【恒心】高考数学-平面向量的数量积突破复习.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,平面向量的数量积,走进高考第一关 基础关,教 材 回 归,1,.,向量的夹角,(1),已知两个,_,向量,a,和,b,作,=a,=b,则,AOB=,叫做向量,a,与,b,的夹角,.(2),向量夹角,的范围是,_,a,与,b,同向时,夹角,=,_,;a,与,b,反向时,夹角,=,_,.(3),如果向量,a,与,b,的夹角是,_,我们说,a,与,b,垂直,记作,_,.,非零,0,0,90,ab,2,.,向量的投影,_,(,_,),叫做向量,a,在,b,方向上,(b,在,a,方向上,),投影,.3,.,平面向量数量积的定义,ab,=,_,(,是向量,a,与,b,的夹角,),规定,:,零向量与任一向量的数量积为,_,.,|,a|cos,|,b|cos,|,a|b|cos,0,4,.,向量数量积的性质设,a,b,都是非零向量,e,是与,b,方向相同的单位向量,是,a,与,e,的夹角,则,(1)ea=,_,=,_,.(2)ab,=,_,.(3),当,a,与,b,同向时,ab,=,_,;特别地,aa,=,_,或,|a|=,_,.,a,e,|,a|cos,a,b=0,|,a|b,|,|a|,2,(4)cos=,_,.(5)|ab|,_,|a|b|.5,.,向量数量积的运算律,(1)ab=,_,.(,交换律,)(2)(a)b=,_,=,_,.(,数乘结合律,)(3)(a+b)c=,_,.(,分配律,)6,.,平面向量数量积的坐标表示,(1),若,a=(x,1,y,1,),b=(x,2,y,2,),则,ab,=,_,.(2),若,a=(x,1,y,1,),b=(x,2,y,2,),是,a,与,b,的夹角,则,cos,=.,b,a,(a,b),a,(,b,),a,c+b,c,(3),若向量,a,的起点坐标和终点坐标分别为,(x,1,y,1,),(x,2,y,2,),则,|a|=,_,这就是平面内两点间的距离公式,.(4),设,a=(x,1,y,1,),b=(x,2,yy,2,),则,ab,_,_,.,a,b=0,x,1,x,2,+y,1,y,2,=0,考 点 陪 练,1,.,设,abc,是任意向量,mR,则下列等式不一定成立的是,()A,.,(,a+b)+c,=,a+(b+c,)B,.,(,a+b)c,=,ac+bc,C,.,m(a+b,)=,ma+mb,D,.,(,ab,)c=,a(b+c,),答案,:D,2,.,P,是,ABC,所在平面上一点,若,=,则,P,是,ABC,的,()A,.,外心,B,.,内心,C,.,重心,D,.,垂心,答案,:D,3,.,已知,a,5b,均为单位向量,它们的夹角为,60,那么,|a+3b|,等于,(),答案,:C,4,.,非零向量,=a,=b,若点,B,关于 所在直线的对称点为,B,1,则向量 为,(),答案,:A,5,.,(2010,福建福州质检,)(,基础题,易,),直角坐标系,xOy,中,=(2,1),=(3,k),若三角形,ABC,是直角三角形,则,k,的可能值的个数是,()A,.,1 B,.,2C,.,3 D,.,4,答案,:B,解析,:-=(-1,1-k),(1)=0k=-6,(2)=0k=-1,(3)=0k2-k+3=0,由,0,得无解,.,解读高考第二关 热点关,类型一,:,数量积的性质及运算,解题准备,:1.|,a|b|cos,叫做向量,a,和,b,的数量积,(,或内积,),记作,ab,即,ab,=|,a|b|cos,.2.,设,a=(a,1,a,2,),b=(b,1,b,2,),则,ab,=a,1,b,1,+a,2,b,2,.,3.,向量的数量积是历年高考命题的热点,涉及到本知识点时,主要考查平面向量数量积的运算、化简、证明问题,.,(,1,),设,abc,是任意的非零向量,且互不共线,.,给出以下命题,:(,ab)c-(c,a)b,=0;|a|-|b|a-,b|;(bc)a-(c,a)b,不与,c,垂直,;(3a+2b)(3a-2b)=9|a|,2,-4|b|,2,.,其中是真命题的是,_,.,类型二,:,利用数量积解决长度,垂直问题,解题准备,:,常用的公式与结论有,:|a|,2,=a,2,=a a,或,|a|=;|ab|=;,若,a=(,x,y,),则,|a|=.,其中两个公式应用广泛,需重点把握,.,abab,=0(a,b,均为非零向量,);,设,a=(x,1,y,1,),b=(x,2,y,2,),则,abx,1,x,2,+y,1,y,2,=0.,解析,对于只有当向量,b,c,的方向相同时,二者才相等所以错,;,考虑式对应的几何意义,由三角形两边之差小于第三边知正确,;,由,c)a-(ca)bc,=0,知,(,bc)a-(ca)b,与,c,垂直,故错,;,向量的乘法运算符合多项式乘法法则,所以正确,.,所以正确命题的序号是,.,分析,利用,|a|=,及,abab,=0,即可解决问题,.,典例,2,已知,|a|=4,|b|=8,a,与,b,的夹角是,120.(1),计算,|a+b|,|4a-2b|;(2),当,k,为何值时,(a+2b)(ka-b)?,解,由已知,ab,=48(-)=-16.(1)|a+b|,2,=a,2,+2ab+b,2,=16+2(-16)+64=48,|,a+b,|=4 .|4a-2b|,2,=16a,2,-16ab+4b,2,=1616-16(-16)+464=316,2,.|4a-2b|=16 .(2),若,(a+2b)(ka-b),则,(a+2b)(ka-b)=0,ka,2,+(2k-1)ab-2b,2,=0.16k-16(2k-1)-264=0,k=-7.,评析,(1),利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用,要掌握此类问题的处理方法,:|a|,2,=a,2,=,aa,;|ab|,2,=a,2,2ab+b,2,;,若,a=(,x,y,),则,|a|=.(2),非零向量,ab,ab,=0,是非常重要的性质,它对于解决平面几何图形中有关垂直问题十分有效,应熟练掌握,若,a=(x,1,y,1,),b=(x,2,y,2,),则,ab,x,1,x,2,+y,1,y,2,=0.,类型三,:,利用数量积解决夹角问题,解题准备,:1,.,涉及到与夹角有关的问题,往往利用向量的夹角公式解决,这也是平面向量数量积的一个重要考点,.2,.,cos,=;,设,a=(a,1,a,2,),b=(b,1,b,2,),则,cos,=.3,.,在应用上述公式求夹角时,要考虑夹角的取值范围,.,典例,3,已知,ab,都是非零向量,且,|a|=|b|=|a-b|.,求,a,与,a+b,的夹角,.,分析,由公式,cos,=,可知,求两个向量的夹角关键是求数量积及模的积,.,本题中,|a|=|b|=|a-b|,的充分利用是求数量积的关键,考虑怎样对条件进行转化,.,评析,(1),求两个向量的夹角,需求得,a,b,及,|,a|,|b,|,或得出它们的关系,注意夹角的取值范围是,0,0,180,0,.,正确理解公式是关键,.(2),向量有两种表示形式,即坐标法和几何法,解题时要灵活选择,.,本题通过比较两种方法发现,利用向量的几何形式解答此类题目显得更加简捷和直观,.,笑对高考第三关 成熟关,名 师 纠 错,误区,:,向量的模与数量积的关系不清致误,典例已知向量,a,b,满足,|a|=|b|=1,且,|a-kb|=|ka+b|,其中,k0.(1),试用,k,表示,ab,并求出,ab,的最大值及此时,a,与,b,的夹角,的值,;(2),当,ab,取得最大值时,求实数,使,|,a+b,|,的值最小,并对这一结果作出几何解释,.,剖析,本题可以通过对已知条件两端平方解决,容易出现的问题是对向量模与数量的关系不清导致错误,如认为,|a-kb|=|a|-|kb|,或,|a-kb|,2,=|a|,2,-2k|a|b|+k,2,|b|,2,等都会得出错误的结果,.,第二个易错之处就是在得到,ab,=-,后,忽视了,k0,的限制条件,求错最值,.,评析,向量的模与数量积,.,向量的模与数量积之间有关系式,|a|,2,=a,2,=,aa,这是一个简单而重要但又容易用错的地方,由这个关系还可以得到如,|ab|,2,=|a|,2,2ab+|b|,2,|a+b+c|=|a|,2,+|b|,2,+|c|,2,+2ab+2bc+2ca,等公式,是用向量的数量积解决向量模的重要关系式,.,在解决与向量模有关的问题时要仔细辨别题目的已知条件,用好向量的模与数量积之间的关系,.,变式,:,设非零向量,a,b,的夹角为,60,是否存在满足条件的向量,a,b,使得,|,a+b,|=2|a-b|?,无论是否存在都请说明理由,.,解,:,假设存在向量,a,b,满足,|,a+b,|=2|a-b|,则,|a+b|,2,=4|a-b|,2,即,|a|,2,+2ab+|b|,2,=4(|a|,2,-2ab+|b|,2,),3|a|,2,-10ab+3|b|,2,=0,由于,ab,=|a|b|cos60=|,a|b,|,故,3|a|,2,-5|a|b|+3|b|,2,=0,|b|0,3(),2,-5 +3=0,注意到 为实数,对于上述以 为未知数的方程,=(-5)2-433=-110,上述方程无实数解,故满足,|,a+b,|=2|a-b|,的向量,a,b,不存在,.,解 题 策 略,1.,注意类比平行垂直关系的联系与区别,对于两个非零向量,a=(x,1,y,1,),b=(x,2,y,2,),有,(1)abab=0 x,1,x,2,+y,1,y,2,=0;(2)abab=|a|b|x,1,y,2,-x,2,y,1,=0.,2,.,向量的长度,距离和夹角公式已知,a=(a,1,a,2,),则,|a|=,即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根,.,如果,A(x,1,y,1,),B(x,2,y,2,),则,|=.,事实上这就是解析几何中两点间的距离公式,.,已知,a=(a,1,a,2,),b=(b,1,b,2,),则两个向量的夹角为,cos,=.,用坐标表示向量,利用向量的数量积可以解决有关垂直的问题,还可以求向量的长度,夹角,从而可以发现向量与解析几何,三角函数有密切的联系,.,快 速 解 题,典例求向量,c,使它与向量,a=(,-1),和,b=(1,),的夹角相等,且,|c|=.,解题切入点,设,c=(,x,y,),由题意,cos,=,cos,解下去便可,分析思维过程,本题思路清楚,设出向量,c=(,x,y,),使,c,与,a,夹角的余弦等于,c,与,b,夹角的余弦即可,.,又由,|c|=,联立两方程,解之即得,.,快解,如图,由题设知,以,a,b,为边的三角形为等腰直角三角形,直角边长为,2,斜边,AB,长为,2 ,斜边上的中线,OC,长恰 为,.,且,OC,平分直角,AOB,点,C,为,AB,的中点,由中点坐标公式得,c=(,),且,-c,也满足题意或,c=(-,-).,方法与技巧,详解是求向量的夹角,求模,属最基本的知识运用,.,而快解却准确地抓住了题设条件,只运用中点坐标公式就可以获解了,.,普通情况下,解题技巧运用的并不多,主要是发现题目的特点,.,得分主要部分,夹角公式的运用,由题设得两个方程,解方程组,.,易丢分原因,详解中,解方程时,分母有理化不出错就不会丢分,.,而快解却很容易丢分,图中,OC,很明显,但,-,从图中反映不出来,做题时应十分注意,.,教 师 备 选,定比分点公式的应用,定比分点坐标公式关键是分清起点,终点,分点,要记准公式形式,.,典例,(,青岛联考,),已知,A(3,-4),B(-9,2),若点,P,满足,=-,求点,P,的坐标,.,分析,这是利用线段定比分点分式,求点的坐标的基本题目,.,由于,AB,哪个点都可以做分点,所以就有不同的做法,.,由,=-,知 和 共线,.,评析,(1),前两种解法都是利用线段定比分点坐标公式,.,在使用此公式时,一定要分清始点,分点,终点,注意,=,这始,分,终顺序一旦确定,其相应的,值也就确定了,.,解法,1,是始,(A),分,(P),终,(B),P,是外分点,0,计算时比解法,1,好,尤其解法,2,中的,=3,是正整数,前两种解法以解法,2,较好,.(2),点,B,点,P,点,A,可任选一个为起点,(,当然选择时以最有利于解题为准,),选好起点,终点,定比分点后,要确定好,并由内,(,外,),分点判断,的正,(,负,),号,.,(3),解法,3,并没有用定比分点公式,而是直接根据已知条件,=-,由“向量相等则其坐标相等”,经过坐标的计算而求得,P,的坐标,解法并不比用公式繁琐,而且紧扣向量的坐标运算法则,.,课时作业二十六 平面向量的数量积,一,选择题,1,.,(,能力题,中,),已知,在,ABC,中,若,2,=+,则,ABC,是,()A,.,等边三角形,B,.,锐角三角形,C,.,直角三角形,D,.,钝角三角形,答案,:C,2,.,(2010,高邮模拟,)(,能力题,中,),已知向量,=(2,1),=(1,7),=(5,1),设,M,是直线,OP,上的一点,(O,为坐标原点,),那么,的最小值是,()A,.,-16 B,.,-8C,.,0 D,.,4,解析,:=(2,),=(1-2,7-),=(5-2,1-),=5(-2)2-8-8,故选,B.,答案,:B,3,.,(,能力题,中,),已知向量,ae,|e,|=1,满足,:,对任意,tR,恒有,|a-,te|a-e,|,则,()A,.,ae,B,.,a(a-e,)C,.,e(a-e,)D,.,(,a+e)(a-e,),答案,:D,4,.,(,能力题,中,),在,O,点测量到远处有一物体在做匀速直线运动,开始时该物体位于,P,点,一分钟后,其位置在,Q,点,且,POQ=90,再过两分钟后,该物体位于,R,点,且,QOR=60,则,tan,2,OPQ,的值等于,()A,.,B,.,C,.,D,.,以上均不正确,答案,:C,解析,:,以,O,为原点,OP,为,x,轴,OQ,为,y,轴建立直角坐标系,设,P(m,0),Q(0,n),则有,=2 ,得,R(-2m,3n),由,QOR=60,得,cosQOR,=,得,27n,2,=4m,2,即,tan,2,OPQ=.,故选,C.,答案,:B,6,.,(2010,济南模拟,)(,能力题,中,),在,ABC,中,=3,ABC,的面积,S ,则 与 夹角的取值范围是,(),答案：,B,二,填空题,7.(2010,济钢模拟,)(,基础题,易,),已知,|a|=2,|b|=,a,与,b,的夹角为,45,要使,b,-a,与,a,垂直,则,=,_,.,2,解析,:,由,b,-a,与,a,垂直,(,b-a)a,=ab-a,2,=0,所以,=2.,8,.,(,经典题,中,),在,ABC,中,O,为中线,AM,上的一个动点,若,AM=2,则,(+),的最小值是,_,.,-2,解析,:,令,|=x,且,0 x2,则,|=2-x.,(+)=2 =-2(2-x)x=2,(x,2,-2x)=2(x-1),2,-2-2.,(+),最小值为,-2.,9,.,(,能力题,中,),已知,a,b,c,为,ABC,的三个内角,A,B,C,的对边,向量,m=(,-1),n=(,cosA,sinA,).,若,mn,且,acosB,=,bcosA,=,csinC,则角,B=,_,.,解析,:,mn,=,cosA,-,sinA,=0,tanA=,A=.,又由正弦定理和,acosB,=,bcosA,=c,sinC,可知,sinAcosB+cosA,sinB,=sin2C,即,sin(A+B,)=,sinC,=sin2C,sinC,=1,或,sinC,=0(,舍,).C=,B=.,三,解答题,10.(,易错题,中,),已知,|a|=,|b|=1,a,与,b,的夹角为,45,求使向量,(2a+b),与,(a-3b),的夹角是锐角的,的取值范围,.,故使向量,2a+b,和,a-3b,夹角为,0,的,不存在,.,所以当,2,或,-3,时,向量,(2a+b),与,(a-3b),的夹角是锐角,.,评析,:,由于两个非零向量,a,b,的夹角,满足,0180,所以用,cos,=,去判断,分五种情况,:,cos,=1,=0;,cos,=0,=90;cos=-1,=180;cos0,且,cos1,为锐角,.,11,.,(2010,东营一模,)(,经典题,中,),已知,a=(,1),b=,且存在实数,k,和,t,使得,x=a+(t,2,-3)b,y=-,ka+tb,且,xy,试求 的最小值,.,由,xy,知,a+(t,2,-3)b(-ka+tb)=0,即,-ka,2,+(t,3,-3t)b,2,+(t-t,2,k+3k)ab=0,-k2,2,+(t,3,-3t)1,2,+(t-t,2,k+3k)0=0,12,.,(,综合题,中,),已知,a=(,cos,sin ),b=(,cos,-sin ),且,0,.(1),求 的最值,;(2),若,|,ka+b,|=|a-,kb|(kR,),求,k,的取值范围,.,分析,:,应用向量数量积的运算转化成关于,为变量的函数,可求出第,(1),问,第,(2),问通过模的关系,建立,与,k,的关系式,通过三角函数的有界性求,k,的范围,.,