关于Smarandache kn数列及其与Smarandache LCM函数的混合均值.pdf

首都师范大学学报（自然科学版）Journal of Capital Normal University（Natural Science Edition）No.6Dec.，2023第 44卷第 6期2023年 12月DOI：10.19789/j.1004-9398.2023.06.003文献引用：黄炜，刘龙展.关于 Smarandache kn 数列及其与 Smarandache LCM 函数的混合均值 J.首都师范大学学报（自然科学版），2023，44（6）：12-15.HUANG W，LIU L Z.Smarandache kn-digital sequence and it s asymptotic properties of Smarandache LCM function J.Journal ofCapital Normal University（Natural Science Edition），2023，44（6）：12-15.关于 Smarandache kn数列及其与 SmarandacheLCM 函数的混合均值*黄炜*，刘龙展（新疆科技学院基础教学研究部，新疆 库尔勒841000）摘要：应用解析方法、初等方法和组合方法，研究了 Smarandachekn数字数列ak，n与 SmarandacheLCM 函数SL(n)的复合均值分布性质，给出了一个较强均值渐近公式；还利用初等方法研究了Smarandache kn-数字子序列无穷级数f()m，k的收敛性。关键词：Smarandachekn数字数列；Smarandache LCM函数SL(n)；均值；渐近公式；无穷级数；收敛性中图分类号：O156.4文献标识码：ASmarandache kn-digital sequence and it s asymptoticproperties of Smarandache LCM function*HUANG Wei*，LIU Longzhan（Department of Basic，Xinjiang Institute of Science and Technology，Korla Xinjiang841000）Abstract：The properties of the hybrid mean value of Smarandachekn-digital series with SmarandacheLCM functionSL(n)are studied using elementary and combinational methods，and one sharperasymptotic formulae for it are presented Also the main purpose of this paper is using the elementarymethod to study the convergent properties of the infinite series involving the Smarandache kn-digitalsubsequencef()m，k.Keywords：Smarandachekn-digital sequence；Smarandache LCM functionSL(n)；mean value；asymptotic formula；infinite series；convergenceCLC：O156.4DC：A0引言设 对 于 任 意 的 整 数k，1 k 9，Smarandachekn数和字数列ak，n被定义为1 5：它的任一项能被拆分成前后 2部分，且前面部分的k倍构成后面部分。因 此 Smarandache 2n，3n，9n 数 字 数 列a()2，n，a()3，n，a（9，n）即 为：a（2，n）=12，24，36，48，510，612，714，816，a（3，n）=13，26，39，412，515，618，721，824，a（9，n）=19，218，327，436，545，654，763，872，。有关 Smarandachekn数字数列ak，n性质，不少学者进行了研究，其中文献 5 中对张文鹏教授收稿日期：2022-11-21*国家自然科学基金项目（12126357）*通信作者：12黄炜等：关于 Smarandache kn 数列及其与 Smarandache LCM 函数的混合均值第 6 期提出的“Smarandache 3n 数字数列中没有完全平方数”的猜测，证明了下面的结论：（a）当n为无平方因子数时，a3，n不可能是完全平方数；（b）当n为完全平方数时，a3，n不可能是完全平方数；（c）如果a3，n是一个完全平方数，那么n=221 322 523 1124 n1，其中()n1，330=1。虽然文献5-6中 没 有 完 全 解 决 张文鹏教授的 猜 想，但 是 对 Smarandachekn数 字 数 列 性 质的 研 究 工 作 中 有 了 实 质 性 进 展。后 续文献 7研 究 了lna()3，n的 均 值 性 质，证 明 了 渐 近 公 式nNlna()3，n=2N lnN+O(N)；文献 8 研究了na()k，n的 均 值 性 质，证 明 了 渐 近 公 式1 n xna()k，n=9k 10ln10 ln x+O(x)；文献 9 研究了kn数字数列ak，n与 Smarandache 除数和函数()n的混合均 值，证 明 了 渐 近 公 式n x()na()k，n=32k 20ln10lnx+O(1)，正整数k满足1 k 9。有不少的学者对SL(n)的性质进行了研究，而关 于 Smarandachekn数 字 数 列ak，n与 Smarandache LCM 函数SL(n)的混合均值，以及 Smarandache kn-数字子序列无穷级数f()m，k的收敛性，目前还未见到有关的文献。本文用解析方法、初等方法 和 组 合 方 法 研 究 了 Smarandachekn数 字 数 列ak，n与 Smarandache LCM 函数SL(n)的混合均值，给出了渐近公式，同时利用初等方法研究了Smarandache kn-数字子序列无穷级数f()m，k的收敛性，证明了如下定理。定理 1对于任意正整数x 1，任意正整数k，1 k 9，有下面渐近公式n xSL()na()k，n=32k 20 lnlnx+O(1)。（1）定理 2对于任意实数x 1及任意正整数m，如果m 12，无穷级数f()m，k=n 1，有n xSL()nn=2x6lnx+O(xln2x)。（3）证明对于任意正整数 x2，由文献 2-3 得n xSL()n=212x2lnx+O()x2ln2x。（4）由欧拉求和公式可得n xSL()nn=1x()212x2lnx+O()x2ln2x+1x()212y2lny+O()y2ln2y1y2dy=212xlnx+O()xln2x+212xlnx+132121x1ln2ydy=26xlnx+O()xln2x。2定理的证明2.1定理1的证明当k=2时，考 虑 到a()2，n的 结 构，不 妨 设n的 十 进 制 表 示 式 为k位 数，即n=bkbk 1b2b1，其中1 bk 9，0 bi 9，i=1，2，3，k 1。于是 由 乘 法 的 进 位 法 则 可 知：当1210k 1 x 12()10k 1时，2n为k位 数；当12 10k x 12()10k+1 1时，2n为k+1位数。由a()2，n的定义得到n为k位数时a()2，n=n()10k+2 或a()2，n=n()10k+1+2。对于任意充分大的正x 1，有确定的正整数M，使得12 10M x 12 10M+1，取对数后得Mln10+ln12 lnx()M+1 ln10+ln12，即M=1ln10 lnx+O()1。（5）结合a()2，n的定义，可得1 n xSL()na()2，n=n=14SL()na()2，n+n=549SL()na()2，n+n=50499SL()na()2，n+n=0.5 10M 10.5 10M 1SL()na()2，n+0.5 10M n xSL()na()2，n=n=14SL()nn()10+2+13首都师范大学学报（自然科学版）2023年n=549SL()nn()102+2+n=50499SL()nn()103+2+n=0.5 10M 10.5 10M 1SL()nn()10M+1+2+0.5 10M n xSL()nn()10M+2+2。（6）由n=0.5 10k 10.5 10k 1SL()nn()10k+1+2=0.5 10k 1SL()nn()10k+1+20.5 10k 1SL()nn()10k+1+2=260.5 10k 0.5 10k 1()10k+2 ln()0.5 10k+O()1k2=32401k+O()1k2，（7）n=11n2=26及渐近公式1 k M1k=lnM+O()1M，（8）这里是欧拉常数。由式（6）（8），有1 n xSL()na()2，n=n=14SL()na()2，n+n=549SL()na()2，n+n=50499SL()na()2，n+n=5 10M 15 10M 1SL()na()2，n+5 10M n 1，存在正整数M，使得14 10M x 14 10M+1，取 对 数 后 得Mln10+ln14 lnx()M+1 ln10+ln14即M=1ln10 lnx+O()1，（9）结合a()4，n的定义，可得1 n xSL()na()4，n=n=12SL()na()4，n+n=324SL()na()4，n+n=25249SL()na()4，n+n=14 10M 114 10M+1 1SL()na()4，n+14 10M n xSL()na()4，n=n=12SL()nn()10+4+n=324SL()nn()102+4+n=25249SL()nn()103+4+n=14 10M 114 10M 1SL()nn()10M+1+4+14 10M n xSL()nn()10M+2+4。注意到n=14 10k 114 10k 1SL()nn()10k+4=14 10k 1SL()nn()10k+1+414 10k 1SL()nn()10k+4=2614 10k14 10k 1()10k+4 ln()14 10k+O()1k2=32801k+O()1k2。（10）于是有1 n xSL()na()4，n=n=12SL()na()4，n+n=324SL()na()4，n+n=25249SL()na()4，n+n=14 10M 114 10M 1SL()na()4，n+14 10M n xSL()na()4，n=k=1M32801k+O()k=1M1k2=3280lnlnx+o()1。（11）用完全相同的方法可类似地证明定理 1中 k=1，3，5，6，7，8，9时也有类似的结论。2.2定理2的证明利用初等方法完成定理 2的证明。首先证明k=3。考虑到a()3，n的结构，不妨设n的 十 进 制 表 示 式 为k位 数，即 就 是n=dkdk 1d2d1，其 中1 dk 9，0 di 9，i=1，2，3，k 1。于是由乘法的进位法则可知：当1310k 1 x 13()10k 1时，3n为k位 数；当13 10k x 13()10k+1 1时，3n为k+1位数。由a()3，n的定义得到n为k位数时14黄炜等：关于 Smarandache kn 数列及其与 Smarandache LCM 函数的混合均值第 6 期a()3，n=n()10k+3 或a()3，n=n()10k+1+3。（12）结合a()3，n的定义及n x有f()m，3=1 n xlnma()3，nam()3，n=i=13lnmi()10+3i()10+3m+i=433lnmi()100+3i()100+3m+i=34333lnmi()1000+3i()1000+3m+3 lnm()3 1010m+30 lnm()33 1004m 100m+300 lnm()333 100034m 1000m+3000 lnm()3333 10 000334m 10 000m+3()lnm30101 m+lnm330010m 1 102m+lnm333000102m 2 103m+lnm33330 000103m 3 104m+m，即m 12，知道级数f()m，k是收敛的。如果m 12，由式（13）有f()m，3=1 n 3j=1+lnm10j10(m 1)(j 1)10j 3lnm10j=1+jm102m j。（14）根 据 几 何 级 数 的 性 质，对 于 式（14），如 果m 12，则级数f()m，k是发散的，这就证明了定理 2中k=3的情况。用完全相同的方法可类似地证明定理 2中 k=1，2，4，5，6，7，8，9时，也有类似的结论。3结束语数论函数算术性质的研究一直是经典数论研究的热点课题之一。数论函数的均值估计在解析数论、乘法数论以及代数数论研究中占有举足轻重的位置，并与很多艰深的数论猜想和难题密切相关。本文从不同的角度对 Smarandachekn数字数列ak，n的性质进行了细致的研究，获得了一些有益的结论。希望起到抛砖引玉的作用，也希望早日解决张文鹏教授在文献 5 中提出的“Smarandache 3n 数字数列中没有完全平方数”的猜想，对数论的发展做出积极的贡献。参 考 文 献1 SMARANDACHE F.Sequences of numbers involved inunsolved problemsJ/OL.2022-11-01.https：/arxiv.org/abs/math/0604019.2 潘承洞，潘承彪.解析数论基础 M.北京：科学出版社，1991.3 APOSTOL T M.Introduction to analytic number theoryM.New York：Spring-Verlag，1976.4 SANDORJ.OncertainineqvialitiesinvolvingtheSmarandache function，J.Scientia Magna，2006，2（3）：75-80.5 WU N.On the Smarandache 3n-digital sequence and theZhang Wenpeng s conjecture J.Scientia Magna，2008，4（4）：120-122.6 CHEN X L.A survey on Smarandache notions innumber theory III：Smarandache LCM function J.Scientia Magna，2018，13（1）：141-153.7 苟素.Smarandache 3n 数字数列及其他的渐近性质J.内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版），2010，39（6）：450-4538 苟素 Smarandache kn数字数列及其一类均值性质 J.纺织高校基础科学学报，2011，24（2）：250-252+2699 苟素 Smarandache kn 数列与除数和函数的混合均值J.西安石油大学学报（自然科学版），2011，26（2）：107-110+123（责任编辑：马田田）15