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第5-6章 统计量及其抽样分布
5.1正态分布
5.1.1定义:当一个变量受到大量微小的、独立的随机因素影响时，这个变量一般服从正态分布或近似服从正态分布。
概率密度曲线图
例如：某个地区同年龄组儿童的发育特征：身高、体重、肺活量等
某一条件下产品的质量
如果随机变量X的概率密度为
则称X服从正态分布。
记做，读作：随机变量X服从均值为，方差为的正态分布
其中，，是随机变量X的均值，是是随机变量X的标准差
5.1.2正态密度函数f(x)的一些特点：
,即整个概率密度曲线都在x轴的上方。
曲线相对于对称，并在处达到最大值，。
＜＜
曲线的陡缓程度由决定：越大，曲线越平缓；越小，曲线越陡峭
当趋于无穷时，曲线以轴为其渐近线。
标准正态分布
当时，
，
称为标准正态分布。
标准正态分布的概率密度函数：
标准正态分布的分布函数：
任何一个正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布
设,则
变量与变量相互独立,则有
5.1.3 正态分布表：可以查的正态分布的概率值
例：设，求以下概率
（1）
(2)
(3)
(4)
解：
（1）
(2)
(3)
(4)
一般，若，则有
例 设，求以下概率
（1）
(2)
（3）
（4）
（5）
解：由，
（1）
(2)
（3）
（4）
（5）
一般，若，则有
5.1.4 3准则
若，则有
即，X的取值几乎全部集中在区间内，超出这个范围的可能不到0.3%
至一般正态总体，即，有
显然的概率很小，因此可以认为X的值几乎一定落在区间内——统计学的“3准则”
5.1.5 正态分布函数的一个重要性质
设变量，,X与Y相互独立,则有
5.1.6 求分位数
设
常用的几个Z分位数:
5.2 由正态分布导出的几个重要分布
三大分布：分布
5.2.1分布
1 定义：设随机变量相互独立，且，则它们的平方和服从自由度为n的分布。
记做，
2 分布的密度函数图形
图形特点：
（1）分布的变量值始终为正。
（2）分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对称的右偏分布，随着自由度的增大逐渐趋于对称。
（3）分布的期望为，方差为（n为自由度）。
（4）分布具有可加性。
若是相互独立的随机变量， ，则它们的和服从于自由度为的分布，即。
3 分布临界值表的使用，求得分布的分位数
分布临界值表中给出的是概率为时，的取值，k是自由度。
例如，若随机变量，
则查表可得，，
5.2.2 t分布（student分布）
设随机变量互相独立，
，则随机变量
——自由度为n的t分布
t分布概率密度函数图
特点：
① 关于y轴对称，与标准正态分布的密度函数的图像非常相似。
② 厚尾：当时，t分布的密度函数趋于0的速度要比标准正态分布密度函数慢，所以t分布的密度函数的尾部要比密度的尾部厚些。
③ 当自由度n无限增大时，t分布将趋近于标准正态分布。
所以，当n很大时，t分布可以用标准正态分布近似。记为分布的分位数。
在实际使用中，当,就近似有
由于t分布密度曲线的对称性，可得
例如，若随机变量，查表可得，
而
,
可见随着自由度的增大，t分位数与z分位数越来越接近。
5.2.3 F分布
设随机变量与相互独立且分别服从自由度为和的分布。则随机变量服从第一自由度为第二自由度为的F分布。记为
F分布的概率密度函数的图
设随机变量，
表示分布的分位数，
可以证明
例如查表得
，
则
5.6 小概率原理
指发生概率很小的随机事件在一次实验中几乎不可能出现。
6.1 统计量
定义：设是从总体中抽取的容量为的一个样本，如果由此样本构造一个不依赖于任何未知参数的函数，则称函数是一个统计量。
特点：
由样本构造而得，是样本的函数
不含任何未知的参数
当获得样本的一组具体观测值，带入,计算出的数值，称为统计量的值
常用的统计量
6.2 抽样分布
抽样分布：统计量的分布
随机变量
精确分布：可以得到分布的数学表达式
渐近分布：难以得到精确分布时，借助于极限工具，求得抽样分布的近似分布，称为渐近分布。
定理1：
设是取自总体的一个样本，记，，那么
①，
②，
③ 当时，
④ 当时，，
定理2：
设是取自正态总体的一个样本
①，或等价地
②
③ 与相互独立
推论1：
设是取自正态总体的一个样本，那么
简要证明：
独立（分布的定义）
即
推论2
设是取自正态总体的一个样本，
是取自正态总体的一个样本，
与相互独立，那么
简要证明：
独立，
推论3：
设是取自正态总体的一个样本，
是取自正态总体的一个样本，
与相互独立，那么
其中，
简要证明：
独立，
可加性
整理得
设
即
推论4：
设是取自正态总体的一个样本，
是取自正态总体的一个样本，
与相互独立，那么
简要证明：
正态
即
非正态总体的情形
定理：设是取自总体的一个样本，当较大时，近似地有
①
②
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