构造中点模型解析中考几何试题的研究.pdf

Pure Mathematics 理论数学理论数学,2023,13(10),2854-2861 Published Online October 2023 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/pm https:/doi.org/10.12677/pm.2023.1310292 文章引用文章引用:哈里旦热合木,杨祺.构造中点模型解析中考几何试题的研究J.理论数学,2023,13(10):2854-2861.DOI:10.12677/pm.2023.1310292 构造中点模型解析中考几何试题的研究构造中点模型解析中考几何试题的研究 哈里旦热合木哈里旦热合木*，杨，杨 祺祺#新疆师范大学数学科学学院，新疆 乌鲁木齐 收稿日期：2023年9月6日；录用日期：2023年10月6日；发布日期：2023年10月16日 摘摘 要要 文章通过归纳总结常见几种中点模型，并从近几年通过构造中点模型求解的中考几何压轴试题出发，对文章通过归纳总结常见几种中点模型，并从近几年通过构造中点模型求解的中考几何压轴试题出发，对其分析、解答和小结给予展示，并提出相应的解题技巧和教学思考，以期让学生找到解决此类问题的解其分析、解答和小结给予展示，并提出相应的解题技巧和教学思考，以期让学生找到解决此类问题的解题思路，开拓几何思维，培养学生的问题解决能力题思路，开拓几何思维，培养学生的问题解决能力。关键词关键词 构造构造，中点模型中点模型，中考中考，几何压轴试题几何压轴试题 Research on the Construction of Mid-Point Model to Analyze the Geometry Test Questions of Senior High School Entrance Examination HalidanRehemu*,Qi Yang#School of Mathematical Sciences,Xinjiang Normal University,Urumqi Xinjiang Received:Sep.6th,2023;accepted:Oct.6th,2023;published:Oct.16th,2023 Abstract By summarizing several common midpoint models,and starting from the geometric final exami-nation questions of the senior high school entrance examination solved by constructing the mid-point model in recent years,this paper shows its analysis,solution and summary,and puts for-ward the corresponding problem-solving skills and teaching thinking,so as to enable students to *第一作者。#通讯作者。哈里旦热合木，杨祺 DOI:10.12677/pm.2023.1310292 2855 理论数学 find the problem-solving ideas to solve such problems,develop geometric thinking and cultivate students problem-solving ability.Keywords Construction,Mid-Point Model,Senior High School Entrance Examination,Geometric Pressing Test Questions Copyright 2023 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.引言引言 构造几何模型是学生学习和运用的难点1，在中考几何压轴试题的解答中往往逃避不了模型的运用。中点模型就是几何模型中的一种。初中数学中存在四个常见的中点模型，即全等三角形八字模型、等腰三角形三线合一模型、三角形中位线定理模型、直角三角形斜边中线定理模型。中点是指将一条线段分为两条相等线段的点，是几何常见的特殊点之一，在中考几何压轴试题中经常出现一些与中点相关的问题，解答时若能灵活运用中点来添加辅助线构造相应的中点模型，往往可以达到良好的解题效果。但是与中点相关的问题涉及的内容跨章节，甚至跨年级，加之添加辅助线的方法灵活多变，教师教起来困难，学生学起来也不易2。为此，文章通过归纳总结常见几种中点模型，并从近几年通过构造中点模型求解的中考几何压轴试题出发，挖掘题目中的中点模型，探究其典型解法，以期让学生找到解决此类问题的解题思路，并帮助学生熟练掌握常见几种中点模型，丰富知识结构，促进几何思维的发展，提升综合运用知识的能力、分析和解决问题的能力、逻辑推理能力以及直观想象能力，进而提升数学学科核心素养。2.中点模型归纳中点模型归纳 2.1.全等三角形八字模型全等三角形八字模型(倍长中线模型倍长中线模型)当出现三角形的中线或中点时，常常将此中线或类中线(与中点有关的线段)延长一倍构造全等三角形。目的是利用全等三角形的性质实现相等的线段和相等的角度的转化，即对已知条件中的线段和角度进行转移。【模型解读】如图 1，在ABC中，AD 是 BC 边的中线，延长 AD 至点 E，使DEAD=，连接 BE，则有ADCEDB。如图 2，在ABC中，点 D 是 BC 边的中点，延长 FD 至点 E，使DEFD=，连接CE，则有FDBEDC。Figure 1.Double long midline 图图 1.倍长中线 Open AccessOpen Access哈里旦热合木，杨祺 DOI:10.12677/pm.2023.1310292 2856 理论数学 Figure 2.Double-long class midline 图图 2.倍长类中线 2.2.等腰三角形三线合一模型等腰三角形三线合一模型 当出现等腰三角形时，常隐含有底边中点，将其与顶角的顶点连接，可构成等腰三角形的三线合一3。目的是利用等腰三角形三线合一性质证明相等的线段或相等的角度、两条直线的垂直关系以及半角倍角。“三线合一”即在等腰三角形中顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合为一条线。【模型解读】如图 3，在等腰ABC中，点 D 是底边 BC 上的中点，连接 AD，则有BDCD=，BADCAD=，ADBC。Figure 3.Isosceles triangle three-in-one model 图图 3.等腰三角形三线合一模型 2.3.三角形中位线定理模型三角形中位线定理模型 当同时出现多条边的中点时，常常构造三角形的中位线；或当出现一个中点，要求证明线段平行或倍分关系时，也常常构造三角形的中位线。目的是利用三角形中位线定理得到线段位置上的“平行”和数量上的“倍分”关系，并得到相似三角形进而得到相关线段长的比例关系。“三角形中位线定理”即三角形的中位线平行于第三边(不与中位线接触)，并且等于第三边的一半。【模型解读】如图 4，在ABC中，点 D 是 AB 边的中点，点 E 是 AC 边的中点，连接 DE，则有 DEBC，12DEBC=。Figure 4.Triangle median line theorem model 图图 4.三角形中位线定理模型 哈里旦热合木，杨祺 DOI:10.12677/pm.2023.1310292 2857 理论数学 2.4.直角三角形斜边中线定理模型直角三角形斜边中线定理模型 当出现直角三角形斜边中点时，常常会作斜边上的中线。目的是利用直角三角形斜边中线定理，构建相应地等腰三角形获得相等的线段、相等的角度等。“直角三角形斜边中线定理”即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。【模型解读】如图 5，在Rt ABC中，点 D 是斜边 AC 上的中点，连接 BD，则有 12ADCDBDAC=。Figure 5.Right triangle diagonal midline theorem model 图图 5.直角三角形斜边中线定理模型 3.中点模型解题示例中点模型解题示例 例 1(2020 年北京中考第 27 题)在ABC中，90C=，ACBC，D 是 AB 的中点。E 为直线 AC上一动点，连接 DE，过点D 作DFDE，交直线 BC 于点 F，连接 EF。1)略；2)当点 E 在线段 CA的延长线上时，依题意补全图 6，用等式表示线段 AE，EF，BF 之间的数量关系，并证明。Figure 6.Question(2)the original graph 图图 6.第(2)问原图 Figure 7.Question(2)completion graph 图图 7.第(2)问补全图 哈里旦热合木，杨祺 DOI:10.12677/pm.2023.1310292 2858 理论数学 Figure 8.Construct a congruent triangle eight-character model 图图 8.构造全等三角形八字模型 【分析】此题对应全等三角形八字模型。由于 AE，EF，BF 比较分散，所以无法证明它们之间的数量关系，但是可以通过移动边的位置，使 AE，EF，BF 在位置上产生关联，进而证明它们之间的数量关系。因为 D 是 AB 的中点，由此可将 DE 延长一倍，构造全等三角形八字模型，得到两个全等三角形，实现相等的线段和相等的角度的转化，便可实现移动边的位置，即GDED=，BGAE=，进而可得 DF是 EG 的垂直平分线，所以GFEF=，因此将比较分散的 AE，EF，BF 转移到了同一个直角三角形中，利用勾股定理，即可求解。【解】依题意补全图 6 得到上图 7。222AEBFEF+=。证明：如图 8 所示，延长 ED 至点 G，使得GDED=，连接 GB、GF，在BDG和ADE中，GDED=，GDBEDA=，BDAD=，所以BDGADE，所以BGAE=，DGBDEA=，所以BGCE，因为BGCE，90C=，所以90GBF=，又因为DFDE，GDED=，所以GFEF=，在Rt GBF中，由勾股定理，得222BGBFGF+=，所以222AEBFEF+=。【小结】本题解题的关键是构造全等三角形八字模型，利用全等三角形的判定、全等三角形的性质、两直线平行的判定、两直线平行的性质、垂直平分线的性质和勾股定理知识来解答。例2(2022年贵州铜仁中考第14题)如图9，四边形ABCD为菱形，80ABC=，延长BC到E，在DCE内作射线 CM，使得30ECM=，过点 D 作DFCM，垂足为 F。若6DF=，则 BD 的长为_(结果保留根号)。Figure 9.Example 2 original picture 图图 9.例 2 原图 Figure 10.Construct an isosceles triangle three-in-one model 图图 10.构造等腰三角形三线合一模型 哈里旦热合木，杨祺 DOI:10.12677/pm.2023.1310292 2859 理论数学 【分析】此题对应等腰三角形三线合一模型。因为四边形 ABCD 为菱形，所以BCCD=，所以BCD为等腰三角形，由此可过点 C 作CGBD，垂足为点 G，构造等腰三角形三线合一模型，可得点 G 为BD 的中点，进而利用全等三角形的判定定理 AAS，即可求解。【解】因为四边形 ABCD 为菱形，80ABC=，所以BCCD=，80DCE=，80ADC=，40BDC=，因为30ECM=，所以50DCF=，又因为DFCM，所以40FDC=，过点 C 作CGBD，垂足为点 G，如图 10 所示，因为BCCD=，CGBD，所以点 G 是 BD 的中点，在DCG和DCF中，90DGCDFC=，40GDCFDC=，DCDC=，所以DCGDCF，所以DGDF=，所以222 6BDDGDF=，所以2 6BD=。【小结】本题解题的关键是构造等腰三角形三线合一模型，利用菱形的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质和等腰三角形三线合一性质知识来解答。例 3(2021 年北京中考第 27 题)如图 11，在ABC中，ABAC=，BAC=，M 为 BC 的中点，点D 在 MC 上，以点 A 为中心，将线段 AD 顺时针旋转得到线段 AE，连接 BE，DE。1)略；2)过点 M作 AB 的垂线，交 DE 于点 N，用等式表示线段 NE 和 ND 的数量关系，并证明。Figure 11.Example 3 original picture 图图 11.例 3 原图 【分析】此题对应三角形中位线定理模型。因为 M 为 BC 的中点，因此可以过点 E 作EGMN交BC 于点 G，构成三角形的中位线基本图形，进而利用三角形中位线定理，即可求解。【解】NEND=。证明：如图12所示，过点E作EGMN交BC于点G，交AB于点O，因为MNAB，所以EGAB于点 O，在ABC中，ABAC=，所以ABCACB=，因为线段 AD 顺时针旋转得到线段 AE，BAC=，所以AEAD=，EAD=，所以EABBADDACBAD+=+=，所以EABDAC=，在ABE和ACD中，AEAD=，EABDAC=，ABAC=，所以ABEACD，所以BECD=，ABEACB=，因为ABCACB=，所以ABEABC=，在OBE和OBG中，因为90EOBGOB=，BOBO=，OBEOBG=，所以OBEOBG，所以BEBG=，因为BEBG=，BECD=，所以BGCD=，又因为 M 为 BC 的中点，所以MGMD=，即 M 为 DG 的中点，因为EGMN，所以 MN 为EGD的中位线，所以 N 为 ED 的中点，所以NEND=。Figure 12.Construct triangle median line theorem model 图图 12.构造三角形中位线定理模型 哈里旦热合木，杨祺 DOI:10.12677/pm.2023.1310292 2860 理论数学 【小结】本题解题的关键是构造三角形中位线定理模型，利用全等三角形的判定、全等三角形的性质和三角形中位线定理知识来解答。例 4(2020 年浙江温州中考第 22 题)如图 13，C，D 为O上两点，且在直径 AB 两侧，连结 CD 交AB 于点 E，G 是AC上一点，ADCG=。1)略；2)点 C 关于 DG 的对称点为 F，连结 CF。当点 F 落在直径 AB 上时，10CF=，2tan15=，求O的半径。Figure 13.Example 4 original picture 图图 13.例 4 原图 【分析】此题对应直角三角形斜边中线定理模型。因为ADCG=，AB为O的直径，所以ABCD，ECF为直角三角形，E 为 CD 的中点。又因为点 C，F 关于 DG 对称，所以DGCF，HCD为直角三角形，H 为 CF 的中点。出现两个直角三角形斜边中点，因此可连接 EH 构造两个直角三角形斜边中线定理模型(Rt ECF与Rt HCD)，即可求解。【解】因为ADCG=，所以ACAD=，又因为 AB 为O的直径，所以ABCD，CEED=，E为 CD 的中点，令 CF 与 DG 的交点为 H，因为点 C，F 关于 DG 对称，所以DGCF，H 为 CF 的中点，连接 EH，如图 14 所示，得到1122EHCFCD=，所以10CDCF=，5DE=，因为2tan15=，所以tan 12EBDE=，因为12=(由第(1)问可得)，所以2tan25=，所以25tan22DEAE=，2529222ABAEEB=+=+=，所以294OAOB=，所以O的半径为294。Figure 14.Construct a right triangle diagonal midline theorem model 图图 14.构造直角三角形斜边中线定理模型 【小结】本题解题的关键是构造直角三角形斜边中线定理模型，利用垂径定理的逆定理、对称的性质以及直角三角形斜边中线定理知识来解答。哈里旦热合木，杨祺 DOI:10.12677/pm.2023.1310292 2861 理论数学 4.结束语结束语 著名数学家、哲学家怀特海曾提出“数学是模式的科学”的观点，提出“数学的本质特征就是在模式化的个体抽象的过程中对模式进行研究”4。这些题看似与中点模型无关，因为中点模型在题目中呈现不完整，其实通过构造中点模型便可迎刃而解。这需要学生在解题时深入思考、善于联想，充分挖掘题目隐含条件5，通过中点这一重要条件，构造符合题意的中点模型来解题，便可使推理过程柳暗花明。中考几何压轴试题难在知识综合与图形分解，这就需要教师在讲解典型例题时讲明问题的本质，讲清基本图形，引导学生理解其中蕴含的数学思想方法，掌握一般的解题策略，再次遇到类似问题时才能引发关联思考并解决问题6。并且在平时教学中，教师应该有意识地指导学生从问题中提炼一些解题模型，归纳一些常用方法，即引导学生进行有效的总结与反思，这既能加深学生对知识的理解，丰富学生的知识结构，又能提升学生分析问题与解决问题的能力，有助于学生综合能力的提升与数学素养的发展。总之，在初中数学中包含有众多的数学模型，上述所呈现的中点模型只是其中的一类，在教学时需要使学生深刻领悟其中的内涵，掌握模型适用的范围及对应思路，逐步提升学生使用模型解题的灵活性，促进学生的思维发展7。基金项目基金项目 国家自然科学基金资助(11961068)。参考文献参考文献 1 魏创,黄道全.构造常见几何模型 破解中考压轴试题J.数理化学习(初中版),2021(12):17-20.2 赵兴荣.例谈中点相关问题的辅助线作法J.中学数学教学参考,2020(18):32-34.3 杨玲慧.从“中点的联想”入手 培养学生问题解决能力初中数学课堂中解构复杂图形的尝试J.上海中学数学,2022(6):32-35.4 王芳.学生视角下几何综合题教学策略J.中学教研(数学),2021(5):45-46.5 张妞梅.利用圆的模型思想巧解题J.中学数学教学参考,2022(27):30-31.6 范建兵.解构中点问题 提升数学理解J.数学教学通讯,2022(2):30-32.7 季叶红.探讨中点模型,解读应用反思以中点三大模型的探究为例J.数学教学通讯,2019(32):78-80.