误差复习及习题.ppt

1第一章绪论第一章绪论知识点：知识点：测量的基本概念、测量的分类、国际单位制；测量的基本概念、测量的分类、国际单位制；误差的定义、表达形式、误差分类、误差的定义、表达形式、误差分类、误差来源；误差来源；描述误差大小的精度概念及其与误差类型之间的关系；描述误差大小的精度概念及其与误差类型之间的关系；测量中的有效数字概念及选取，及在数据处理中的基本方法。测量中的有效数字概念及选取，及在数据处理中的基本方法。2一、测量的基本概念一、测量的基本概念测量的目的：为了获得更为准确的信息。测量的目的：为了获得更为准确的信息。测量的定义：测量是将被测量与一个作为测量单位的标准量测量的定义：测量是将被测量与一个作为测量单位的标准量 进行比较得出比值的过程。进行比较得出比值的过程。测量与测试的区别和联系：测量与测试的区别和联系：p概念：概念：测试是带有试验性质的测量。测试是带有试验性质的测量。测试是带有试验性质的测量。测试是带有试验性质的测量。p目的：目的：测试的目的是为了获取被测对象的信息测试的目的是为了获取被测对象的信息测试的目的是为了获取被测对象的信息测试的目的是为了获取被测对象的信息p过程：过程：测试的过程是借助专门的设备、仪器或测试系统，通测试的过程是借助专门的设备、仪器或测试系统，通测试的过程是借助专门的设备、仪器或测试系统，通测试的过程是借助专门的设备、仪器或测试系统，通 过适当的实验方法与必需的信号分析及数据处理，由测得信过适当的实验方法与必需的信号分析及数据处理，由测得信过适当的实验方法与必需的信号分析及数据处理，由测得信过适当的实验方法与必需的信号分析及数据处理，由测得信号获取与研究对象有关信息量值的过程。号获取与研究对象有关信息量值的过程。号获取与研究对象有关信息量值的过程。号获取与研究对象有关信息量值的过程。测量过程：对测量进行的一系列操作，完整的测量过程包括：测量过程：对测量进行的一系列操作，完整的测量过程包括：测量过程：对测量进行的一系列操作，完整的测量过程包括：测量过程：对测量进行的一系列操作，完整的测量过程包括：被测量、测量单位、测量方法、测量精度被测量、测量单位、测量方法、测量精度被测量、测量单位、测量方法、测量精度被测量、测量单位、测量方法、测量精度 ；测量结果：测量；测量结果：测量；测量结果：测量；测量结果：测量数值数值数值数值+单位单位单位单位+对测量结果的精度评定（测量的不确定度）。对测量结果的精度评定（测量的不确定度）。对测量结果的精度评定（测量的不确定度）。对测量结果的精度评定（测量的不确定度）。3二、测量的分类二、测量的分类1、按获取测量结果的方法分类：、按获取测量结果的方法分类：直接测量：被测量由测量装置或测量仪器可以直接读出测量结果的测量方法；直接测量：被测量由测量装置或测量仪器可以直接读出测量结果的测量方法；用用表示，其中表示，其中表示被测量的实际测量结果；表示被测量的实际测量结果；间接测量：先测量一个或多个直接测量的值，然后利用已知的函数关系运算间接测量：先测量一个或多个直接测量的值，然后利用已知的函数关系运算 得到被测量；用得到被测量；用表示，其中表示，其中表示被测量的值，表示被测量的值，表示可以直接测量的量值；例：密度、飞机的高度。表示可以直接测量的量值；例：密度、飞机的高度。的值。例：尺子测长度、温度计测温度、天平测质量等。的值。例：尺子测长度、温度计测温度、天平测质量等。表示被测量表示被测量组合测量：通过测量所有被测量的各种组合，通过列方程来求解被测量的方法；组合测量：通过测量所有被测量的各种组合，通过列方程来求解被测量的方法；例如：用万用表测电阻例如：用万用表测电阻R1、R2串联后的阻值和并联后的阻值，串联后的阻值和并联后的阻值，4二、测量的分类二、测量的分类2、按测量条件分类：、按测量条件分类：等精度测量：在相同的测量精度条件下，对同一待测量进等精度测量：在相同的测量精度条件下，对同一待测量进 不不等等精精度度测测量量（非非等等精精度度测测量量）：在在测测量量过过程程中中倘倘若若有有任任何何一一个个环环节节产产生生了了变变化化，即即在在不不同同的的测测量量精精度度条条件件下下，只只要要变变化其中的某一因素，对同一待测量进行的测量；化其中的某一因素，对同一待测量进行的测量；对于不等精度测量所获得的数据，应区别对待。对于不等精度测量所获得的数据，应区别对待。行的重复性测量；行的重复性测量；对于等精度测量所获得的数据，它们的等位对于等精度测量所获得的数据，它们的等位精度是相同的，按同等原则来对待。精度是相同的，按同等原则来对待。5二、测量的分类二、测量的分类3、按被测对象在测量过程中所处状态来划分：、按被测对象在测量过程中所处状态来划分：静态测量：被测对象在测量过程中可以认为是固定不变的；静态测量：被测对象在测量过程中可以认为是固定不变的；被测量或误差作为随机变量来进行相应的处理。被测量或误差作为随机变量来进行相应的处理。动态测量：被测量在测量过程中处于随时间不断变化的状态；动态测量：被测量在测量过程中处于随时间不断变化的状态；被测量或误差作为随机过程来进行相应的处理。被测量或误差作为随机过程来进行相应的处理。6国际单位制共有七个基本单位：国际单位制共有七个基本单位：量量常用符号常用符号单位名称单位名称单位符号单位符号长度长度l米（又称米（又称“公尺公尺”）m质量质量m千克（又称千克（又称“公斤公斤”）kg时间时间t秒秒s电流电流I安安培培A热力学温度热力学温度T开开尔文尔文K物质的量物质的量n摩摩尔尔mol发光强度发光强度Iv坎坎德拉德拉cd三、国际单位制三、国际单位制7误差误差（Error）：测得值与被测量的真值之间的差。误差误差=测得值测得值真值真值真值真值（True Value）：观测一个量时，该量本观测一个量时，该量本身所具有的真实大小。身所具有的真实大小。四、误差的定义、表示方法、分类四、误差的定义、表示方法、分类问题：真值如何获得？分类：理论真值理论真值 约定真值约定真值 相对真值相对真值：通过理论计算得到的真值。：通过理论计算得到的真值。：是指对于给定用途具有适当不确定度的、赋予：是指对于给定用途具有适当不确定度的、赋予特特 定量的值。这个术语在定量的值。这个术语在计量学中常用。计量学中常用。：相对于所用到的标准器所给定的：相对于所用到的标准器所给定的 在在使使用用中中，高高一一等等级级标标准准器器的的误误差差与与低低一一级级标标准准器器或或普普通通计计量量仪仪器器相相比比为为其其（1/31/31/201/20），可可认认为为高高一一等等级级标标准准器器测测量量值值为后者的相对真值。为后者的相对真值。8误差的表示方法误差的表示方法误差误差 绝对误差相对误差粗大误差系统误差随机误差按表示形式按性质特点对于相同的被测量，绝对误差可用来评定测量精度的高低；对于相同的被测量，绝对误差可用来评定测量精度的高低；对于不同的被测量，相对误差可用来评定测量精度的高低。对于不同的被测量，相对误差可用来评定测量精度的高低。9引用误差引用误差（Fiducial Error of a Measuring Instrument）该标称范围（或量程）上限 引用误差 仪器某标称范围（或量程）内的最大绝对误差 引用误差是一种相对误差，而且该相对误差是引用了特定值，即标称范围上限（或量程）得到的，故该误差又称为引用相对误差、满度误差。1、问题的提出？、问题的提出？给出我们所用的仪器仪表准确度的等级给出我们所用的仪器仪表准确度的等级 2、引用误差的定义：一个量程内的最大绝对误差与测量范围、引用误差的定义：一个量程内的最大绝对误差与测量范围上限或满量程之比上限或满量程之比10我国电工仪表、压力表的准确度等级（我国电工仪表、压力表的准确度等级（Accuracy Class）就是按就是按照引用误差进行分级的。照引用误差进行分级的。电工仪表、压力表的准确度等级准确度等级仪表的最大允许误差去掉其正负号和百分号得到的数值称为仪表仪表的最大允许误差去掉其正负号和百分号得到的数值称为仪表的准确度等级。的准确度等级。电工类仪表按准确度等级分为七级：电工类仪表按准确度等级分为七级：0.1,0.2,0.5,1.0,1.5,2.5,5.0 11电工仪表、压力表的准确度等级准确度等级选择仪器仪表的时候注意：选择仪器仪表的时候注意：仪表的精度等级；仪表的精度等级；仪表的量程；仪表的量程；被测量与量程之间的关系：一般是在被测量与量程之间的关系：一般是在2/3满量程最好。满量程最好。当一个仪表的等级s选定后，用此表测量某一被测量x时，表的最大引用误差为s%,所产生的最大绝对误差为 最大相对误差为绝绝对对误误差差的的最最大大值值与与该该仪仪表表的的标标称称范范围围（或或量量程程）上上限限x xm m成成正比正比选定仪表后，被测量的值越接近于标选定仪表后，被测量的值越接近于标称范围（或量程）上限，测量的相对称范围（或量程）上限，测量的相对误差越小，测量越准确误差越小，测量越准确（公式2）（公式1）12为了减小测量误差，提高测量准确度，就必须了解误差来源。而误差来源是多方面的，在测量过程中，几乎所有因素都将引入测量误差。主要来源 测量装测量装置误差置误差 测量环境测量环境误差误差 测量方测量方法误差法误差 测量人员测量人员误差误差 误差的来源误差的来源13精度精度误差与精度的关系：误差与精度的关系：误差误差=系统误差系统误差+随机误差随机误差精度精度=精确度精确度=精密度精密度+准确度准确度随机误差影响精密度，系统误差影响准确度随机误差影响精密度，系统误差影响准确度 14测量结果保留有效数字的原则测量结果保留有效数字的原则 测量结果保留位数的原则1：最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字是可靠的。有效数字的位数取决于误差，有效数字的末位应与误差的末位对齐；测量结果保留位数的原则2：在进行重要的测量时，测量结果和测量误差可比上述原则再多取一位数字作为参考。15数字舍入规则数字舍入规则-四舍六入五凑偶四舍六入五凑偶 计算和测量过程中，对很多位的近似数进行取舍时，应按照下述原则进行凑整：1.若舍去部分的数值，大于保留部分末位的半个单位，则末位数加1。2.若舍去部分的数值，小于保留部分末位的半个单位，则末位数不变。3.若舍去部分的数值，等于保留部分末位的半个单位，则末位凑成偶数，即当末位为偶数时则末位不变，当末位是奇数时则末位加1。16数据运算规则数据运算规则 1.在近似数运算时，为了保证最后结果有尽可能高的精度，所有参与运算的数字，在有效数字后可多保留一位数字作为参考数字（或称为安全数字）。2.在近似数做加减运算时，各运算数据以小数位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位小数，但最后结果应与小数位数最少的数据小数位相同。3.在近似数乘除运算时，各运算数据以有效位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位有效数，但最后结果应与有效位数最少的数据位数相同。4.在近似数平方或开方运算时，近似数的选取与乘除运算相同。171-9 1-9 使用凯特摆时，由公式使用凯特摆时，由公式使用凯特摆时，由公式使用凯特摆时，由公式 g 及最大相对误差。如果 今测出长度今测出长度今测出长度今测出长度解：由得18对并令 g g的最大相对误差为：的最大相对误差为：19由由，得，得 所以所以201-11 为什么在使用微安表时，总希望指针在全量程的为什么在使用微安表时，总希望指针在全量程的2/3范围内使用？范围内使用？解：设微安表的量程为解：设微安表的量程为 ,测量时指针的指示值为测量时指针的指示值为X，微安表的精度等级为，微安表的精度等级为S，最大误差，最大误差 ,相对误差相对误差 ，一般，一般 ，故当，故当X越接近越接近 相对误差就越小，故在相对误差就越小，故在使用微安表时，希望指针在全量程的使用微安表时，希望指针在全量程的2/3范围内使用。范围内使用。对于指针式电表是由电信号控制弹簧产生不同扭矩带对于指针式电表是由电信号控制弹簧产生不同扭矩带动表针旋转的，扭矩与表针偏角不是线性对应的，当动表针旋转的，扭矩与表针偏角不是线性对应的，当表针指向量程的中间部分时，二者的线性度较好，故表针指向量程的中间部分时，二者的线性度较好，故选取量程时，尽量使表针能够指向量程选取量程时，尽量使表针能够指向量程2/3部分。比较部分。比较容易读数，另外不损坏仪器。容易读数，另外不损坏仪器。211-14 若用两种测量方法测量某零件的长度若用两种测量方法测量某零件的长度L1=100mm，其测量误差分别为其测量误差分别为 和和 ，而用第三种方法测量，而用第三种方法测量另一零件的长度另一零件的长度L2=150mm，其测量误差为，其测量误差为 试比试比较三种测量方法精度的高低。较三种测量方法精度的高低。解：第一种方法测量的相对误差为：解：第一种方法测量的相对误差为：第二种方法测量的相对误差为：第二种方法测量的相对误差为：第三种方法测量的相对误差为：第三种方法测量的相对误差为：相比较可知：第三种方法测量的精度最高，第一种方相比较可知：第三种方法测量的精度最高，第一种方法测量的精度最低。法测量的精度最低。22第二章第二章 误差的基本性质与处理误差的基本性质与处理知识点：知识点：随随机机误误差差、系系统统误误差差、粗粗大大误误差差三三类类误误差差的的来来源源、特特征征、性性质、数据处理的方法以及消除或减小的措施。质、数据处理的方法以及消除或减小的措施。在在随随机机误误差差的的数数据据处处理理中中，分分别别掌掌握握等等精精度度测测量量和和不不等等精精度度测量的不同数据处理方法。测量的不同数据处理方法。能能够够根根据据不不同同性性质质的的误误差差选选取取正正确确的的数数据据处处理理方方法法并并进进行行合合理的数据处理。理的数据处理。232-7 在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量5次，测得数据（单位为mm）为20.0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确定测量结果。解：解：求算术平均值求单次测量的标准差24求算术平均值的标准差确定测量的极限误差测量值服从正态分布，置信概率为99%，查表得t=2.60,极限误差为 写出最后测量结果 252-9用某仪器测量工件尺寸，在排除系统误差的结果的置信限为0.005mm，当置信概率为99%时，试求必要的测量次数。条件下，其标准差，若要求测量解：由条件测量结果的置信限为0.005mm，有根据题目给定的已知条件，有 26当置信概率为99%时，查附录表1有 所以，必要的测量次数为 272-13 测量某角度共两次，测得值为，其标准差分别为，试求加权算术平均值及其标准差。28解：加权算术平均值为29加权算术平均值的标准差为由上面求得的加权算术平均值 30可得到两次测量结果的残余误差为 所以，加权算术平均值的标准差为：312-17 对某量进行10次测量，测得数据为14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，14.6，14.9，14.8，15.1，15.0，试判断该测量列中是否存在系统误差。解：测量数据的算术平均值为残余误差 标准差323334利用马利科夫准则，令 所以，测量列中含有线性系统误差。又由阿卑-赫梅特准则，所以，则认为该测量列中含有周期性系统误差。所以，认为该测量列中含有周期性线性系统误差。352-18 对一线圈电感测量10次，前4次是和一个标准线圈比较得到的，后6次是和另一个标准线圈比较得到的，测量结果如下（单位为mH）：50.82，50.83，50.87，50.89；50.78，50.78，50.75，50.85，50.82，50.81。试判断前4次与后6次测量中是否存在系统误差。36解：50.82，50.83，50.87，50.89：50.78，50.78，50.75，50.85，50.82，50.81 将两组数据混合排列成下表：37所以用秩和检验法不能判断前4次与后6次测量中是否存在系统误差。38采用计算数据比较法 算术平均值的标准差 39所以，所以前4次与后6次测量中存在系统误差。算术平均值的标准差 40对某量进行12次测量，测得数据为20.06，20.07，20.06，20.08，20.10，20.12，20.11，20.14，20.18，20.18，20.21，20.19，试用两种方法判断该测量列中是否存在系统误差。2-20解：测量数据的算术平均值为 残余误差 4142标准差43利用马利科夫准则，n=12,令k=6所以，测量列中含有线性系统误差。44又由阿卑-赫梅特准则，所以，则认为该测量列中含有周期性系统误差。所以，认为该测量列中含有周期性线性系统误差。45按贝赛尔公式：按别捷尔斯公式：46所以，则用此种方法不能判断测量列中是否存在系统误差。47对某量进行15次测量，测得数据为28.53，28.52，28.50，29.52，28.53，28.53，28.50,，28.49，28.49，28.51，28.53，28.52，28.49，28.40，28.50，若这些测得值已消除系统误差，试用莱以特准则、格罗布斯准则和狄克松准则分别判别该测量列中是否含有粗大误差的测量值。2-2248解：（1）用莱以特准则判别该测量列中是否含有粗大误差的测量值：49由表中所知：50根据 准则，第4测得值的残余误差 即它含有粗大误差，故将此测得值剔除。再根据剩下的14个测得值重新计算，得到51根据 准则，第14个测得值的残余误差 52即它含有粗大误差，故将此测得值剔除。再根据剩下的13个测得值重新计算，得到 53由表中所示，剩下的13个测得值的残余误差均满足 故可认为这些值不再含有粗大误差。54（2）用格罗布斯准则判别该测量列中是否含有粗大误差的测量值：由表计算可到 第二章 误差的基本性质与处理55按测得值的大小，顺序排列得 故应先怀疑是否含有粗大误差 56计算 查表2-13得 则 所以第4个测量值含有粗大误差应剔除。57剩下14个数据，再重复上述步骤，判别是否含有粗大误差。按测得值的大小，顺序排列得 58故应先怀疑是否含有粗大误差 计算 查表2-13得 59则 所以第14个测量值含有粗大误差应剔除。剩下13个数据，再重复上述步骤，判别是否含有粗大误差。按测得值的大小，顺序排列得 60剩下13个数据，再重复上述步骤，判别是否含有粗大误差。按测得值的大小，顺序排列得 61故应先怀疑是否含有粗大误差 计算 62查表2-13得 则 故可判别 不包含粗大误差，而各 皆小于1.294，故可认为其余测得值不包含粗大误差。63（3）用狄克松准则判别该测量列中是否含有粗大误差的测量值：64先判别最大值 因n=15，计算统计量r22用查表2-14得 则 故 含有粗大误差，应予剔除。65剩下14个数据，再重复上述步骤，因n=14，计算统计量r22用对最大值进行判别查表2-14得 66则 故 不含有粗大误差，再判断最小值 因n=14，计算统计量r22用67查表2-14得 则 故 含有粗大误差，应予剔除。剩下13个数据，再重复上述步骤，对最大值 进行判别 68因n=13，计算统计量r21用查表2-14得 则 故 不含有粗大误差。69因n=13，计算统计量r21用查表2-14得 则 故 也不含有粗大误差，再判断最小值 70第三章第三章 误差的合成与分配误差的合成与分配知识点：函数误差的基本概念、函数系统误差、函数随机误差的计算公式；随机误差合成的基本原则：方和根方法 关键环节：误差传递系数 误差相关系数 已定系统误差合成的基本原则：代数和方法 未定系统误差合成的基本原则：方和根方法 -标准差的合成 -极限误差的合成 误差的分配 微小误差的定义、取舍原则及应用 最佳测量方案的确定71相对测量时需用54.255mm的量块组做标准件，量块组由4块量块研合而成，它们3-1 的基本尺寸为。经测量，它们的尺寸偏差及其测量极限误差分别为 72试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量带来的测量误差。73解：量块组按基本尺寸使用时的系统误差为所以，量块组按基本尺寸使用时的修正值为测量的极限误差为747576777879803-3 长方体的边长分别为 标准误差均为，测量时：标准差各为 试求两种情况测量体积的标准差。81解：长方体的体积计算公式为：体积的标准差应为：现可求出：82若：则有：若：则有：833-12 按公式 r为2cm，h为20cm，要使体积的相对求圆柱体体积，若已知误差等于1%，试问r和h测量时误差应为多少？解：若不考虑测量误差，圆柱体积为84根据题意，体积测量的相对误差为1，即测定体积的相对误差为：即 现按等作用原则分配误差，可以求出测定r的误差应为：85测定h的误差应为：86两边对r求导 两边对h求导 87测量项目有两项 即 88现在采用同一量具进行测量,故其极限测量误差相等则有:所以满足要求。893-13 假定从支点到重心的长度为L的单摆振动周期为T，重力加速度可由公式 中给出。若要求测量g的相对标准差 作用原则分配误差时，测量L和T的相对标准差应是多少？，试问按等解：由重力加速度公式 得 90因为测量项目有两个，所以 按等作用原理分配误差，得91同理，综上所述，测量和的相对标准差分别是 和92方法二：则 由 两边对L求导93两边对T求导 94测量项目有两项 即n=2953-14 对某一质量进行4次重复测量，测得数据（单位：g）为428.6，429.2，426.5，430.8。已知测量的已定系统误差，测 量的个极限误差分量及其相应的传递系数如下表所列。若各误差均服从正态分布，试求该质量的最可信赖值及其极限误差。96解：4次测量结果的平均值为：修正已定系统误差后的测量结果的最可信赖值为：97该量的最可信赖值的极限误差为：则测量结果应表示为：98第四章第四章 测量不确定度测量不确定度知识点知识点测量不确定度的基本概念，测量不确定度与误差的联系与测量不确定度的基本概念，测量不确定度与误差的联系与区别；区别；标准不确定度的评定标准不确定度的评定 A A类评定类评定 B B类评定类评定自由度的概念、意义及确定方法自由度的概念、意义及确定方法测量不确定度的合成测量不确定度的合成 合成标准不确定度合成标准不确定度 展伸不确定度展伸不确定度 不确定度报告不确定度报告测量不确定度应用实例测量不确定度应用实例99第五章第五章 线性参数的最小二乘处理线性参数的最小二乘处理知识点：知识点：1.1.最小二乘法原理及其本质最小二乘法原理及其本质2.2.正规方程特点及表示形式正规方程特点及表示形式-线性参数的最小二乘处理的正规方程线性参数的最小二乘处理的正规方程-非线性参数的最小二乘处理的正规方程非线性参数的最小二乘处理的正规方程-最小二乘原理和算术平均值原理的关系最小二乘原理和算术平均值原理的关系3.3.两种求解参数估计的方法两种求解参数估计的方法-基于矩阵的的最小二乘法参数估计基于矩阵的的最小二乘法参数估计-解方程组方法求解最小二乘法参数估计解方程组方法求解最小二乘法参数估计4.4.精度估计精度估计-直接测量数据的精度估计直接测量数据的精度估计-最小二乘估计量的精度估计最小二乘估计量的精度估计100参数最小二乘法估计矩阵形式的简单推导及回顾：参数最小二乘法估计矩阵形式的简单推导及回顾：由误差方程由误差方程且要求且要求VTV最小，则：最小，则：101所以：1025-3 已知误差方程为已知误差方程为 试给出试给出、的最小二乘处理及其相应精度。的最小二乘处理及其相应精度。、解：方法一（常规解方程组方法）：解：方法一（常规解方程组方法）：由误差方程组：由误差方程组：103104105可得正规方程为：可得正规方程为：106由不定乘数的方程组：由不定乘数的方程组：107108第五章 线性参数的最小二乘处理1091101115-4今有等精度测量方程组：今有等精度测量方程组：试用矩阵最小二乘法求试用矩阵最小二乘法求x、y、z的最可信赖值及其精度。的最可信赖值及其精度。112解：误差方程为解：误差方程为式中式中113所以所以代入误差方程得到代入误差方程得到114由由得得所以所以115116117118119120121122123124125126127128129130第六章第六章 回归分析回归分析知识点：回归分析的基本概念、作用、回归分析的思路；一元线性回归方程的确定、回归方程的方差分析及显著性回归方程的方差分析及显著性检验检验；一元非线性回归求解思路、回归曲线函数类型得选取和检验。131132133134135检验回归方程的显著性，列表如下：检验回归方程的显著性，列表如下：1366-3某含锡合金的熔点温度与含锡量有关，实验获得如下数据：某含锡合金的熔点温度与含锡量有关，实验获得如下数据：含锡量（%）20.328.135.542.050.758.665.974.980.386.4熔点温度/416386368337305282258224201183设锡含量的数据无误差，求：设锡含量的数据无误差，求：熔点温度与含锡量之间的关系；熔点温度与含锡量之间的关系；预测含锡量为预测含锡量为60%时，合金的熔点温度（置信概率时，合金的熔点温度（置信概率95%）；）；如果要求熔点温度在如果要求熔点温度在3103255之间，合金的含锡量应控制在之间，合金的含锡量应控制在什么范围内（什么范围内（置信概率置信概率95%）？）？解：用解：用x、y分别表示含锡量的百分数和熔点温度。分别表示含锡量的百分数和熔点温度。（1）按实验数据在下图所示坐标系中描出散点。）按实验数据在下图所示坐标系中描出散点。137由图可见，在实验区间内y与x的关系近似为线性关系，故设y对x的回归方程为 138139检验回归方程的显著性，列表如下：检验回归方程的显著性，列表如下：所以，熔点温度与含锡量之间的关系为所以，熔点温度与含锡量之间的关系为140(2)用回归方程，根据自变量用回归方程，根据自变量x值预报因变量值预报因变量y值，也就是用到回值，也就是用到回归方程的预报精度问题。归方程的预报精度问题。当含锡量为当含锡量为时，令时，令，则，则残余标准差残余标准差当置信概率为当置信概率为95%时，时，即合金的熔点温度将以95%的概率落在273.50278.02之间。141所以所以（3）利用回归方程计算自变量控制的方法：由题意知由题意知当置信概率为当置信概率为95%时，代入数字时，代入数字142直接求解直接求解 比较困难，为简化计算，令括号内的比较困难，为简化计算，令括号内的其中其中即当合金的含锡量即当合金的含锡量控制在控制在46.7%50.0%范围内时，它的熔点范围内时，它的熔点温度将以不小于温度将以不小于95%的概率落在的概率落在310325之间。之间。