直接求解分析LU分解 格式 l,u,p=lu(A)L就是一个单位下三角矩阵,u就是一个上三角矩阵,p就是代表选主元得置换矩阵。故:Ax=y =PAx=Py =LUx=Py =PA=LU l,u=lu(A)其中l等于P-1 L,u等于U,所以(P-1 L)U=A例:对A进行LU分解 A=1 2 3;2 4 1;4 6 7;l,u,p=lu(A)l=1、0000 0 0 0、5000 1、0000 0 0、2500 0、5000 1、0000u=4、0000 6、0000 7、0000 0 1、0000 -2、5000 0 0 2、5000p=0 0 1 0 1 0 1 0 0 l,u=lu(A)lP-1 Ll=0、2500 0、5000 1、0000 0、5000 1、0000 0 1、0000 0 0u=4、0000 6、0000 7、0000 0 1、0000 -2、5000 0 0 2、5000QR分解 将矩阵A分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵得乘积。求得正交矩阵Q和上三角阵R,Q和R满足A=QR。格式:Q,R=qr(A)例:A=1 2 3;4 5 6;7 8 9;10 11 12;Q,R=qr(A)Q=-0、0776 -0、8331 0、5456 -0、0478 -0、3105 -0、4512 -0、6919 0、4704 -0、5433 -0、0694 -0、2531 -0、7975 -0、7762 0、3124 0、3994 0、3748R=-12、8841 -14、5916 -16、2992 0 -1、0413 -2、0826 0 0 -0、0000 0 0 0Cholesky(乔里斯基)分解 若矩阵A为 n阶对称正定阵,则存在唯一得对角元素为正得三角阵D,使得 格式:D=chol(A)例:进行Cholesky分解。A=16 4 8;4 5-4;8-4 22;D=chol(A)D=4 1 2 0 2 -3 0 0 3利用矩阵得LU、QR和cholesky分解求方程组得解(1)LU分解:A*X=b 变成 L*U*X=b所以 X=U(Lb)这样可以大大提高运算速度。例:求方程组 得一个特解。解:A=4 2-1;3-1 2;11 3 0;B=2 10 8;D=det(A)D=0 L,U=lu(A)L=0、3636 -0、5000 1、0000 0、2727 1、0000 0 1、0000 0 0U=11、0000 3、0000 0 0 -1、8182 2、0000 0 0 0、0000 X=U(LB)Warning:Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND=2、018587e-017、X=1、0e+016*%结果中得警告就是由于系数行列式为零产生得。-0、4053%可以通过A*X验证其正确性。1、4862 1、3511 A*Xans=0 8 8(2)Cholesky分解 若A为对称正定矩阵,则Cholesky分解可将矩阵A分解成上三角矩阵和其转置得乘积,方程 A*X=b 变成 R*R*X=b所以 X=R(Rb)(3)QR分解 对于任何长方矩阵A,都可以进行QR分解,其中Q为正交矩阵,R为上三角矩阵得初等变换形式,即:A=QR方程 A*X=b 变形成 QRX=b所以 X=R(Qb)这三种分解,在求解大型方程组时很有用。其优点就是运算速度快、可以节省磁盘空间、节省内存。三个变换 在线性方程组得迭代求解中,要用到系数矩阵A得上三角矩阵、对角阵和下三角矩阵。此三个变换在MATLAB中可由以下函数实现。上三角变换:格式 triu(A,1)对角变换:格式 diag(A)下三角变换:格式 tril(A,-1)例:对此矩阵做三种变换。A=1 2-2;1 1 1;2 2 1;triu(A,1)ans=0 2 -2 0 0 1 0 0 0 tril(A,-1)ans=0 0 0 1 0 0 2 2 0 b=diag(A);bans=1 1 19、3 迭代解法得几种形式9、3、1 Jacobi迭代法方程组 Ax=b A可写成 A=D-L-U 其中:D=diaga11,a22,ann,-L、-U分别为A得严格下、上三角部分(不包括对角线元素)、由 Ax=b x=Bx+f 由此可构造迭代法:x(k+1)=Bx(k)+f 其中:B=D-1(L+U)=I-D-1A,f=D-1b、function y=jacobi(a,b,x0)D=diag(diag(a);U=-triu(a,1);L=-tril(a,-1);B=D(L+U);f=Db;y=B*x0+f;n=1;while norm(y-x0)=1、0e-6 x0=y;y=B*x0+f;n=n+1;endn例:用Jacobi方法求解,设x(0)=0,精度为10-6。a=10-1 0;-1 10-2;0-2 10;b=9;7;6;jacobi(a,b,0;0;0)n=11ans=0、9958 0、9579 0、79169、3、2 Gauss-Seidel迭代法由原方程构造迭代方程 x(k+1)=G x(k)+f其中:G=(D-L)-1 U,f=(D-L)-1 b D=diaga11,a22,ann,-L、-U分别为A得严格下、上三角部分(不包括对角线元素)、function y=seidel(a,b,x0)D=diag(diag(a);U=-triu(a,1);L=-tril(a,-1);G=(D-L)U ;f=(D-L)b;y=G*x0+f;n=1;while norm(y-x0)=1、0e-6 x0=y;y=G*x0+f;n=n+1;endn例:对上例用Gauss-Seidel迭代法求解 a=10-1 0;-1 10-2;0-2 10;b=9;7;6;seidel(a,b,0;0;0)n=7ans=0、9958 0、9579 0、7916例:分别用Jacobi和G-S法迭代求解,看就是否收敛。a=1 2-2;1 1 1;2 2 1;b=9;7;6;jacobi(a,b,0;0;0)n=4ans=-27 26 8 seidel(a,b,0;0;0)n=1011ans=1、0e+305*-Inf Inf -1、75569、3、3 SOR迭代法 在很多情况下,J法和G-S法收敛较慢,所以考虑对G-S法进行改进。于就是引入一种新得迭代法逐次超松弛迭代法(Succesise Over-Relaxation),记为SQR法。迭代公式为:X(k+1)=(D-wL)-1(1-w)D+wU)x(k)+w(D-wL)-1 b 其中:w最佳值在1,2)之间,不易计算得到,因此 w通常有经验给出。function y=sor(a,b,w,x0)D=diag(diag(a);U=-triu(a,1);L=-tril(a,-1);M=(D-w*L)(1-w)*D+w*U);f=(D-w*L)b*w;y=M*x0+f;n=1;while norm(y-x0)=1、0e-6 x0=y;y=M*x0+f;n=n+1;endn例:上例中,当w=1、103时,用SOR法求解原方程。a=10-1 0;-1 10-2;0-2 10;b=9;7;6;sor(a,b,1、103,0;0;0)n=8ans=0、9958 0、9579 0、79169、3、4 两步迭代法 当线性方程系数矩阵为对称正定时,可用一种特殊得迭代法来解决,其迭代公式为:(D-L)x(k+1/2)=U x(k)+b (D-U)x(k+1)=Lx(k+1/2)+b=x(k+1/2)=(D-L)-1 U x(k)+(D-L)-1 b x(k+1)=(D-U)-1 Lx(k+1/2)+(D-U)-1 bfunction y=twostp(a,b,x0)D=diag(diag(a);U=-triu(a,1);L=-tril(a,-1);G1=(D-L)U;f1=(D-L)b;G2=(D-U)L;f1=(D-U)b;y=G1*x0+f1;y=G2*y+f2;n=1;while norm(y-x0)=1、0e-6 x0=y;y=G1*x0+f1;y=G2*y+f2;n=n+1;endn例:求解方程组 a=10-1 2 0;-1 11-1 3;2-1 10 3;0 3-1 8;b=6;25;-11;15;twostp(a,b,0;0;0;0)n=7ans=1、0791 1、9824 -1、4044 0、95609、4 线性方程组得符号解法 在MATLAB得Symbolic Toolbox中提供了线性方程得符号求解函数,如 linsolve(A,b)等同于 X=sym(A)sym(b)、solve(eqn1,eqn2,、,eqnN,var1,var2,、,varN)例:A=sym(10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10);b=(9;7;6);linsolve(A,b)ans=473/475 91/95 376/475 vpa(ans)ans=、995789473684210526321、957894736842105263211、7921052632例:x,y=solve(x2+x*y+y=3,x2-4*x+3=0,x,y)x=1 3 y=1 -3/2 9、5 稀疏矩阵技术稀疏矩阵得建立:格式 S=sparse(i,j,s,m,n)生成一mxn阶得稀疏矩阵,以向量i和j为坐标得位置上对应元素值为s。例:n=5;a1=sparse(1:n,1:n,4*ones(1,n),n,n)a1=(1,1)4 (2,2)4 (3,3)4 (4,4)4 (5,5)4例:a2=sparse(2:n,1:n-1,ones(1,n-1),n,n)a2=(2,1)1 (3,2)1 (4,3)1 (5,4)1 full(a2)ans=0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0例:n=5,建立主对角线上元素为4,两条次对角线为1得三对角阵。n=5;a1=sparse(1:n,1:n,4*ones(1,n),n,n);a2=sparse(2:n,1:n-1,ones(1,n-1),n,n);a=a1+a2+a2a=(1,1)4 (2,1)1 (1,2)1 (2,2)4 (3,2)1 (2,3)1 (3,3)4 (4,3)1 (3,4)1 (4,4)4 (5,4)1 (4,5)1 (5,5)4 full(a)ans=4 1 0 0 0 1 4 1 0 0 0 1 4 1 0 0 0 1 4 1 0 0 0 1 4格式 A=spdiags(B,d,m,n)生成一mxn阶得稀疏矩阵,使得B得列放在由d指定得位置。例:n=5 b=spdiags(ones(n,1),4*ones(n,1),ones(n,1),-1,0,1,n,n);full(b)ans=4 1 0 0 0 1 4 1 0 0 0 1 4 1 0 0 0 1 4 1 0 0 0 1 4格式:spconvert(dd)对于无规律得稀疏矩阵,可使用此命令由外部数据转化为稀疏矩阵。调用形式为:先用load函数加载以行表示对应位置和元素值得、dat文本文件,再用此命令转化为稀疏矩阵。例:无规律稀疏矩阵得建立。首先编制文本文件sp、dat如下:5 1 5、003 5 8、004 4 2、005 5 0 load sp、dat spconvert(sp)ans=(5,1)5 (4,4)2 (3,5)8 full(ans)ans=0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 2 0 5 0 0 0 0稀疏矩阵得计算:同满矩阵比较,稀疏矩阵在算法上有很大得不同。具体表现在存储空间减少,计算时间减少。例:比较求解下面方程组n1000时两种方法得差别。n=1000;a1=sparse(1:n,1:n,4*ones(1,n),n,n);a2=sparse(2:n,1:n-1,ones(1,n-1),n,n);a=a1+a2+a2;b=ones(1000,1);tic;x=ab;t1=toct1=0、4800 a=full(a);tic;x=ab;t2=toct2=1、32209、6 矩阵得特征值问题 9、6、1一般矩阵得特征值与特征向量格式:d=eig(A)只求解特征值。格式:V,D=eig(A)求解特征值和特征向量。例:直接求解:A=16 2 3 13;5 11 10 8;9 7 6 12;4 14 15 1;eig(A)ans=34、0000 8、9443 -8、9443 0、0000精确解:eig(sym(A)ans=0 34 4*5(1/2)-4*5(1/2)高精度数值解:vpa(ans,70)ans=0 34、8、9442719514384461981642084-8、9442719514384461028 972084同时求出特征值与特征向量:直接求解:v,d=eig(A)v=-0、5000 -0、8236 0、3764 -0、2236 -0、5000 0、4236 0、0236 -0、6708 -0、5000 0、0236 0、4236 0、6708 -0、5000 0、3764 -0、8236 0、2236d=34、0000 0 0 0 0 8、9443 0 0 0 0 -8、9443 0 0 0 0 0、0000解析解:v,d=eig(sym(A)v=-1,1,-8*5(1/2)-17,8*5(1/2)-17 -3,1,4*5(1/2)+9,-4*5(1/2)+9 3,1,1,1 1,1,4*5(1/2)+7,-4*5(1/2)+7 d=0,0,0,0 0,34,0,0 0,0,4*5(1/2),0 0,0,0,-4*5(1/2)9、6、2 矩阵得广义特征向量问题 若B=I,则化成普通矩阵特征值问题。格式:d=eig(A,B)求解广义特征值。格式:V,D=eig(A,B)求解广义特征值和特征向量。例:直接求解:A=5,7,6,5;7,10,8,7;6,8,10,9;5,7,9,10;B=2,6,-1,-2;5,-1,2,3;-3,-4,1,10;5,-2,-3,8;V,D=eig(A,B)V=0、3697 -0、3741+0、6259i -0、3741-0、6259i 1、0000 0、9948 -0、0674-0、2531i -0、0674+0、2531i -0、6090 0、7979 0、9239+0、0264i 0、9239-0、0264i -0、2316 1、0000 -0、6599-0、3263i -0、6599+0、3263i 0、1319