7第七讲-FIR数字滤波器的设计方法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第七讲,FIR,数字滤波器的设计方法,IIR,数字滤波器：,可以利用模拟滤波器设计,但相位非线性,FIR,数字滤波器：,可以严格线性相位，又可任意幅度特性,因果稳定系统,可用,FFT,计算,但阶次比,IIR,滤波器要高得多,学习目标,掌握线性相位,FIR,数字滤波器的特点,掌握窗函数设计法,理解频率抽样设计法,了解设计,FIR,滤波器的最优化方法,理解,IIR,与,FIR,数字滤波器的比较,一、线性相位,FIR,滤波器的特点,FIR,滤波器的单位冲激响应：,系统函数,：,在有限,z,平面有,N,1,个零点,在,z,=0,处是,N,1,阶极点,h,(,n,),为实序列时，其频率响应：,1、线性相位条件,即群延时 是常数,第二类线性相位：,第一类线性相位：,线性相位是指,是,的线性函数,第一类线性相位：,第一类线性相位 的充要条件,：,n,=(,N,1)/2,为,h,(,n,),的偶对称中心,第二类线性相位 的充要条件：,n,=(,N,1)/2,为,h,(,n,),的奇对称中心,2、线性相位,FIR,滤波器频率响应的特点,系统函数：,由,频率响应：,1）,h,(,n,),偶对称,为第一类线性相位,相位函数：,频率响应：,2）,h,(,n,),奇对称,相位函数：,为第二类线性相位,3、幅度函数的特点,1）,h,(,n,),偶对称，,N,为奇数,幅度函数：,其中：,其中：,2）,h,(,n,),偶对称，,N,为偶数,幅度函数：,其中：,其中：,故不能设计成高通、带阻滤波器,3）,h,(,n,),奇对称，,N,为奇数,幅度函数：,其中：,其中：,4）,h,(,n,),奇对称，,N,为偶数,幅度函数：,其中：,其中：,h,(,n,),为奇对称时，有90,0,相移，适用于微分器和90,0,移相器，而选频滤波器采用,h,(,n,),为偶对称时,4、零点位置,得：,由,1）若,z,=,z,i,是,H,(,z,),的零点，则,z,=,z,i,-1,也是零点,2）,h,(,n,),为实数，则零点共轭成对,线性相位滤波器的零点是互为倒数的共轭对,即共轭成对且镜像成对,1）,零点：,2），即零点在单位圆上,零点：,3），即零点在实轴上,零点：,4）,即零点既在实轴上，又在单位圆上,零点：,二、窗函数设计法,1、设计方法,w,(,n,)：,窗函数序列,要选择合适的形状和长度,以低通滤波器为例讨论：,线性相位理想低通滤波器的频率响应：,其理想单位抽样响应：,中心点为,的偶对称无限长非因果序列,取矩形窗：,则,FIR,滤波器的单位抽样响应：,按第一类线性相位条件，得,加窗处理后对频率响应的影响：,时域乘积相当于频域卷积,而矩形窗的频率响应：,理想滤波器的频率响应：,其幅度函数：,则,FIR,滤波器的频率响应：,幅度函数：,加窗函数的影响：,不连续点处边沿加宽形成过渡带，其宽度（两肩峰之间的宽度）等于窗函数频率响应的主瓣宽度。,在 处出现肩峰值，两侧形成起伏振,荡，振荡的幅度和多少取决于旁瓣的幅度和多少,改变,N,只能改变窗谱的主瓣宽度，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例。其相对比例由窗函数形状决定，称为,Gibbs,效应,2、各种窗函数,窗函数的要求：,窗谱主瓣尽可能窄以获得较陡的过渡带,尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度,以减小肩峰和波纹,矩形窗,主瓣宽度最窄：,旁瓣幅度大,窗谱：,幅度函数：,三角形（,Bartlett）,窗,主瓣宽度宽：,旁瓣幅度较小,窗谱：,幅度函数：,汉宁（,Hanning）,窗,（升余弦窗）,主瓣宽度宽：,旁瓣幅度小,幅度函数：,海明（,Hamming）,窗,（改进的升余弦窗）,主瓣宽度宽：,旁瓣幅度更小,幅度函数：,布莱克曼（,Blackman）,窗,（二阶升余弦窗）,主瓣宽度最宽：,旁瓣幅度最小,幅度函数：,凯泽（,Kaiser）,窗,：第一类变形零阶,贝塞尔函数,窗函数,窗谱性能指标,加窗后滤波器性能指标,旁瓣峰值,/,dB,主瓣宽度,过渡带宽,阻带最小衰减,/,dB,矩形窗,三角形窗,汉宁窗,海明窗,布拉克曼窗,凯泽窗,-13,-25,-31,-41,-57,-57,2,4,4,4,6,0.9,2.1,3.1,3.3,5.5,5,-21,-25,-44,-53,-74,-80,阻带最小衰减只由窗形状决定,过渡带宽则与窗形状和窗宽,N,都有关,3、窗函数法的设计步骤,给定理想的频率响应函数,及技术指标,求出理想的单位抽样响应,根据阻带衰减选择窗函数,计算频率响应 ，验算指标是否满足要求,根据过渡带宽度确定,N,值,求所设计的,FIR,滤波器的单位抽样响应,公式法：,IFFT,法：,计算其,IFFT，,得：,对,M,点等间隔抽样：,4、线性相位,FIR,低通滤波器的设计,解,：,1）求数字频率,例：设计一个线性相位,FIR,低通滤波器，,给定抽样频率为,，,通带截止频率为,，,阻带起始频率为 ，,阻带衰减不小于-50,dB,，,幅度特性如图所示,2）求,h,d,(,n,),4）确定,N,值,3）选择窗函数：由 确定海明窗（-53,dB）,5）确定,FIR,滤波器的,h,(,n,),6）求 ，验证,若不满足，则改变,N,或窗形状重新设计,5、线性相位,FIR,高通滤波器的设计,其单位抽样响应：,理想高通的频响：,6、线性相位,FIR,带通滤波器的设计,其单位抽样响应：,理想带通的频响：,7、线性相位,FIR,带阻滤波器的设计,其单位抽样响应：,理想带阻的频响：,三、频率抽样设计法,1、设计方法,对理想频率响应等间隔抽样,作为实际,FIR,数字滤波器的频率特性的抽样值,窗函数设计法：,内插公式：,抽样点上，频率响应严格相等,抽样点之间，加权内插函数的延伸叠加,变化越平缓，内插越接近理想值，逼近误差较小,1、线性相位的约束,1）,h,(,n,),偶对称，,N,为奇数,幅度偶对称：,相位函数：,2）,h,(,n,),偶对称，,N,为偶数,幅度奇对称：,相位函数：,2、频率抽样的两种方法,1）第一种频率抽样,系统函数：,频率响应：,2）第二种频率抽样,系统函数：,频率响应：,3、线性相位第一种频率抽样,h,(,n,),为实数序列时，,H,(,k,),圆周共轭对称,又线性相位：,即：,对称中心：,当,N,为奇数时：,当,N,为偶数时：,当,N,为奇数时：,当,N,为偶数时：,频率响应：,当,N,为奇数时：,当,N,为偶数时：,4、线性相位第二种频率抽样,h,(,n,),为实数序列时，,H,(,k,),圆周共轭对称,又线性相位：,即：,对称中心：,当,N,为奇数时：,当,N,为偶数时：,当,N,为奇数时：,当,N,为偶数时：,频率响应：,当,N,为奇数时：,当,N,为偶数时：,增加过渡带抽样点，可加大阻带衰减,5、过渡带抽样的优化设计,不加过渡抽样点：,加一点：,加两点：,加三点：,增加过渡带抽样点，可加大阻带衰减，但导致过渡带变宽,增加,N,，,使抽样点变密，减小过渡带宽度，但增加了计算量,优点：频域直接设计,缺点：抽样频率只能是 或 的整数倍，截止频率 不能任意取值,例：利用频率抽样法设计一个频率特性为矩形的理想低通滤波器，截止频率为0.5,，,抽样点数为,N,=33，,要求滤波器具有线性相位。,解：,按第一种频率抽样方式，,N=33，,得抽样点,得线性相位,FIR,滤波器的频率响应：,过渡带宽：,阻带衰减：-20,dB,增加一点过渡带抽样点,令,H,(9)=0.5,过渡带宽：,阻带衰减：-40,dB,增加两点过渡带抽样点,且增加抽样点数为,N,=65,令,H,(17)=0.5886,H,(18)=0.1065,过渡带宽：,阻带衰减：-60,dB,四、设计,FIR,滤波器的最优化方法,1、均方误差最小准则,频率响应误差：,实际频响,理想频响,均方误差,：,当,时,即,相当于矩形窗,矩形窗设计结果必满足最小均方误差准则,2、最大误差最小化准则,（,加权chebyshev等波纹逼近,）,当,为偶/奇对称，,N,为奇/偶数的四种情况,其频响,为偶对称时,N,为奇数：,N,为偶数：,N,为奇数：,利用三角恒等式将 表示成两项相乘形式,为奇对称时,N,为偶数：,N,为奇数,N,为偶数,1,N,为奇数,奇对称,N,为偶数,偶对称,其中：,由下而上由 求,加权,chebyshev,等波纹逼近：,求一组系数 使各频带上,的最大绝对值最小,加权逼近误差函数：,逼近函数,加权函数,A,各,通带和阻带,交错定理：,若 是,r,个余弦函数的线性组合。即,A,是 内的一个闭区间(包括各通带、阻带，但不包括过渡带)，是,A,上的一个连续函数,则 是 的唯一地和最佳的加权,chebyshev,逼近的充分必要条件是：,加权逼近误差函数 在,A,中至少有 个极值点，即,A,中至少有 个点 ，且,使得,且,设要求滤波器频率响应：,寻找一个,使其在通带和阻带内最佳地一致逼近,参数：,，,N,若,最佳一致逼近,则,在通、阻带内具等波纹性,故又称等波纹逼近,根据交错定理：,最大极值点数,的极值点数,单有极点,根据,知,的极值点数为：,偶对称,N,为奇数,N,为偶数,奇对称,N,为奇数,N,为偶数,单有的极值点是除,外的频带端点处,如低通有2个，带通有4个,极值点数目,最优线性相位,FIR,滤波器的设计步骤,6）用,Remez,算法，求逼近问解的解,7）计算滤波器的单位抽样响应,2）根据类型和,的长度,N,，,确定,的个数,r,4）计算各格点频率上的,和,函数值,1）输入数据，滤波器性能要求，滤波器类型,加权逼近误差：,将,，,表示成,，,5,）用公式表示逼近问题,3）在,频率区间，用密集的格点表示离散频率,设误差函数值为,，,则,Remez算法,1）按等间隔,设,定,个极值点频率的初始值,其中,：,，,未知数：,和,，,但求解困难,可求,2）用解析法求,其中：,3）求,值,其中：,利用重心形式的拉格朗日内插公式得,4）求,5）判断是否所有频率上皆有,若是，结束计算,若否，,作为新的一组交错点组频率，返回步骤2）,重新计算,值,，,误差曲线每个格点频率上,(,r,+1),个极值点频率处 ，且,正负交错。,为最佳逼近，,误差曲线的,个局部极值频率点,求,前后两次迭代的,值相等，,终止条件：,即收敛于其上限,、,已知,N,、,，求最佳,，通、阻带加权误差相同,若,、,已知，则可规定加权函数,则经,Remez,解法迭代得,若,、,已知，则固定,，改变,值，重复迭代,使,、,满足要求,加权函数及其它参数的确定：,计算滤波器的单位抽样响应,由,求,的,L,点,IDFT,即得,对,频域抽样得,P,(,k,)，,L,点,时不混叠）,（,偶对称，,N,为奇数,时,如,由,可求得,h,(,n,),偶对称，,N,为,偶,数,时,如,五、,IIR,和,FIR,数字滤波器的比较,IIR,滤波器,FIR,滤波器,h,(,n,),无限长,h,(,n,),有限长,极点位于,z,平面任意位置,滤波器阶次低,非线性相位,递归结构,不能用,FFT,计算,可用模拟滤波器设计,用于设计规格化的选频滤波器,极点固定在原点,滤波器阶次高得多,可严格的线性相位,一般采用非递归结构,可用,FFT,计算,设计借助于计算机,可设计各种幅频特性和相频特性的滤波器,