唐口中学二次根式探究规律题.doc

八年级数学第七章《二次根式》探究规律题
与二次根式有关的知识，在中考试卷中常以探究规律形式的开放性问题出现，这类题型，材料新颖、独到创新，是中考数学的热点题型.为更好的探究此类问题的解决方法，现归类举例供大家阅读参考．
一．阅读找规律“照葫芦画瓢”
例1．观察下列各式及其验证过程：
，验证：．
，验证：．
（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用（为任意自然数，且）表示的等式，并给出验证．
（3）针对三次根式及次根式（为任意自然数，且）,有无上述类似的变形，如果有，写出用（为任意自然数，且）表示的等式，并给出验证．
分析：此类题目主要考查学生的观察、归纳、猜想结论的能力，并能够利用找到的规律，“照葫芦画瓢”解决问题，其实质是培养学生从特殊到一般的学习方法．本题从最简单的二次根式的变形入手，层层递进，经过归纳、猜想出次根式的变形结论．
解：（1）．
验证：．
（2）（为任意自然数，且）．
验证：．
（3）（为任意自然数，且）．
验证：．
（为任意自然数，且）．
二．归纳找方法“轻松化繁为简”
例2、观察下列分母有理化运算：，，，…，，.
利用上面的规律计算：
（）（1+）
分析：解决此类问题关键是归纳各算式之间的规律，利用所找到的规律化简复杂的运算，主要考察学生观察、分析、归纳的能力以及化繁为简的数学思想方法.此题可以利用已知算是规律，直接化简要求算式.
解：∵，，，
∴（）（1+）
＝（+…）（1+
）＝（－1+）（1+）＝()2－1＝2002.
三．探究是非曲直“做正义的法官
例3．对于题目：“化简并求值：，其中．”
甲、乙两人的解答不同，甲的解答是：；乙的答案是：．
谁的解答是错误的？为什么？
分析：解决此类问题的关键是探究问题的是非曲直，找出两人思路分歧的原因，再根据题目所涉及的知识点，即主要考查学生正确使用成立的前提条件，注意应用，其中条件是关键的，因而正确判断被开方数底数的正负性不容忽视．通过对比作出“正义评判”.
解：甲的解答是错误的．
当时，，，
．
故乙的解答是正确的．

四．巩固练习
1. 判断下列各式是否成立：
； ； .
类比上述式子，再写出几个同类型的式子.你能看出其中的规律吗？用字母表示这一规律，并给出证明.

2.（二次根式的乘除）观察下列各式及其验证过程：
，
验证：.
，
验证：.
（1） 按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，你知道的变形结果吗？并验证；
（2） 根据上述等式反映出的规律，你能写出用表示一般规律的等式吗？并验证.

3. 观察下列各式
；；······请你将猜到的规律用含

n(n1的整数）的代数式表示出来 。

4. 在进行二次根式的化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还需要将其进一步化简：.以上这种化简的步骤叫做分母有理化.也可以用如下方法化简：.
（1） 请用不同的方法化简；
（2） 化简.

5. 观察下列等式：
‚；ƒ；……
回答下列问题：
（1) 利用你观察到的规律，化简：
（2) 计算：

6. 我们学习了整式的乘法，其中完全平方公式至今还记忆犹新.我们利用这个公式可把配成完全平方的形式：.
（1） 请把下列各式都配成完全平方的形式.
⑥ ；②；③；④；⑤；
⑥.

（2） 已知，求的值.

（3） 计算
.

7.小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：
设 (其中均为正整数），则有，
∴ .
这样小明就找到一种把部分的式子化作平方式的方法.
请仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当均为正整数时，若，
用含有的式子分别表示，，得______，__________.
（2）利用所探索的结论，找一组正整数填空:
____+_____=(_____+_____)².(答案不唯一)
（3）若，且均为正整数，求的值.

8．我们看几个等式：=1×4+1=5;=2×5+1=11; =3×6+1=19；仔细观察上面几道题及其结果，你能发现什么规律？能解释这一规律吗？并用你发现的规律猜想下面的结果：
①=___________.
②=（ ）×( ) ( )；
③=___________.