线性代数A至C.doc

线性代数模拟题A一单选题. 1.下列（ A ）是4级偶排列（A） 4321； (B) 4123； (C) 1324； (D) 23412. 如果，那么（ B ）（A） 8； (B) ； (C) 24； (D) 3. 设与均为矩阵，满足，则必有（C）（A）或； （B）；（C）或； （D）4. 设为阶方阵，而是的伴随矩阵，又为常数，且，则必有等于（B）（A）； （B）； （C）； （D）5.向量组线性相关的充要条件是（C）（A）中有一零向量(B) 中任意两个向量的分量成比例(C) 中有一个向量是其余向量的线性组合(D) 中任意一个向量都是其余向量的线性组合6. 已知是非齐次方程组的两个不同解，是的基础解系，为任意常数，则的通解为（B）(A) ; (B) (C) ; (D) 7. 2是A的特征值，则（A2/3）1的一个特征值是（b）(a)4/3 (b)3/4 (c)1/2 (d)1/48. 若四阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式|B-1-I|=( b)(a)0 (b)24 (c)60 (d)1209. 若是（A），则必有（A）对角矩阵； (B) 三角矩阵； (C) 可逆矩阵； (D) 正交矩阵10. 若为可逆矩阵，下列（A）恒正确 （A）； (B) ； (C) ； (D) 二计算题或证明题1. 设矩阵 (1)当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得P1AP为对角矩阵？(2)求出P及相应的对角矩阵。参考答案：(1)则应有当时，A+E的秩为1所以，k=0 (2)当时，对应特征向量可取为当时，对应的特征向量可取为因此，2. 设n阶可逆矩阵A的一个特征值为，A*是A的伴随矩阵，设|A|=d，证明：d/是A*的一个特征值。参考答案：设是A的属于特征值的特征向量,则 A = 两边左乘A*得 A*A = A*所以有 |A| = A*,即 d = A*因为A可逆,所以A的特征值都不等于0所以有 (d/) = A*即d/是A*的一个特征值,是A的属于特征值d/的特征向量.3. 当取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解 参考答案：. 对增广矩阵B=（A，b）作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵，有当时，即时，R（A）=R（B）=3，方程组有唯一解。此时解为：当时，。当a=1时，R（A）=R（B）=1，方程组有无穷解此时解为：当时，R（A）=2，R（B）=,3无解。4. 求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示参考答案：，则向量的秩为3，极大无关组为：，且，5. 若是对称矩阵，是反对称矩阵，试证：是对称矩阵参考答案：由已知条件知道，,则有，,所以是对称矩阵线性代数模拟题B一单选题. 1. 若是五阶行列式的一项，则、的值及该项符号为（C）（A），符号为负； (B) ，符号为正； (C) ，符号为负； (D) ，符号为正2. 下列行列式（ A ）的值必为零(A) 阶行列式中，零元素个数多于个；(B) 阶行列式中，零元素个数小于个；(C) 阶行列式中，零元素个数多于个； (D) 阶行列式中，零元素的个数小于个3. 设，均为阶方阵，若，则必有（D）（A）； (B)； (C)； (D)4. 设与均为矩阵，则必有（C ）（A）；（B）；（C）；（D）5. 如果向量可由向量组线性表出，则（D）(A) 存在一组不全为零的数，使等式成立(B) 存在一组全为零的数，使等式成立(C) 对的线性表示式不唯一(D) 向量组线性相关6. 齐次线性方程组有非零解的充要条件是（A）(A)系数矩阵的任意两个列向量线性相关(B) 系数矩阵的任意两个列向量线性无关(C )必有一列向量是其余向量的线性组合(D)任一列向量都是其余向量的线性组合7. 设n阶矩阵A的一个特征值为，则(A1)2I必有特征值（ C ）(a)2+1 (b)2-1 (c)2 (d)-28. 已知与对角矩阵相似，则（A） (a) 0 ; (b) 1 ; (c) 1 ; (d) 29. 设，均为阶方阵，下面（ D）不是运算律（A） ； （B）；（C）； （D）10. 下列矩阵（ B）不是初等矩阵(A)；（B）；（C）；（D）二计算题或证明题（1. 已知矩阵A，求A10。其中，求的A的特征值为。当时，解方程（A-E）x=0，由，得基础解系，单位化为当时，解方程（A-2E）x=0，由，得基础解系，单位化为将P1、P2构成正交矩阵：，有，则，和答案不一样啊，不知道怎么回事。参考答案：2. 设A为可逆矩阵，是它的一个特征值，证明：0且-1是A-1的一个特征值。参考答案：当A可逆时，由AP=P,有P=A-1P，因为P0，知道0，因此A-1P=-1P,所以-1是A-1的一个特征值。3. 当取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解 参考答案： 对增广矩阵B=（A，b）作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵，有当时，即时，R（A）=R（B）=3，方程组有唯一解。 此时解为： 当a=1时，R（A）=R（B）=1，方程组有无穷解此时解为：当时，R（A）=2，R（B）=,3无解。4. 求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示参考答案： 则向量的秩为3极大无关组为：，且5. 若是对称矩阵，是正交矩阵，证明是对称矩阵参考答案：、，因为T是正交矩阵，所以，又A是对称矩阵，所以，是对称阵。线性代数模拟题C一单选题. 1. 设五阶行列式，依下列次序对进行变换后，其结果是（A）交换第一行与第五行，再转置，用2乘所有的元素，再用-3乘以第二列加于第三列，最后用4除第二行各元素（A）； (B)； (C)； (D)2. 如果方程组有非零解，则（D） （A）或；（B）或；（C）或；（D）或3. 设，为同阶矩阵，若，则下列各式中总是成立的有（A）（A） ； (B) ； (C) ； (D) 4. 设，为同阶矩阵，且可逆，下式（ A）必成立（A）若，则； (B) 若，则； (C) 若，则； (D) 若，则5. 若向量组的秩为，则（D）（A）必定rs(B)向量组中任意小于个向量的部分组线性无关(C )向量组中任意个向量线性无关(D)向量组中任意个向量必定线性相关6. 设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是（C）(A) ; (B) ; (C) ; (D) .7. 设A、B为n阶矩阵，且A与B相似，I为n阶单位矩阵，则（d） (a)I-AI-B (b)A与B有相同的特征值和特征向量 (c)A与B都相似于一个对角矩阵 (d)kI-A与kI-B相似（k是常数）8. 当（c）时，A为正交矩阵，其中 (a)a=1,b=2,c=3; (b) a=b=c=1; (c) a=1,b=0,c=-1; (d)a=b=1,c=0 .9. 已知向量组线性无关，则向量组（ A）(A) 线性无关;(B) 线性无关;(C) 线性无关;(D) 线性无关.10. 当（B）时，有（A）；（B）；（C）；（D）二计算题或证明题1. 设AB,试证明(1)AmBm(m为正整数)（2）如A可逆，则B也可逆，且A1B1参考答案：略。2. 如n阶矩阵A满足A2=A，证明：A的特征值只能为0或-1。参考答案：略。3. 当、b取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解 参考答案： 当a=0, b = 2时有解4. 判断向量能否被线性表出，若能写出它的一种表示法，参考答案： 5. 若方阵可逆，则的伴随矩阵也可逆，并求出的逆矩阵参考答案：