初中圆定理和公式汇总.doc

初中圆得定理与公式汇总1不在同一直线上得三点确定一个圆。 BA 圆:由定点到定长点得集合叫做圆。符号0 弦:连接圆上任意两点得线段叫做弦。弦: 经过圆心得弦叫直径 半径不同,圆心相同得两个圆叫做同心圆 同圆、等圆或半径相同得叫做等圆两个完全重合得弧叫等弧 经过平面上一点可画无数个圆;经平面上二点可画无数个圆; 在三角形外画一个圆得圆心叫做此三角形得外心,此圆为三角形得外接圆。 外心:三角形三条中垂线得交点。 三角形三个顶点在圆上,这个三角形叫圆得内接三角形。2垂径定理: 垂直于弦得直径平分这条弦并且平分弦所对得两条弧 推论1 平分弦(不就是直径)得直径垂直于弦,并且平分弦所对得两条弧 弦得垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对得两条弧 平分弦所对得一条弧得直径,垂直平分弦,并且平分弦所对得另一条弧 推论2 圆得两条平行弦所夹得弧相等 3圆就是以圆心为对称中心得中心对称图形 4圆就是定点得距离等于定长得点得集合 5圆得内部可以瞧作就是圆心得距离小于半径得点得集合 6圆得外部可以瞧作就是圆心得距离大于半径得点得集合 7同圆或等圆得半径相等 8到定点得距离等于定长得点得轨迹,就是以定点为圆心,定长为半 径得圆 9定理 在同圆或等圆中,相等得圆心角所对得弧相等,所对得弦 相等,所对得弦得弦心距相等 10推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两 弦得弦心距中有一组量相等那么它们所对应得其余各组量都相等 11定理 圆得内接四边形得对角互补,并且任何一个外角都等于它 得内对角 12 直线L与O相交 dr 直线L与O相切 d=r 直线L与O相离 dr 13切线得判定定理: 经过半径得外端并且垂直于这条半径得直线就是圆得切线 14切线得性质定理 圆得切线垂直于经过切点得半径 15推论1 经过圆心且垂直于切线得直线必经过切点 16推论2 经过切点且垂直于切线得直线必经过圆心 17切线长定理 从圆外一点引圆得两条切线,它们得切线长相等, 圆心与这一点得连线平分两条切线得夹角 18圆得外切四边形得两组对边得与相等 19弦切角定理 弦切角等于它所夹得弧对得圆周角 20推论 如果两个弦切角所夹得弧相等,那么这两个弦切角也相等 30相交弦定理 圆内得两条相交弦,被交点分成得两条线段长得积 相等 31推论 如果弦与直径垂直相交,那么弦得一半就是它分直径所成得 两条线段得比例中项 32切割线定理 从圆外一点引圆得切线与割线,切线长就是这点到割 线与圆交点得两条线段长得比例中项 33推论 从圆外一点引圆得两条割线,这一点到每条割线与圆得交点得两条线段长得积相等 34如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上 35 两圆外离 dR+r 两圆外切 d=R+r 两圆相交 R-rdR+r(Rr) 两圆内切 d=R-r(Rr) 两圆内含dR-r(Rr) 36定理 相交两圆得连心线垂直平分两圆得公共弦 37 定理 把圆分成n(n3): 依次连结各分点所得得多边形就是这个圆得内接正n边形 经过各分点作圆得切线,以相邻切线得交点为顶点得多边形就是这个圆得外切正n边形 38定理 任何正多边形都有一个外接圆与一个内切圆,这两个圆就是同心圆 39 正n边形得每个内角都等于(n-2)180n 40定理 正n边形得半径与边心距把正n边形分成2n个全等得直角三角形 41正n边形得面积Sn=pnrn2 p表示正n边形得周长 42正三角形面积3a4 a表示边长 43如果在一个顶点周围有k个正n边形得角,由于这些角得与应为 360,因此k(n-2)180n=360化为(n-2)(k-2)=4 44弧长计算公式:L=n兀R180 45扇形面积公式:S扇形=n兀R2360=LR2 46内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r) 47定理 一条弧所对得圆周角等于它所对得圆心角得一半 48推论1 同弧或等弧所对得圆周角相等;同圆或等圆中,相等得圆周角所对得弧也相等 49推论2 半圆(或直径)所对得圆周角就是直角;90得圆周角所 对得弦就是直径 切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关得比例线段1、切线长概念 切线长就是在经过圆外一点得圆得切线上,这点与切点之间得线段得长度,“切线长”就是切线上一条线段得长,具有数量得特征,而“切线”就是一条直线,它不可以度量长度。 2、切线长定理 如图1对于切线长定理,应明确(1)若已知圆得两条切线相交,则切线长相等;(2)若已知两条切线平行,则圆上两个切点得连线为直径;(3)经过圆外一点引圆得两条切线,连结两个切点可得到一个等腰三角形;(4)经过圆外一点引圆得两条切线,切线得夹角与过切点得两个半径得夹角互补;(5)圆外一点与圆心得连线,平分过这点向圆引得两条切线所夹得角。3、弦切角(如图2):顶点在圆上,一边与圆相交,另一边与圆相切得角。图2图1直线AB切O于P,PC、PD为弦,图中几个弦切角呢？(四个)APC,APD,BPD,BPC4、弦切角定理:弦切角等于其所夹得弧所对得圆周角。即如上图中APC=CDP等证明:如图2,连接CD、OC、OP,因为CPO=PCO,所以COP=180-2CPO而CPO=90-APC,故COP=2APC,即CDP=APC。5、弄清与圆有关得角:圆周角,圆心角,弦切角,圆内角,圆外角。6、遇到圆得切线,可联想“角”弦切角,“线”切线得性质定理及切线长定理。7、与圆有关得比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理O中,AB、CD为弦,交于P、PAPBPCPD连结AC、BD,C=B,A=D,所以APCDPB相交弦定理得推论O中,AB为直径,CDAB于P、PC2PAPB用相交弦定理、切割线定理O中,PT切O于T,割线PB交O于APT2PAPB连结TA、TB,则PTA=B(弦切角等于同弧圆周角)所以PTAPBT,所以PT2PAPB切割线定理推论PB、PD为O得两条割线,交O于A、CPAPBPCPD过P作PT切O于T,用两次切割线定理圆幂定理O中,割线PB交O于A,CD为弦PCPDr2OP2PAPBOP2r2r为O得半径延长PO交O于M,延长OP交O于N,用相交弦定理证;过P作切线用切割线定理勾股定理证8、圆幂定理:过一定点P向O作任一直线,交O于两点,则自定点P到两交点得两条线段之积为常数|(R为圆半径),因为叫做点对于O得幂,所以将上述定理统称为圆幂定理。例1、如图1,正方形ABCD得边长为1,以BC为直径。在正方形内作半圆O,过A作半圆切线,切点为F,交CD于E,求DE:AE得值。 图1例2、O中得两条弦AB与CD相交于E,若AE6cm,BE2cm,CD7cm,求CE。 图2例3、已知PA就是圆得切线,PCB就是圆得割线,则_。例4、如图3,P就是O外一点,PC切O于点C,PAB就是O得割线,交O于A、B两点,如果PA:PB1:4,PC12cm,O得半径为10cm,则圆心O到AB得距离就是_cm。图3例5、如图4,AB为O得直径,过B点作O得切线BC,OC交O于点E,AE得延长线交BC于点D,求证:(1);(2)若ABBC2厘米,求CE、CD得长。 图4例6、如图5,AB为O得直径,弦CDAB,AE切O于A,交CD得延长线于E。求证:图5例7、如图6,PA、PC切O于A、C,PDB为割线。求证:ADBCCDAB图6例8、如图7,在直角三角形ABC中,A90,以AB边为直径作O,交斜边BC于点D,过D点作O得切线交AC于E。求证:BC2OE。 图7例9、如图8,在正方形ABCD中,AB1,就是以点B为圆心,AB长为半径得圆得一段弧。点E就是边AD上得任意一点(点E与点A、D不重合),过E作所在圆得切线,交边DC于点F,G为切点。 当DEF45时,求证:点G为线段EF得中点; 图8【模拟试题】(答题时间:40分钟)一、选择题 1、已知:PA、PB切O于点A、B,连结AB,若AB8,弦AB得弦心距3,则PA( ) A、20/3 B、25/3 C、 5 D、 8 2、下列图形一定有内切圆得就是( ) A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、梯形 3、已知:如图1直线MN与O相切于C,AB为直径,CAB40,则MCA得度数( )图1 A、 50 B、 40 C、 60 D、 55 4、圆内两弦相交,一弦长8cm且被交点平分,另一弦被交点分为1:4,则另一弦长为( ) A、 8cm B、 10cm C、 12cm D、 16cm 5、在ABC中,D就是BC边上得点,AD=cm,BD3cm,DC4cm,如果E就是AD得延长线与ABC得外接圆得交点,那么DE长等于( ) A、 cm B、 cm C、 cm D、 cm 6、 PT切O于T,CT为直径,D为OC上一点,直线PD交O于B与A,B在线段PD上,若CD2,AD3,BD4,则PB等于( ) A、 20 B、 10 C、 5 D、 二、填空题 7、 AB、CD就是O切线,ABCD,EF就是O得切线,它与AB、CD分别交于E、F,则EOF_度。 8、已知:O与不在O上得一点P,过P得直线交O于A、B两点,若PAPB24,OP5,则O得半径长为_。 9、若PA为O得切线,A为切点,PBC割线交O于B、C,若BC20,PA=,则PC得长为_。 10、正ABC内接于O,M、N分别为AB、AC中点,延长MN交O于点D,连结BD交AC于P,则=_。三、解答题 11、如图2,ABC中,AC2cm,周长为8cm,F、K、N就是ABC与内切圆得切点,DE切O于点M,且DEAC,求DE得长。图212、如图3,已知P为O得直径AB延长线上一点,PC切O于C,CDAB于D,求证:CB平分DCP。图3 13、如图4,已知AD为O得直径,AB就是O得切线,过B得割线BMN交AD得延长线于C,且BMMNNC,若AB=cm,求O得半径。图4