线性代数A至C.doc

线性代数模拟题A
一．单选题.
1.下列（ A ）是4级偶排列．
（A） 4321； (B) 4123； (C) 1324； (D) 2341．
2. 如果
，，
那么（ B ）．
（A） 8； (B) ； (C) 24； (D) ．
3. 设与均为矩阵，满足，则必有（C）．
（A）或； （B）；
（C）或； （D）．
4. 设为阶方阵，而是的伴随矩阵，又为常数，且，则必有等于（B）．
（A）； （B）； （C）； （D）．
5.向量组线性相关的充要条件是（C）
（A）中有一零向量
(B) 中任意两个向量的分量成比例
(C) 中有一个向量是其余向量的线性组合
(D) 中任意一个向量都是其余向量的线性组合
6. 已知是非齐次方程组的两个不同解，是的基础解系，为任意常数，则的通解为（B）
(A) ; (B)
(C) ; (D)
7. λ＝2是A的特征值，则（A2/3）－1的一个特征值是（b）
(a)4/3 (b)3/4 (c)1/2 (d)1/4
8. 若四阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式|B-1-I|=( b)
(a)0 (b)24 (c)60 (d)120
9. 若是（A），则必有．
（A）对角矩阵； (B) 三角矩阵； (C) 可逆矩阵； (D) 正交矩阵．
10. 若为可逆矩阵，下列（A）恒正确．
（A）； (B) ；
(C) ； (D) ．
二．计算题或证明题
1. 设矩阵

(1)当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得P－1AP为对角矩阵？
(2)求出P及相应的对角矩阵。
参考答案：
(1)

则应有当时，A+E的秩为1

所以，k=0
(2)
当时，

对应特征向量可取为
当时，对应的特征向量可取为
因此，
2. 设n阶可逆矩阵A的一个特征值为λ，A*是A的伴随矩阵，设|A|=d，证明：d/λ是A*的一个特征值。
参考答案：
设α是A的属于特征值λ的特征向量,则 Aα = λα
两边左乘A*得 A*Aα = λA*α
所以有 |A|α = λA*α,即 dα = λA*α
因为A可逆,所以A的特征值都不等于0
所以有 (d/λ)α = A*α
即d/λ是A*的一个特征值,α是A的属于特征值d/λ的特征向量.
3. 当取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解．

参考答案：
. 对增广矩阵B=（A，b）作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵，有
当时，即时，R（A）=R（B）=3，方程组有唯一解。
此时解为：
当时，。
当a=1时，R（A）=R（B）=1，方程组有无穷解
此时解为：
当时，R（A）=2，R（B）=,3无解。

4. 求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示．

参考答案：

，则向量的秩为3，
极大无关组为：，且，
5. 若是对称矩阵，是反对称矩阵，试证：是对称矩阵．
参考答案：
由已知条件知道，,则有，,所以是对称矩阵

线性代数模拟题B
一．单选题.
1. 若是五阶行列式的一项，则、的值及该项符号为（C）．
（A），，符号为负； (B) ，符号为正；
(C) ，，符号为负； (D) ，，符号为正．
2. 下列行列式（ A ）的值必为零．
(A) 阶行列式中，零元素个数多于个；
(B) 阶行列式中，零元素个数小于个；
(C) 阶行列式中，零元素个数多于个；
(D) 阶行列式中，零元素的个数小于个．
3. 设，均为阶方阵，若，则必有（D）．
（A）； (B)； (C)； (D)．
4. 设与均为矩阵，则必有（C ）．
（A）；（B）；（C）；（D）．
5. 如果向量可由向量组线性表出，则（D）
(A) 存在一组不全为零的数，使等式成立
(B) 存在一组全为零的数，使等式成立
(C) 对的线性表示式不唯一
(D) 向量组线性相关
6. 齐次线性方程组有非零解的充要条件是（A）
(A)系数矩阵的任意两个列向量线性相关
(B) 系数矩阵的任意两个列向量线性无关
(C )必有一列向量是其余向量的线性组合
(D)任一列向量都是其余向量的线性组合
7. 设n阶矩阵A的一个特征值为λ，则(λA－1)2＋I必有特征值（ C ）
(a)λ2+1 (b)λ2-1 (c)2 (d)-2
8. 已知 与对角矩阵相似，则＝（A）
(a) 0 ; (b) －1 ; (c) 1 ; (d) 2
9. 设，，均为阶方阵，下面（ D）不是运算律．
（A） ； （B）；
（C）； （D）．
10. 下列矩阵（ B）不是初等矩阵．
(A)；（B）；（C）；（D）．
二．计算题或证明题（
1. 已知矩阵A，求A10。其中
，求的A的特征值为。
当时，解方程（A-E）x=0，由，得基础解系，单位化为
当时，解方程（A-2E）x=0，由，得基础解系，单位化为
将P1、P2构成正交矩阵：，有
，则，和答案不一样啊，不知道怎么回事。
参考答案：

2. 设A为可逆矩阵，λ是它的一个特征值，证明：λ≠0且λ-1是A-1的一个特征值。
参考答案：
当A可逆时，由AP=λP,有P=λA-1P，因为P≠0，知道λ≠0，因此
A-1P=λ-1P,所以λ-1是A-1的一个特征值
。
3. 当取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解．

参考答案：
对增广矩阵B=（A，b）作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵，有
当时，即时，R（A）=R（B）=3，方程组有唯一解。

此时解为：
当a=1时，R（A）=R（B）=1，方程组有无穷解
此时解为：
当时，R（A）=2，R（B）=,3无解。

4. 求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示．

参考答案：
则向量的秩为3
极大无关组为：，且
5. 若是对称矩阵，是正交矩阵，证明是对称矩阵．
参考答案：、
，因为T是正交矩阵，所以，又A是对称矩阵，，所以
，是对称阵。

线性代数模拟题C
一．单选题.
1. 设五阶行列式，依下列次序对进行变换后，其结果是（A）．
交换第一行与第五行，再转置，用2乘所有的元素，再用-3乘以第二列加于第三列，最后用4除第二行各元素．
（A）； (B)； (C)； (D)．
2. 如果方程组有非零解，则（D）．
（A）或；（B）或；（C）或；（D）或．
3. 设，，，为同阶矩阵，若，则下列各式中总是成立的有（A）．
（A） ； (B) ； (C) ； (D) ．
4. 设，，为同阶矩阵，且可逆，下式（ A）必成立．
（A）若，则； (B) 若，则；
(C) 若，则； (D) 若，则．
5. 若向量组的秩为，则（D）
（A）必定r<s
(B)向量组中任意小于个向量的部分组线性无关
(C )向量组中任意个向量线性无关
(D)向量组中任意个向量必定线性相关
6. 设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是（C）
(A) ; (B) ;
(C) ; (D) .
7. 设A、B为n阶矩阵，且A与B相似，I为n阶单位矩阵，则（d）
(a)λI-A＝λI-B (b)A与B有相同的特征值和特征向量
(c)A与B都相似于一个对角矩阵 (d)kI-A与kI-B相似（k是常数）
8. 当（c）时，A为正交矩阵，其中

(a)a=1,b=2,c=3; (b) a=b=c=1; (c) a=1,b=0,c=-1; (d)a=b=1,c=0 .
9. 已知向量组线性无关，则向量组（ A）
(A) 线性无关;
(B) 线性无关;
(C) 线性无关;
(D) 线性无关.
10. 当（B）时，有
．
（A）；（B）；（C）；（D）．
二．计算题或证明题
1. 设A～B,试证明
(1)Am～Bm(m为正整数)（2）如A可逆，则B也可逆，且A－1～B－1
参考答案：略。

2. 如n阶矩阵A满足A2=A，证明：A的特征值只能为0或-1。
参考答案：略。

3. 当、b取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解．

参考答案：

当a=0, b = －2时有解
4. 判断向量能否被线性表出，若能写出它的一种表示法．
，
参考答案：

5. 若方阵可逆，则的伴随矩阵也可逆，并求出的逆矩阵．
参考答案：