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基本平面图形知识

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基本平面图形
一、知识讲解
考点1：线段、射线、直线
1．直线的性质
(1)两条直线相交，只有1个交点．
(2)经过两点有且只有一条直线，即：两点确定一条直线
2．线段的性质: 所有连接两点的线中，线段最短，即：两点之间线段最短．
3．线段的中点
把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做这条线段的中点．
如图，点M将线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点.
A M B
当点M是线段AB的中点时，就有关系式：AB=2AM=2BM，AM=BM=AB；反过来，如果点M在线段AB上，且有这样的数量关系式，那么点M就是线段AB的中点.
4．直线、射线、线段的区别与联系
名称
图形
表示方法
界限
端点
长度
线段

线段AB（或线段BA）（字母无序）

线段a
两方
有界
两个
有
射线

射线AB(字母有序)
一方有界，一方无限
一个
无
直线

直线AB（或直线BA）（字母无序）

直线l
两方
无限
无
无
考点2：角的有关概念及性质
1．角的有关概念
角是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．射线端点叫做角的顶点，两条射线是角的两边．从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线就叫做这个角的平分线.
方法
图　形
表示
注意事项
三个大写字母

∠AOB

顶点字母放在中间
数字或希腊字母

∠1,∠α

在所要表示的角的内部加弧线,在其旁边写上数字或字母
顶点字母

∠O

从这个角的顶点出发的角必须只有一个。
易错点:
当一个顶点处有两个以上的角时，不能用顶点字母表示法来表示角.(举例)
2．角的单位与换算
1°＝60′，1′＝60″，1周角＝2平角＝4直角．
考点3 度、分、秒的换算
1、角的单位及意义
角的单位: 度、分、秒．
意义：①把一个平角180等分，每一份就是一度的角，记作1°；
②把一度的角60等分，每一份就是一分的角，记作1′；
③把一分的角60等分，每一份就是一秒的角，记作1″.
2、度、分、秒的进率及换算方法
度、分、秒的进率是60.即1°＝60′，1′＝60″，1°＝60′＝3 600″.
易错点:
(1)度、分、秒的换算是60进制，与时间中的时、分、秒的换算相同；
(2)角的度数的换算有两种方法：
①由度化成度、分、秒的形式(即从高位向低位化)，用乘法，1°＝60′，1′＝60″；
②由度、分、秒化成度的形式(即从低位向高位化),1″＝′，1′＝°，用除法
3、钟面角
1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12=30°．
2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数．
3）钟面上的路程问题 分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60=6°
时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60=0.5°．
4、角的和、差、倍、分
（1）∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
5、锐角、直角、钝角、平角、周角的概念和大小
（1）平角：角的两边成一条直线时，这个角叫平角。
（2）周角：角的一边旋转一周，与另一边重合时，这个角叫周角。
（3）0°<锐角<90°，直角=90°，90°<钝角<180°，平角=180°，周角=360°。
6、角的平分线
(1)定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．
①角平分线是以角的顶点为端点的特殊射线，它在角的内部；
②角平分线把角分成两个相等的角．
(2)角平分线的表示：
①OC是∠AOB的平分线；②∠AOC＝∠COB＝∠AOB，∠AOB＝2∠AOC＝2∠COB.
易错点：　
角的平分线是一条射线，不是线段，也不是直线，它必须满足下面的条件：
①是从角的顶点引出的射线，且在角的内部；
②把已知角分成了两个角，且这两个角相等
考点4多边形和多边形的对角线
1、三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形，它们都是由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形．
2、多边形的对角线： 一个n(n>3)边形从一个顶点可以引(n－3)条对角线，把n边形分成(n－2)个三角形．一个n边形一共有条对角线
3、正多边形： 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．
考点5圆与扇形
如图，平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆．固定的端点O称为圆心，线段OA称为半径．圆上任意两点A，B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”；由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫做扇形；顶点在圆心的角叫做圆心角.
二、例题精析
例1.如图，C，D是线段AB上两点，若CB＝4 cm，DB＝7 cm，且D是AC的中点，则AC的长为(　　)

A．3 cm B．6 cm C．11 cm D．14 cm
例2.如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB＝55°，则∠BOD的度数是(　　)

A．35° B．55° C．70° D．110°
例3.如图所示，∠1＋∠2＝(　　)

A．60° B．90°
C．110° D．180°
例4.下列四个角中，最有可能与70°角互补的角是(　　)

例5.如图，A岛在B岛的北偏东30°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，从A岛看B、C两岛的视角∠BAC=70°，那么A岛在C岛的什么方向上？

例6.如图，直线AB、CD、EF交于点O，∠DOB是它的余角的2倍，∠AOE=2∠DOF，且有OG⊥OA，求∠EOG的度数．

例7.一个角比它的余角大18°22′46″，则这个角的补角的度数为( )
A.35°48′37″ B.144°11′23″ C.125°48′37″ D.36°11′23″
例8.下列说法错误的是( )
A.角的大小与角的边的长短无关
B.角的大小和它们的度数大小是一致的
C.角的平分线是一条直线
D.如果C点在∠AOB的内部，那么射线OC上所有的点都在∠AOB的内部
三、课堂运用
1.在直线l上任取一点A，截取AB＝16 cm，再截取AC＝40 cm，求AB的中点D与AC的中点E的距离．

2. 如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝100°，则∠BOD的度数是(　　)
A．20° B．40° C．50° D．80°
3. （2009•崇左）如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠AEF=
A．110° B．115° C．120° D．130°
4. (1)如图，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．
(2)如果(1)中∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数．
(3)如果(1)中∠BOC＝β(β为锐角)，其他条件不变，求∠MON的度数．
(4)从(1)，(2)，(3)的结果能看出什么规律？
【巩固】
1. （2007•贵阳）如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．
（1）“17”在射线_______上；
（2）请任意写出三条射线上数字的排列规律；
（3）“2007”在哪条射线上？
2. （2012•永州）永州境内的潇水河畔有朝阳岩、柳子庙和迴龙塔等三个名胜古迹（如图所示）．其中柳子庙坐落在潇水之西的柳子街上，始建于1056年，是永州人民为纪念唐宋八大家之一的柳宗元而筑建．现有三位游客分别参观这三个景点，为了使这三位游客参观完景点后步行返回旅游车上所走的路程总和最短．那么，旅游车等候这三位游客的最佳地点应在（　　）
　 A． 朝阳岩
　 B． 柳子庙
　 C． 迴龙塔
　 D． 朝阳岩和迴龙塔这段路程的中间位置
3.平面上有四点，过其中每两点画出一条直线，可以画直线的条数为（　　）

A．
1或4
B．
1或6
C．
4或6
D．
1或4或6
【拔高】
1. （2010•柳州）如图，点A、B、C是直线l上的三个点，图中共有线段条数是（　　）

A．
1条
B．
2条
C．
3条
D．
4条
2. （2013•沈阳一模）2012年12月26日京广高铁全线通车．一列往返于北京和广州的火车，沿途要经过石家庄、郑州、武汉、长沙四站，铁路部门要为这趟列车准备印制（　　）种车票．

A．
6
B．
12
C．
15
D．
30
3. （2012•随州）平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线．若平面内的不同n个点最多可确定15条直线，则n的值为　　．
4. 如图，已知∠AOC=α，∠BOC=β，且OD，OE分别为∠AOB，∠BOC的角平分线，则∠DOE的度数为（　　）（用α，β的代数式表示）

A．

B．

C．

D．

四、课后作业
【基础】
1. （2012•通辽）4点10分，时针与分针所夹的小于平角的角为（　　）

A．
55°
B．
65°
C．
70°
D．
以上结论都不对
2. （2012•南昌）如图，如果在阳光下你的身影的方向北偏东60°方向，那么太阳相对于你的方向是（　　）

A．
南偏西60°
B．
南偏西30°
C．
北偏东60°
D．
北偏东30°
3. （2013•大连）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB=35°，则∠AOD等于（　　）

A．
35°
B．
70°
C．
110°
D．
145°
4. （2005•漳州）将一张纸按如图的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（　　）

A．
80°
B．
90°
C．
100°
D．
110°
5. （2004•日照）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOB+∠DOC的值（　　）

A．
小于180°或等于180°
B．
等于180°

C．
大于180°
D．
大于180°或等于180°
【巩固】
如图，直线 AB与CD相交于O，OF，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线．
（1）写出∠DOE的补角；
（2）若∠BOE=62°，求∠AOD和∠EOF的度数；
（3）试问射线OD与OF之间有什么特殊的位置关系？为什么？

【拔高】
在直角坐标系中，点A（﹣1，2），点P（0，y）为y轴上的一个动点，当y=　 　 时，线段PA的长得到最小值．

五、专题精练
线段、射线、直线
1、（1）绷紧的琴弦、人行横道线都可以近似地看做   。线段有   端点。
（2）将线段向一个方向无限延长就形成了    。射线有   端点。 
（3）将线段向两个方向无限延长就形成了   。直线    端点。
2、（1）经过一个已知点A画直线，可以画多少条？  
（2） 经过两个已知点A、B画直线，可以画多少条？ 
（3）如果你想将一根细木条固定在墙上，至少需要几枚钉子？
经过一点可以画  条直线；经过两点有且只有  条直线，即  确定一条直线。 
3、下列说法正确的是 （ ）
A．延长直线AB到C B．延长线段AB到C C．延长射线AB到C D．反向延长直线AB到C
4、下列说法不正确的是 （ ）
A．过一点可以画无数条直线 B．过两点可以画一条直线
C．过三点中的两点可以画一条直线 D．过三点中的两点可以画三条或一条直线
5、从甲村到乙村共有三条路如图，小明要尽快到达乙村应选择第 条路，用数学知识解释为 。

6、已知如图，C为线段AB的中点，D在线段CB上，且DA=5，DB=3，求CD的长度

7、下列语句中正确的个数是 （ ）
①直线MN和直线NM是同一条直线；②射线AB和射线BA是同一条射线；
③线段PQ和线段QP是同一条线段；④直线上一点把这条直线分成的两部分都是射线。
A．4 B．3 C．2 D．1
8、经过平面上三个点中的任意两点可以画出多少条直线？
9、下列说法中，正确的有（ ）
①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫做两点的距离；③两点之间，线段最短；④若AB=BC，则B点是线段AC的中点
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10、已知线段AB=6cm，点P到A、B两点的距离相等，则PA+PB的长 （ ）
A 等于6cm B 小于6cm C 不小于6cm D 大于6cm
11、线段AB被点C、D分成3:4:5三部分，已知AC的中点与DB的中点间的距离是16cm，求线段AB的长
12、已知线段AB=10cm，在直线AB上截取线段BC=4cm，求线段AC的长
13、画图并计算：已知线段CD，延长CD到点B，使DB=CD，延长DC到点A，使CA=CB，若AB=12，求CD的长.
14、人行横道线、音乐指挥棒可近似看作是_____,它有___个端点.
15、将线段向_____方向无限延长就形成了射线,它有_____端点.
16、将线段向_____方向无限延长就形成了直线,它_____端点.
17、如图,在平面内有A,B,C三点.
(1)画直线AC,线段BC,射线BA.
(2)取线段BC的中点D,连接AD.
18、判断对错
( 1)直线AB和直线BA是两条直线.　( )
(2)射线AB和射线BA是两条射线.　( )
(3)线段AB和线段BA是两条线段.　( )
(4)直线AB和直线a不能是同一条直线.　( )
19、如图所示,数一数图中有多少条不同的线段?有多少条射线?

20、下列各直线的表示法中,正确的是(　　)
A.直线A B.直线AB C.直线ab D.直线Ab
21、下列写法中正确的是(　　)
A.直线a,b相交于n
B.直线AB,CD相交于M
C.直线ab,cd相交于点M
D.直线AB,CD相交于m
22、对于直线AB、线段CD、射线EF,在下列各图中能相交的是 (　　)

23、把线段向一个方向无限延长,得到的是　　　　;把线段向两个方向无限延长,得到的是　　　　.
24、如图,经过刨平的木板上的两个点,能弹出一条笔直的墨线, 此操作的依据是(　　)
A.线段有两个端点
B.两条直线相交,只有一个交点 C.两点之间,线段最短 D.两点确定一条直线
25、如图，点A、B、C、D在直线l上。
（1）AC= _____-CD；AB+_____ +CD=AD；
（2）如图共有____条线段，共有____条射线，以点C为端点的射线是____________。

26、如图所示，直线L，线段a，射线OA，能相交的几组图形是( )
A、(1)(3)(4) B、(1)(4)(5) C、(1)(4)(6) D、(2)(3)(5)

27、下列说法正确的是( )
A、线段AB与线段BA是同一条线段 B、射线OA与射线AO是同一条射线
C、直线AB和直线L是同一条直线 D、高楼顶上的射灯发出的光是一条直线
28、已知线段AB，反向延长AB到C，使AC=BC，D为AC中点，若CD=2，则AB等于（ ）
（A）4 （B）6 （C）8 （D）10
29、线段AB上有点C，点C使AC:CB=2:3，点M和点N分别是线段AC和线段CB的中点，若MN=4，则AB的长是（ ）
（A）6； （B）8； （C）10； （D）12
30、如图，林林的爸爸只用两枚钉子就把一根木条固定在墙上，下列语句能解释这个原理的是（ ）

A．木条是直的 B．两点确定一条直线
C．过一点可以画无数条直线 D．一个点不能确定一条直线
31、下列语句中正确的是( )
A、延长射线AB到C，使BC=AB， B、延长线段AB到C，使BC=AB
C、反向延长线段AB到C，使BC=AB D、反向延长射线AB到C，使BC=AB
32、下列叙述：①延长直线AB到C；②延长射线AB到C；③延长线段AB到C；④反向延长线段BA到C；⑤反向延长射线AB到C其中正确的有_______________(填序号)
33、如图，已知线段AD=10cm，线段AC=BD=6cm．E、F分别是线段AB、CD的中点，求EF的长．

33.直线l上有两点A、B，直线l外两点C、D，过其中两点画直线，共可以画( )
A.4条直线 B.6条直线 C.4条或6条直线 D.无数条直线
34、已知，点C是线段AB上的一点，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，
(1)如果AB=10cm，那么MN等于多少？
(2)如果AC：CB=3：2，NB=3.5cm，那么AB等于多少？(要求先根据题意正确画出草图，再列式计算，要有解题过程)

35、已知：如图所示，点C为线段AB上一点，若点D为AC中点，点E为BC中点．

(1)当线段AB=4cm时，求DE的长．
(2)当线段AB=6cm时，求DE的长．
(3)当线段AB=acm时，求DE的长．
36、如图，以O为端点的射线有（  ）条。
A.3   B.4   C.5  D.6

比较线段的长短
1、下列说法中，正确的有（  ） 
①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫做两点的距离；③两点之间，线段最短；④若AB=BC，则点B是线段AC的中点。 
A.1个   B.2个   C.3个   D.4个
2、已知线段AB=2cm，C为 AB中点，D为CB 上一点，E为DB的中点，且EB=3 cm，则CD= ________cm． 
3、将一张正方形的纸片，按如图所示对折两次，相邻两条折痕（虚线）间的夹角为______度。

4、判断对错
(1)若点C在线段BA的延长线上,则BA=BC-AC.　( )
(2)用尺规作一条线段等于2cm.　( )
(3)若点C在线段AB上,则AB=AC+BC.　( )
(4)若A,B,C三点在同一条直线上,则AB<AC+BC.　( )
5、已知线段AB=8,直线AB上有一点P.
(1)若点P在A,B间,则AP=5,PB等于多少时,点P在AB上?
(2)当PA=PB时,确定点P的位置;并比较PA+PB与AB的大小.

6、A,B是线段EF上两点,已知EA∶AB∶BF=1∶2∶3,M,N分别为EA,BF的中点,且MN=8,求EF的长.

7、如图所示,从A村出发到B村,最近的路线是(　　)
A.A—C—D—B
B.A—C—F—B
C.A—C—E—F—B
D.A—C—M—B
8、如图,如果AD>BC,那么AC　　　　BD(填“>”“<”或“=”).

9、如图,C,D是线段AB上两点,若CB=4cm,DB=7cm,且D是AC的中点,则AC的长等于(　　)
A.3cm B.6cm C.11cm D.14cm
10、已知点C是线段AB的中点，点D是线段AB的一个三等分点且AB=24 cm，求CD．
11、如果线段AB=13 cm，MA+MB=17 cm，那么下面说法正确的是( )
A.M点在线段AB上 B.M点在直线AB上
C.M点在直线AB外 D.M点可能在直线AB上，也可能在直线AB外
12、点P是线段CD的中点，则（ ）
A.CP=CD B.CP=PD C.CD=PD D.CP＞PD
13、已知A、B、C三点在同一直线上，那么线段AB、BC、AC三者之间的关系是（ ）
A.AC=AB+BC B.AC＞AB C.AC＞AB＞BC D.不能确定
14、下列判断错误的是（ ）
A.任何一条线段都能度量长度。
B.因为线段有长度所以，他们之间能比较大小
C.利用圆规配合尺子，也能比较线段的大小
D.两条直线也能进行度量和比较大小
15.如图，AB=CD，那么AC和BD的大小关系是（ ）

A C B D
A.AC=BD B.AC＜BD C.AC>BD D.不能确定
16、下列说法中，正确的有（ ）
①过两点有且只有一条直线 ②连接两点的线段叫做两点的距离
③两点之间线段最短 ④如果AB=BC，则点B是线段AC的中点.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
17、点A，B，C在同一平面内，AB=12，BC=7，则AC两点间的距离是（ ）
A.5 B.19 C.5或19 D.不能确定
角
1、判断对错
(1)角的大小与边的长短无关,只与两条边张开的角度有关. ( )
(2)角的两边是两条射线.　( )
(3)把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看,角的度数也扩大10倍.　( )
(4)直线就是平角,但射线不是周角.　( )
2、下列语句中正确的是(　　)
A.从同一点引出的两条射线组成的图形叫做角
B.两条直线相交组成的图形叫做角
C.从同一点引出的两条线段组成的图形叫做角
D.两条线段相交组成的图形叫做角
3、如图,能用∠AOB,∠O,∠1三种方法表示同一个角的图形是 (　　)

4、如图,图中包含的小于180°的角有(　　)
A.4个　　　B.5个　　　C.6个　　　D.7个

5、4.57.3°=　　　　度　　　　分.
6、钟表上12时15分钟时，时针与分针的夹角为（  ）
  A.90°   B.82.5°   C.67.5°   D.60°
7、如图，M是线段AC的中点，N是线段BC的中点。
（1）如果AC=8cm，BC=6cm，求MN的长。
（2）如果AM=5cm，CN=2cm，求线段AB的长。 

角的比较
1、如图，∠AOC=∠COD=∠BOD，则OD平分____， OC平分______，∠AOB =______=______.
2、计算

3、1个周角＝（    ）个平角＝（    ）个直角
4、根据下图，比较∠AOC、∠BOD、∠BOC、∠COD、∠AOD的大小，它们从小到大排列为___________.

5、如图4，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，若∠AOC=70°，∠COE=40°,那么∠BOD=_______.
6、图中分别有几条线段和几个小于平角的角（　　）。

A、4，3　　 B、5，5　　C、6，7　　 D、以上都不对
7、上午9时30分，时钟的时针和分针所成的角为( )
A.90° B.100° C.105° D.120°
8、∠AOB=45°，∠BOC=75°，OD平分∠AOB，OE平分∠BOC，则∠DOE=( )
A.60° B.75° C.60°或15° D.70°或15°
9、如图所示，OE平分∠BOC，OD平分∠AOC，∠BOE＝20°，∠AOD＝40°，求∠DOE的度数．
10、下列说法错误的有( )．
①有公共点的两条射线形成的图形是角 ②从一点引出的两条射线形成的图形是角
③角的大小与两边所画的长度有关 ④线段绕着一个端点旋转也可以形成角
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11、下列说法正确的是(　　)．
A．平角是一条直线 B．一条射线是一个周角
C．两边成一条直线时组成的角是平角 D．一个角不是锐角就是钝角
12、填空
(1)用度、分、秒表示48.13°为__________；
(2)用度表示23°9′36″为__________．
13、如图所示，∠AOB＝90°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线，求∠MON的大小．

14、已知∠AOB＝30°，∠BOC＝20°，则∠AOC的角度是__________．
多边形和圆的初步认识
1、如图所示，在一个圆中任意画4条半径，可以把这个圆分成几个扇形？

2、从多边形一个顶点出发画对角线将它分成了四个三角形，这个多边形是________边形.
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