二三重积分习题课.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二三重积分习题课,习题二重积分计算,一 的解题程序,（1）画出积分域D的草图。,（2）选择坐标系，主要根据积分或D的形状，有时也参看被积函数的形式，见表11-1。,表11-1,（3）,选择积分次序,选序的原则：,先积分的容易,，,并能为后积分创造条件；,对积分域D的划分，块数越少越好。,（4）,确定累次积分的上下限，作定积分运算,。,定限口诀：,后积先定限,(累次积分中后积变量的上下限均为常数),限内划条线，,(该直线/坐标轴且同向.),先交下限写,(上下限或者为常数或者后积分变量的函数),后交上限见,。,直角坐标系中积分限的确定，参看图11-2(a)、(b).,直线,l,/,y,轴它先与D的边界曲线,y,=,1,(,x,),相交,1,(,x,)取做下限,后成D的边界曲线,y,=,2,(,x,),相交,2,(,x,)取作上限,故,与以上作类似分析，可得,注：一般讲，后积分的变量，积分上下限均为常数；先积分的变量,，积分上下限或者为常数或者是后积分变量的函数。,图11-2(b),图11-2(a),直角坐标系中积分限参看图11-2(a)、(b).,解（a）显然是错的，因为后积分的上、下限不能含有变量；（b）也是错的，因为先积分的上、下限或者为常数或者后积分变量的函数，而（b）违背了；（c）,也是错的，原因是改变积分次序不会改变积分域，由排除法可知（d）该入选。,【例1】设 ，则改变其,积分次序后为,。,二 极坐标系中积分限的确定,一般而言，极坐标系中二重积分的积分次序是“先,后”。,即,积分限随极点0与积分域D,的边界曲线的相对位置而定。,当极点,0,在域,D,的,边界曲线之外时,图11-3(a),2.当极点0在域D的边界线上时,图11-3(b),3.当极点0在积分域D的边界线之内时,图11-3(c),3.当极点0在积分域D的边界线之内时,图11-3(c),三 典型例题分析,（1）由所给累次积分的上下限写出表示积分域D的不等式组；,（2）依据不等式组画出积分域D的草图；,（3）写出新的累次积分，积分限的确定与前面所讲的相同。,三 典型例题分析,1,.更换积分次序,解题程序,【例2】更换下列积分次序：,解 （1）由积分的上下限知,由D,1,D,2,作出D的图形，见图11-4。,于是,故,图11-4,分别写出右边两个积分所确定的不等式组,由D,1,D,2,作出D的图形见图11-5，于是,图11-5,解 极坐标系中的二重积分，若先对,后对进行积分，则应注,意如下两点：,（1）积分域D的边界曲线均用极坐标表示；,（2）若以原点0为圆心的一系列同心圆与域D的边界曲线中的,不同曲线相交，则应在交点处把,的区间分开处理。,【例11.6】更换下列积分次序：,作图,见图11-8。,图11-8,图11-9,等等，一定要将其放在后面积分。,凡遇如下形式积分：,2.选择积分次序,解（1）不能用有限形式表示出其结果，它不能,先积分，故,图11-10,X,=0,X,=y,D是以(0,0),(1,1),(0,1)为,【例3】计算下列二重积分：,顶点的三角形。,D是由直线,y,=,x,及抛物线,y,=,x,2,所围成的区域。,（2）因为 不能用有限形式,表示出其结果，所以它不能先积分，故,图11-11,【例4】计算,解 不能用有限形式表示出其结果,先要写出右边两积分的积分域,所对应的不等式组,图11-12,X,=y,X,=,不能先计算,为了改变积分次序,3.坐标系的选择,【例6】设有一曲顶柱体，以,双曲抛物面,z,=,xy,为顶，以,xoy,坐标面为底，柱面,x,2,+,y,2,=1外、,柱面,x,2,+,y,2,=2,x,内为侧，,试求这个柱体的体积。,解 由题设可知曲顶柱体在,xoy,平面上的投影，即积分域D如 图11-14所示，,图11-14,由D的形状可知用极坐标计算曲顶柱 体的 体积更简单。,曲线L,1,：,=2cos，,L,2,：=1，联立解得，,图11-14,【例7】求由下列曲面所围成的体积:,z,=,x,+,y,z,=,xy,x,+,y,=1,x,=0,y,=0.,解 显然，由以上曲面所围的空间形体,在,x,0,y,坐标上的投影是由,x,+,y,=1,及,x,y,轴,所围成的三角形，如图11-16。,因而,图11-16,所求体积,5.杂例,【例9】计算下列积分：,解,三、对称性算法,利用对称性计算二重积分：,同理可得：,对称性算法举例,例10,-1,1,2,D,1,D,1,D,2,D,3,D,4,对称性算法举例,例11,D,D,1,思考：,-1,-1,1,1,11.3 二重积分的证题技巧,一 有关等式的证明,1.概念型命题的证明,凡欲证结论：,f,(,x,y,)=0的命题，多数用反证法。,【例13】设,f,(,x,y,)是平面域D上的连续函数，且在D的任何,一个子域,上，恒有 ，则在D内,证 用反证法 设有一点,不妨设,由,f,(,x,y,)的连续性，可知,一个 的领域,使得在其中,f,(,x,y,)0，于是，由积分中值定理，,必,积，又因,与假设矛盾，即知在D内有,f,(,x,y,),2.累次积分型的命题的证明,证题思路：,证题过程中，常用到重积分对积分域的可加性，对积分变量的,无关性。,【例14】设,f,(,x,)在0,a,(,a,0)上连续，试证：,证,图11-22,4.二重积分的变量替换,设被积函数,f,(,x,y,)在区域D上连续，若变换,x,=,x,(,u,v),y,=,y,(,u,v,),满足如下条件：,（1）将,uov,平面上的区域D,*,上的点一对一地变为D上的点；,（2）,x,(,u,v,),y,(,u,v,),在D,*,上有连续的一偏导数，且雅可比行列式,注：(1)作什么变换主要取决于积分域D的形状，有时也,兼顾被积函数,f,(,x,y,)的形式，基本想法是定限简便，求积容易。,(2),J,的性质,【例15】计算 ，其中D是由曲线,在第1象限中所围成的区域。,解 是一个四次方程，要解出,x,(或,y,)相当难，因此,不宜在直角坐标系中计算，为此，令,则曲线方程变为：,又因所研究的是曲线在第一象限中围成的区域，于是,因而,则有,【例16】计算,所围区域。,图11-18,图11-19,解 令,，则域D变为D,*,其中,习题课,重积分,(三重),本习题课,重点,复习并掌握在不同坐标系下化三重积分为三次积分的定限方法。,问题1,1.直角坐标,先,z,次,y,后,x,先,y,次,x,后,z,先,x,次,y,后,z,先,x,次,z,后,y,2.柱面坐标,先,z,次,r,后,3.球面坐标,先,次,后,请自作草图！,问题2,1.直角坐标,先,z,次,y,后,x,先,y,次,x,后,z,先,x,次,y,后,z,先,x,次,z,后,y,2.柱面坐标,先,z,次,r,后,3.球面坐标,先,次,后,问题3,1.用柱面坐标时，,f,与,应满足：,2.用球面坐标时，,f,与,应满足：,z,y,a,x,a,a/2,h,o,练习题1,D,xy,x,z,y,a,x,a,a/2,h,o,D,xz,x,z,y,a,x,a,a/2,h,o,D,yz,D,yz,(1),D,yz,(2),y,2,y,1,a/2,z,y,o,x,x,=1,y,=,x,z,=,xy,1,练习题2,问题1,问题3,问题2,问题4,问题5,问题6,双曲抛物面(鞍面),D,xy,见右图,先,z,次,y,后,x,略！,练习题3,问题1,问题3,问题2,问题4,(1)柱坐标；(2)直角坐标的先二后一,(1)柱坐标：,(2)直角坐标的先二后一：,略！,1,o,z,y,x,D,xy,-1,1,1,r,入,出,z,1,o,z,y,x,z,2,z,1,z,1,z,2,略！,2,o,z,y,x,练习题4,问题1,问题3,问题2,问题4,用柱坐标和先2后1,问：,I=,？,o,z,r,2,2,o,z,y,x,z,D,z,显然，先2后1较难,练习题5,问题1,问题3,问题2,问题4,球坐标,略！,z,y,x,a,o,练习题6,问题1,问题4,问题3,问题5,问题2,略！,球坐标,a,D,xy,-a,a,a,入点,出点,此题还可以用先2后1法来做。,z,y,x,o,1/2,练习题7,问题1,问题3,问题2,问题4,球坐标,(草图如下),略！,1/2,D,xy,-1/2,1/2,1/2,入点,出点,练习题8,问题1,问题3,问题2,问题4,问题5,略！,直角坐标系,练习题9,问题1,问题3,问题2,问题4,球坐标；柱坐标；直角坐标先2后1,o,z,y,x,R,/2,R,R,-R,R,z,略！,o,z,y,x,R,/2,R,Dz,1,z,1,Dz,2,z,2,返回主页（RETURN）,本习题课结束,