1、第5-6章 统计量及其抽样分布5.1正态分布5.1.1定义:当一个变量受到大量微小的、独立的随机因素影响时，这个变量一般服从正态分布或近似服从正态分布。概率密度曲线图例如：某个地区同年龄组儿童的发育特征：身高、体重、肺活量等 某一条件下产品的质量如果随机变量X的概率密度为则称X服从正态分布。记做，读作：随机变量X服从均值为，方差为的正态分布其中，是随机变量X的均值，是是随机变量X的标准差5.1.2正态密度函数f(x)的一些特点： ,即整个概率密度曲线都在x轴的上方。曲线相对于对称，并在处达到最大值，。曲线的陡缓程度由决定：越大，曲线越平缓；越小，曲线越陡峭当趋于无穷时，曲线以轴为其渐近线。标准
2、正态分布当时，称为标准正态分布。标准正态分布的概率密度函数：标准正态分布的分布函数：任何一个正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布设,则变量与变量相互独立,则有5.1.3 正态分布表：可以查的正态分布的概率值例：设，求以下概率（1）(2) (3) (4) 解：（1）(2) (3) (4) 一般，若，则有例 设，求以下概率（1）(2) （3） （4）（5）解：由，（1）(2) （3）（4）（5）一般，若，则有5.1.4 3准则若，则有即，X的取值几乎全部集中在区间内，超出这个范围的可能不到0.3%至一般正态总体，即，有显然的概率很小，因此可以认为X的值几乎一定落在区间内统计学的“3准则”5
3、.1.5 正态分布函数的一个重要性质设变量，,X与Y相互独立,则有5.1.6 求分位数设常用的几个Z分位数:5.2 由正态分布导出的几个重要分布三大分布：分布5.2.1分布1 定义：设随机变量相互独立，且，则它们的平方和服从自由度为n的分布。记做，2 分布的密度函数图形图形特点：（1）分布的变量值始终为正。（2）分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对称的右偏分布，随着自由度的增大逐渐趋于对称。（3）分布的期望为，方差为（n为自由度）。（4）分布具有可加性。若是相互独立的随机变量， ，则它们的和服从于自由度为的分布，即。3 分布临界值表的使用，求得分布的分位数分布临界值表中给出的是概率为时
4、，的取值，k是自由度。例如，若随机变量，则查表可得，5.2.2 t分布（student分布）设随机变量互相独立，则随机变量自由度为n的t分布t分布概率密度函数图特点： 关于y轴对称，与标准正态分布的密度函数的图像非常相似。 厚尾：当时，t分布的密度函数趋于0的速度要比标准正态分布密度函数慢，所以t分布的密度函数的尾部要比密度的尾部厚些。 当自由度n无限增大时，t分布将趋近于标准正态分布。所以，当n很大时，t分布可以用标准正态分布近似。记为分布的分位数。在实际使用中，当,就近似有 由于t分布密度曲线的对称性，可得例如，若随机变量，查表可得， 而,可见随着自由度的增大，t分位数与z分位数越来越接近
5、。5.2.3 F分布设随机变量与相互独立且分别服从自由度为和的分布。则随机变量服从第一自由度为第二自由度为的F分布。记为F分布的概率密度函数的图设随机变量，表示分布的分位数，可以证明例如查表得，则5.6 小概率原理指发生概率很小的随机事件在一次实验中几乎不可能出现。6.1 统计量定义：设是从总体中抽取的容量为的一个样本，如果由此样本构造一个不依赖于任何未知参数的函数，则称函数是一个统计量。特点：由样本构造而得，是样本的函数不含任何未知的参数当获得样本的一组具体观测值，带入,计算出的数值，称为统计量的值常用的统计量6.2 抽样分布抽样分布：统计量的分布随机变量精确分布：可以得到分布的数学表达式渐
6、近分布：难以得到精确分布时，借助于极限工具，求得抽样分布的近似分布，称为渐近分布。定理1：设是取自总体的一个样本，记，那么， 当时， 当时， 定理2：设是取自正态总体的一个样本，或等价地 与相互独立推论1：设是取自正态总体的一个样本，那么简要证明： 独立（分布的定义）即推论2 设是取自正态总体的一个样本，是取自正态总体的一个样本，与相互独立，那么简要证明：独立，推论3：设是取自正态总体的一个样本，是取自正态总体的一个样本，与相互独立，那么其中，简要证明：独立，可加性整理得设即推论4：设是取自正态总体的一个样本，是取自正态总体的一个样本，与相互独立，那么简要证明：正态 即 非正态总体的情形定理：设是取自总体的一个样本，当较大时，近似地有 20
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