初中圆定理和公式汇总.doc

初中圆得定理与公式汇总
1不在同一直线上得三点确定一个圆。
B
A
① 圆:由定点到定长点得集合叫做圆。符号⊙0
② 弦:连接圆上任意两点得线段叫做弦。弦:⌒
经过圆心得弦叫直径
③ 半径不同,圆心相同得两个圆叫做同心圆
同圆、等圆或半径相同得叫做等圆
两个完全重合得弧叫等弧
④ 经过平面上一点可画无数个圆;
经平面上二点可画无数个圆;
⑤ 在三角形外画一个圆得圆心叫做此三角形得外心,此圆为三角形得外接圆。
⑥ 外心:三角形三条中垂线得交点。
⑦ 三角形三个顶点在圆上,这个三角形叫圆得内接三角形。
2垂径定理: 垂直于弦得直径平分这条弦并且平分弦所对得两条弧
推论1 ①平分弦(不就是直径)得直径垂直于弦,并且平分弦所对得两条弧
② 弦得垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对得两条弧
③ 平分弦所对得一条弧得直径,垂直平分弦,并且平分弦所对得另一条弧
推论2 圆得两条平行弦所夹得弧相等
3圆就是以圆心为对称中心得中心对称图形
4圆就是定点得距离等于定长得点得集合
5圆得内部可以瞧作就是圆心得距离小于半径得点得集合
6圆得外部可以瞧作就是圆心得距离大于半径得点得集合
7同圆或等圆得半径相等
8到定点得距离等于定长得点得轨迹,就是以定点为圆心,定长为半
径得圆
9定理 在同圆或等圆中,相等得圆心角所对得弧相等,所对得弦
相等,所对得弦得弦心距相等
10推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两
弦得弦心距中有一组量相等那么它们所对应得其余各组量都相等
11定理 圆得内接四边形得对角互补,并且任何一个外角都等于它
得内对角
12 ① 直线L与⊙O相交 d＜r
② 直线L与⊙O相切 d=r
③ 直线L与⊙O相离 d＞r
13切线得判定定理: 经过半径得外端并且垂直于这条半径得直线就是圆得切线
14切线得性质定理 圆得切线垂直于经过切点得半径
15推论1 经过圆心且垂直于切线得直线必经过切点
16推论2 经过切点且垂直于切线得直线必经过圆心
17切线长定理 从圆外一点引圆得两条切线,它们得切线长相等,
圆心与这一点得连线平分两条切线得夹角
18圆得外切四边形得两组对边得与相等
19弦切角定理 弦切角等于它所夹得弧对得圆周角
20推论 如果两个弦切角所夹得弧相等,那么这两个弦切角也相等
30相交弦定理 圆内得两条相交弦,被交点分成得两条线段长得积
相等
31推论 如果弦与直径垂直相交,那么弦得一半就是它分直径所成得
两条线段得比例中项
32切割线定理 从圆外一点引圆得切线与割线,切线长就是这点到割
线与圆交点得两条线段长得比例中项
33推论 从圆外一点引圆得两条割线,这一点到每条割线与圆得交点得两条线段长得积相等
34如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上
35 ① 两圆外离 d＞R+r ② 两圆外切 d=R+r
③ 两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)
④ 两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤ 两圆内含d＜R-r(R＞r)
36定理 相交两圆得连心线垂直平分两圆得公共弦
37 定理 把圆分成n(n≥3):
⑴ 依次连结各分点所得得多边形就是这个圆得内接正n边形
⑵ 经过各分点作圆得切线,以相邻切线得交点为顶点得多边形就是这个圆得外切正n边形
38定理 任何正多边形都有一个外接圆与一个内切圆,这两个圆就是同心圆
39 正n边形得每个内角都等于(n-2)×180°／n
40定理 正n边形得半径与边心距把正n边形分成2n个全等得直角三角形
41正n边形得面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形得周长
42正三角形面积√3a／4 a表示边长
43如果在一个顶点周围有k个正n边形得角,由于这些角得与应为
360°,因此k×(n-2)180°／n=360°化为(n-2)(k-2)=4
44弧长计算公式:L=n兀R／180
45扇形面积公式:S扇形=n兀R^2／360=LR／2
46内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)
47定理 一条弧所对得圆周角等于它所对得圆心角得一半
48推论1 同弧或等弧所对得圆周角相等;同圆或等圆中,相等得圆周角所对得弧也相等
49推论2 半圆(或直径)所对得圆周角就是直角;90°得圆周角所
对得弦就是直径
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
以及与圆有关得比例线段
1、切线长概念
切线长就是在经过圆外一点得圆得切线上,这点与切点之间得线段得长度,“切线长”就是切线上一条线段得长,具有数量得特征,而“切线”就是一条直线,它不可以度量长度。
2、切线长定理
如图1对于切线长定理,应明确(1)若已知圆得两条切线相交,则切线长相等;(2)若已知两条切线平行,则圆上两个切点得连线为直径;(3)经过圆外一点引圆得两条切线,连结两个切点可得到一个等腰三角形;(4)经过圆外一点引圆得两条切线,切线得夹角与过切点得两个半径得夹角互补;(5)圆外一点与圆心得连线,平分过这点向圆引得两条切线所夹得角。
3、弦切角(如图2):顶点在圆上,一边与圆相交,另一边与圆相切得角。
图2
图1

直线AB切⊙O于P,PC、PD为弦,图中几个弦切角呢？(四个)ÐAPC,ÐAPD,ÐBPD,ÐBPC
4、弦切角定理:弦切角等于其所夹得弧所对得圆周角。即如上图中ÐAPC=ÐCDP等
证明:如图2,连接CD、OC、OP,因为ÐCPO=ÐPCO,所以ÐCOP=180°-2ÐCPO而ÐCPO=90°-ÐAPC,故ÐCOP=2ÐAPC,即ÐCDP=ÐAPC。
5、弄清与圆有关得角:圆周角,圆心角,弦切角,圆内角,圆外角。
6、遇到圆得切线,可联想“角”弦切角,“线”切线得性质定理及切线长定理。
7、与圆有关得比例线段
定理
图形
已知
结论
证法
相交弦定理

⊙O中,AB、CD为弦,交于P、
PA·PB＝PC·PD
连结AC、BD,ÐC=ÐB,ÐA=ÐD,所以△APC∽△DPB
相交弦定理得推论

⊙O中,AB为直径,CD⊥AB于P、
PC2＝PA·PB
用相交弦定理、
切割线定理

⊙O中,PT切⊙O于T,割线PB交⊙O于A
PT2＝PA·PB
连结TA、TB,则∠PTA=∠B(弦切角等于同弧圆周角)所以△PTA∽△PBT,所以
PT2＝PA·PB
切割线定理推论

PB、PD为⊙O得两条割线,交⊙O于A、C
PA·PB＝PC·PD
过P作PT切⊙O于T,用两次切割线定理
圆幂定理

⊙O中,割线PB交⊙O于A,CD为弦
P'C·P'D＝r2－OP'2
PA·PB＝OP2－r2
r为⊙O得半径
延长P'O交⊙O于M,延长OP'交⊙O于N,用相交弦定理证;过P作切线用切割线定理勾股定理证
8、圆幂定理:过一定点P向⊙O作任一直线,交⊙O于两点,则自定点P到两交点得两条线段之积为常数||(R为圆半径),因为叫做点对于⊙O得幂,所以将上述定理统称为圆幂定理。
例1、如图1,正方形ABCD得边长为1,以BC为直径。在正方形内作半圆O,过A作半圆切线,切点为F,交CD于E,求DE:AE得值。

图1
例2、⊙O中得两条弦AB与CD相交于E,若AE＝6cm,BE＝2cm,CD＝7cm,求CE。

图2
例3、已知PA就是圆得切线,PCB就是圆得割线,则________。
例4、如图3,P就是⊙O外一点,PC切⊙O于点C,PAB就是⊙O得割线,交⊙O于A、B两点,如果PA:PB＝1:4,PC＝12cm,⊙O得半径为10cm,则圆心O到AB得距离就是___________cm。

图3
例5、如图4,AB为⊙O得直径,过B点作⊙O得切线BC,OC交⊙O于点E,AE得延长线交BC于点D,求证:(1);(2)若AB＝BC＝2厘米,求CE、CD得长。

图4
例6、如图5,AB为⊙O得直径,弦CD∥AB,AE切⊙O于A,交CD得延长线于E。求证:

图5
例7、如图6,PA、PC切⊙O于A、C,PDB为割线。求证:AD·BC＝CD·AB

图6
例8、如图7,在直角三角形ABC中,∠A＝90°,以AB边为直径作⊙O,交斜边BC于点D,过D点作⊙O得切线交AC于E。求证:BC＝2OE。

图7
例9、如图8,在正方形ABCD中,AB＝1,就是以点B为圆心,AB长为半径得圆得一段弧。点E就是边AD上得任意一点(点E与点A、D不重合),过E作所在圆得切线,交边DC于点F,G为切点。
当∠DEF＝45°时,求证:点G为线段EF得中点;

图8
【模拟试题】(答题时间:40分钟)
一、选择题
1、已知:PA、PB切⊙O于点A、B,连结AB,若AB＝8,弦AB得弦心距3,则PA＝( )
A、20/3 B、25/3 C、 5 D、 8
2、下列图形一定有内切圆得就是( )
A、平行四边形 B、矩形
C、菱形 D、梯形
3、已知:如图1直线MN与⊙O相切于C,AB为直径,∠CAB＝40°,则∠MCA得度数( )

图1
A、 50° B、 40° C、 60° D、 55°
4、圆内两弦相交,一弦长8cm且被交点平分,另一弦被交点分为1:4,则另一弦长为( )
A、 8cm B、 10cm C、 12cm D、 16cm
5、在△ABC中,D就是BC边上得点,AD=cm,BD＝3cm,DC＝4cm,如果E就是AD得延长线与△ABC得外接圆得交点,那么DE长等于( )
A、 cm B、 cm C、 cm D、 cm
6、 PT切⊙O于T,CT为直径,D为OC上一点,直线PD交⊙O于B与A,B在线段PD上,若CD＝2,AD＝3,BD＝4,则PB等于( )
A、 20 B、 10 C、 5 D、
二、填空题
7、 AB、CD就是⊙O切线,AB∥CD,EF就是⊙O得切线,它与AB、CD分别交于E、F,则∠EOF＝_____________度。
8、已知:⊙O与不在⊙O上得一点P,过P得直线交⊙O于A、B两点,若PA·PB＝24,OP＝5,则⊙O得半径长为_____________。
9、若PA为⊙O得切线,A为切点,PBC割线交⊙O于B、C,若BC＝20,PA=,则PC得长为_____________。
10、正△ABC内接于⊙O,M、N分别为AB、AC中点,延长MN交⊙O于点D,连结BD交AC于P,则=_____________。
三、解答题
11、如图2,△ABC中,AC＝2cm,周长为8cm,F、K、N就是△ABC与内切圆得切点,DE切⊙O于点M,且DE∥AC,求DE得长。

图2
12、如图3,已知P为⊙O得直径AB延长线上一点,PC切⊙O于C,CD⊥AB于D,求证:CB平分∠DCP。

图3
13、如图4,已知AD为⊙O得直径,AB就是⊙O得切线,过B得割线BMN交AD得延长线于C,且BM＝MN＝NC,若AB=cm,求⊙O得半径。

图4