zxy概率第三章.ppt

华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,概率论,主讲教师：,周晓阳,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,第三章 数字特征,1,、,数字特征的概率意义,2,、数字特征的计算（,6,8,公式）,3,、性质及其应用,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,第三章 数字特征（期望、方差、计算问题）,X,-,随机变量,，,描述：分布,f,（,x,）,数字,:,非随机,特征,:,描述对象特点,例：,100,人，每人发,1000,元。,每人手上现有价值几何？,1000,元？,还是随机变量,X?,设不能实现价值的可能性,为,0.01,X,|1000 0.99,p,|0 0.01,每人拥有的平均价值为,EX=(100099,01)/100,990,元,（数）,保险公司收取保险金：,10,元,100,人,1000,元,赔付,1000,元,(,不亏也不赚）,12100=1200,元，赚,200,元,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,E,X,=(100099,01)/100,10000.99,00.01,=,x,1,p,1,+,x,2,p,2,（概率对取值打折，求和，概率平均）,数学期望：大量重复才有意义,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,W,X,EX,D,(,X,)=E(,X,E,X,),2,X,到,EX,的,“平均平方距离”,方差,D,(,X,),额定长度,m,=3.5,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,X,到均值,EX,的平均平方距离,与,X,同量级，,同单位,先算期望，才能算方差,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,具体选择哪个公式：视问题而定,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,定理,4.1,设,g,(,x,),为连续函数，则,对离散型,X,对连续型,X,定理,4.2,设,g,(,x,y,),连续，则,对离散型（,X,Y,）,随机变量函数的数学期望（数字特征的计算）,对连续型（,X,Y,）,信息的关系,（审题要注意）,X EX,X,2,EX,2,X,2,DX=,E(X-,EX),2,函数关系要注意,X Y EXY,(X-EX)(Y-EY),E(X-EX)(Y-EY),=,cov(X,Y,),华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,计算问题（,1,）：数学期望与方差的计算,常用分布的期望和方差,利用边缘信息,利用联合信息,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,（两点分布）设,XB,(1,p,),，求,E,(,X,),、,D,(,X,),二项分布,依据同样思路,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,泊松分布,设,XP,(,),，求,E,(,X,),，,DX,幂级数求和问题,思路与二项分布类似,化为已知幂级数,（变形、求导、求积分）,略讲,几何分布的期望（见例,4.3,）,例,4.12,运用了相同方法,复习时请体会一般方法,（自己看书）,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,均匀分布,直截了当的计算，,考的频率较高,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,指数分布：,XE,(,),求,EX,，,D(X,),可用的公式,1,可用的公式,2,平均寿命,方差,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,正态分布,关于,m,对称,以,m,为中心下变换,奇函数积分为,0,学会提炼方法，看例,4.9,，,体会掌握底层方法的重要性,有问题请反馈,注意公式的扩充,复习时,思考一下有哪些公式,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,设进货量为,a,，,则利润额为,例,6,设需求量,X,U10,30,，,正常,销售获利,500,元,/,单位；削价处理亏损,100,元,/,单位；调剂销售获利,300,元,/,单位，求最少进货量，使所获利润的期望值不少于,9280,元。,解：,计算问题（,2,）：随机变量函数的数学期望计算,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,例,7,设,(,X,Y,),在区域,A,上服从均匀分布，其中,A,是由直线,x,=0,，,y,=0,和 围成的三角形区域。求,E,(,X,),、,E,(,Y,),、,E,(,X,+,Y,),、,E,(,XY,),。,解,x,1,0,2,y,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,数学期望和方差的性质,性质及应用,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,数学期望有下面基本性质,:,1,对任何,a,，,b,R,，,有,E,(,aX,)=,aE,(,X,),；,E,(b,)=b,2,E,(,X,+,Y,)=,E,(,X,)+,E,(,Y,)。,一般,3,X,与,Y,独立,4Cauchy-Schwarz,不等式：,证明,且等式成立,存在,t,0,使,1,，,2,是重要的运算性质，作用对象为随机变量,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,方差的基本性质,1,2,3,（退化分布）,?,当,X,1,与,X,2,独立时,=0,X,1,与,X,2,独立,运算性质重要，,D(X+b,）,=D(X),D(X,1,+X,2,)=D(X,1,)+D(X,2,)+2cov(X,1,+X,2,),华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,例,设,XB,(,n,，,p,),求,D,(,X,),。,设,XB,(1,，,p,),，,i=1,2,n,，,相互独立，则,解,故,例（标准化）设,X,有期望和方差存在，,求,EY,和,DY。,解,=0,=1,标准化,分解法求期望和方差,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,1,0,W,X,m,m+e,m-e,分布未知时,可用于非精确估计,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,协方差和相关系数,一、协方差,协方差的基本性质,1,2,3,与量纲有关,对两个变量均具有线性,双线性性,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,二、相关系数,与量纲无关,定理,3,且,存在,a,b,R,，使,P,(,Y,=,aX,+,b,)=1,证明,等号成立,r,=0,|r|=,1,X,，,Y,线性相关,X,，,Y,独立,EXY-EXEY,=0,不相关,|,r,|,大，线性相关程度高,负相关,正相关,完全相关,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,定理,1,下面等式等价,（,1,）,Cov,(,X,Y,)=0,；,（,2,）,E,(,XY,)=,E,(,X,),E,(,Y,),；,（,3,）,D,(,X+Y,),=D,(,X,),+D,(,Y,).,证：,由,和,即得,定理,2,X,与,Y,相互独立，则,X,与,Y,不相关，但反之不然。,证：,由期望、方差的性质及定理,1,即得,（,0,）,X,Y,不相关,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,例,2,设,，求,解,说明,对正态分布，,X,与,Y,独立,X,与,Y,不相关,1,u,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,EX,EX,2,DX=E(X-EX),2,Cov(X,Y,)=E(X-EX)(Y-EY),=EXY-EXEY,知道概念，会计算,自己看书大致了解,条件期望，协方差矩阵（略）,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,典型和扩展例题,数字特征,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,求分布，再求数字特征,例：,从一大批产品中逐个随机抽取检查，一旦发现废品就认为该批产品不合格而停止检查，若抽查到第,n,0,件仍未发现废品,就认为该批产品合格而停止检查。,设产品的废品率为,p,，,问平均要检查多少件产品？,解,设,X,为所检查产品的件数，取值,k=,1,2,n,0,第,k,次首次发现废品,n,0,次均为查到废品，自动停止,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,弄清取值，勿入歧途,数字特征计算,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,X=X,1,+X,2,+X,3,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,综合考虑，选择解题思路（有简不用繁）,计算思路的选择，决定了问题是否顺利求解,正态变量（不变性）,性质运用要纯熟,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,性质及应用,按独立性分离,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,示性函数,EX=1P(X=1)=P(A),EXY=1 1P(X=1,Y=1)=P(AB),华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,a=(0.4+a)(a+b),0.5+a+b=1(,规范性,),=,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,回归分析，最小二乘法,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,性质的综合运用,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,变量关联的数字特征,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,性质,3.3.1,协方差矩阵是半正定矩阵,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,二元正态分布矩阵表示,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,性质,M,数学期望（向量）,S,协方差矩阵,于是密度参数的意义为,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,处理多元正态分布技术,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,E,x,i,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,要求，会证明（考试候选题）,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,要求，会证明（考试候选题）,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,x=linspace(-30,30,500);p=(1+x.2).-1/pi;plot(x,p,.-),华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,实验使概念易于理解；,同时掌握应用方法；,是学习的有效手段之一。,条件密度的概念从这里易于理解,条件均值和方差也是一样,3,s,原则可用来制定评判标准,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,两类不同群体的体重分离（,zxyProb05main.m,）,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,理解意义，仔细讨论,2,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,习题选讲,练习,10.5,设,X,与,Y,独立，都服从,N(0,1),，以,f,(,x,y,),表示,(,X,Y,),的联合密度函数，证明：函数,解,是二维概率密度函数，若随机变量,(,U,V,),有密度函数,g,(,x,y,),，,证明：,U,V,都服从,N,(0,1),，,但,(,U,V,),不服从二维正态分布。,当,时，,0,同理,但,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,习题选讲,练习,9.1,设二维随机变量,(,X,Y,),的联合密度函数为：,解,求,(,X,Y,),的联合分布,函数,。,1,0,x,y,1,y,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,习题选讲,练习,10.5,设,X,与,Y,独立，都服从,N(0,1),，以,f,(,x,y,),表示,(,X,Y,),的联合密度函数，证明：函数,解,是二维概率密度函数，若随机变量,(,U,V,),有密度函数,g,(,x,y,),，,证明：,U,V,都服从,N,(0,1),，,但,(,U,V,),不服从二维正态分布。,当,时，,0,同理,但,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,习题选讲,练习,11.4,设二维随机变量,(,X,Y,),的联合密度函数为：,解,求随机变量,Z,=,X,+,Y,的,密度函数,f,(,z,),。,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,习题选讲,练习,10.5,设,X,与,Y,独立，都服从,N(0,1),，以,f,(,x,y,),表示,(,X,Y,),的联合密度函数，证明：函数,解,是二维概率密度函数，若随机变量,(,U,V,),有密度函数,g,(,x,y,),，,证明：,U,V,都服从,N,(0,1),，,但,(,U,V,),不服从二维正态分布。,当,时，,0,同理,但,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,主要内容归纳（,1,）,数学期望和方差的定义和计算（,4,公式）,Eg(X),Eg(X,Y,),的计算（,4,公式）,计算原则：信息利用，有简不用繁,常用分布的期望和方差（要求熟记,）,理论扩展：一般期望公式，,R-S,积分,其它分布期望和方差,华中科技大学数学与统计学院,周晓阳,教授,