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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二面角,二面角,一个,平面,内的一条,直线,把这个,平面,分成两个部分,，,其中的每一部分都叫做,半平面,。,一条,直线,上的一个,点,把这条,直线,分成两个部分,，,其中的每一部分都叫做,射线,。,二面角,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做,二面角,。,这条直线叫做,二面角的棱,。,这两个半平面叫做,二面角的面,。,二面角,一、二面角的定义,l,A,B,二面角,AB,l,二面角,l,二面角,C,AB,D,A,B,C,D,O,B,A,AOB,A,B,C,E,F,D,二面角,二、二面角的表示,二面角,C,AB,E,从一点出发的两条射线所组成的图形叫做,角,。,定义,构成,边,点,边,（顶点）,表示法,AOB,角,二面角,B,A,O,边,边,顶点,A,B,面,面,棱,a,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做,二面角,。,面,直线,面,（棱）,二面角,l,或二面角,AB,图形,l,O,O,1,A,B,A,1,B,1,A O B,A,1,O,1,B,1,？,以二面角的,棱,上任意一点为端点，在,两个面内,分别作,垂直,于棱的两条射线，这两条射线所成的,角,叫做,二面角的平面角。,平面角是,直角,的二面角叫做,直二面角,二面角的大小用它的平面角来度量,二面角,三、二面角的平面角,二面角,注意：,二面角的平面角必须满足：,3,）角的边都要垂直于二面角的棱,1,）角的顶点在棱上,2,）角的两边分别在两个面内,以二面角的,棱上任意一点,为端点，,在两个面内,分别作,垂直于棱,的两条射线，这两条射线所成的,角,叫做,二面角的平面角。,四、作二面角的平面角的常用方法,、点,P,在棱上,、点,P,在一个半平面上,、点,P,在二面角内,p,A,B,A,B,p,A,B,O,p,定义法,三垂线定理法,垂面法,二面角,练习：,指出下列各图中的二面角的平面角：,A,A,B,C,C,D,D,B,二面角,B-BC-A,O,E,O,O,B,A,C,D,二面角,A-BC-D,A,D,B,C,l,二面角,-l-,AC,l,BD,l,D,二面角,如图，,AB,是圆的直径，,PA,垂直圆所在的平面，,C,是圆上任一点，则二面角,P-BC-A,的平面角为,:,A.,ABP,B.,ACP,C.,都不是,练 习,A,B,C,P,二面角,A,O,l,D,例,1,、已知锐二面角,l,，,A,为面,内一点，,A,到 的距离为,2,，到,l,的距离为,4,，,求,二面角,l,的大小。,解,：,过,A,作,AO,于,O,，,过,O,作,OD,l,于,D,，连,AD,则由三垂线定理得,AD,l,AO,=2 ，,AD,=4,AO,为,A,到,的距离,，,AD,为,A,到,l,的距离,ADO,就是二面角,l,的平面角,s,in,ADO,=,ADO,=60,二面角,l,的大小为,60,在,Rt,ADO,中，,AO,AD,五、二面角大小的计算：,1,、,找到或作出二面角的平面角,2,、,证明所作出的角就是所求的二面角的平面角,3,、,计算出此角的大小,一,“,作,”,二,“,证,”,三,“,计算,”,二面角,O,A,B,C,D,作业回顾,Sin()=sin()sin(),线面角,二面角,线棱角,例,2,P,为二面角,内一点，,PA,PB,且,PA=5,，,PB=8,，,AB=7,，,求这二面角的度数。,过,PA,、,PB,的平面,PAB,与,棱,l,交于,O,点,PA,PA,l,PB,PB,l,l,平面,PAB,AOB,为二面角,l,的平面角,又,PA=5,，,PB=8,，,AB=7,由余弦定理得,P=60 AOB=120,这二面角的度数为,120,解：,A,B,P,O,例,3.,已知正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,，,M,、,N,是棱,B,1,C,1,、,C,1,D,1,之中点，求平面,MNDB,与平面,B,1,BCC,1,所成二面角 的大小,。,分析：,当两个,半平面的图形的面积较容易计算，或二面角没有现成的棱时，可采用,射影面积法,，以避免繁杂的添线与计算。,因此分别计算,S,BDNM,和,S,BCC1M,的面积，再用公式,例,4,如图，,正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,为,AA,1,的中点，求二面角,D,1,-DE-B,的大小。,例,4.,已知,A,、,B,是,120,的二面角,l,棱,l,上的两点,，,线段,AC,，,BD,分别在面,，,内,，,且,AC,l,，,BD,l,，,AC,=,2,，,BD,=,1,，,AB,=,3,，,求线段,CD,的长。,A,D,B,C,l,O,OAC,120,AO=,BD,=1,AC,=,2,四边形,ABDO,为矩形,DO=A,B,=3,1.,已知,Rt,ABC,在平面,内，斜边,AB,在,30,的二面角,-AB-,的棱,上，若,AC=5,，,BC=12,，,求点,C,到平面,的距离,CO,。,A,C,B,O,D,2.,在平面四边形,ABCD,中，,AB=BC=2,，,AD=CD=,B=120,；,将三角形,ABC,沿四边形,ABCD,的对角线,AC,折起来，使,DB=,，,求,ABC,所在平面与,ADC,所在平面所成二面角的平面角的度数。,A,B,C,B,D,O,二,、,二面角的平面角,一,、,二面角的定义,从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,1,、定义,2,、求二面角的平面角方法,点,P,在棱上,点,P,在一个半平面上,点,P,在二面角内,A,B,P,小,结,二面角,二面角,A,B,p,p,A,B,p,A,B,O,定义法,三垂线定理法,垂面法,二面角,A,B,C,D,A,为二面角,CD,的棱,CD,上一点，,AB,在平面,内且与棱,CD,成,45,角，又,AB,与平面,成,30,，求二面角,CD,的大小。,作,业,二面角,二面角,二面角,二 面 角,一、二面角的定义：,二、二面角的表示方法：,三、,二面角的平面角,：,四、二面角的平面角的作法：,五、二面角的计算：,二 面 角,AB,二 面 角,C,AB,D,二 面 角,l,1,、根据定义作出来,2,、利用直线和平面垂,直作出来,3,、借助三垂线定理或,其逆定理作出来,1,、找到或作出二面角的平面角,2,、证明,1,中的角就是所求的 角,3,、计算所求的角,一,“,作,”,二,“,证,”,三,“,计算,”,从一条直线出发的两个半,平面所组成的图形叫做,二,面角,。这条直线叫做,二面,角的棱,。这两个半平面叫,做,二面角的面,。,22,1,、二面角的平面角,必须满足三个条件,2,、二面角的平面角,的大小与 其顶点,在棱上的位置无关,3,、二面角的大小用,它的平面角的大,小来度量,
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