高中数学第三章导数应用3.2.2最大值最小值问题讲义北师大版选修.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.2.2,最大值、最小值问题,求极值的步骤：,1.,求导数 ；,2.,解方程 ；,3.,对于方程 的每一个解 ，分析,在 左右两侧的符号，确定极值点：在 两侧若,的符号,（,1,）“,左正右负,”，则 为,极大值,点；,（,2,）“,左负右正,”，则 为,极小值,点；,（,3,）相同，则 不是极值点；,复习回顾,极值是函数的局部性质，而不是在整个定义域内,的性质，即：如果 是 的极大,(,小,),值点，那,么在 附近找不到比 更大,(,小,),的值,。,但是，解决实际问题或研究函数性质时，我们往,往更关心在某个区间上，函数的哪个值最大，哪个值,最小。,若 是 在 上的最大,(,小,),值点，则,不小,(,大,),于 在此区间上的所有函数值。,由图知，最大,(,小,),值在极大,(,小,),值点或区间的端,点处取得。,x,y,o,a,b,x,y,o,a,(,b,),概括,思考：如何求函数的最大,(,小,),值？,问题：,对于函数的最值概念的学习，你认为,有哪些方面是值得注意的？,例,1,求函数 在区间 上的,最值。,最值是在极值点或者区间的端点取得的，所以,要想求最值，应首先求出函数的极值点，然后将所有的极大,(,小,),值与端点的函数值进行比较，其中最大,(,小,),的值即为函数的最大,(,小,),值。,分析：,+,0,0,+,-,解：,求导得,令 ，得,5,-,11,极大值,极小值,x,y,o,-2,通过比较可知：,函数 在区间 上的,最大值是,f,(2)=5,；最小值是,f,(-2)=-11,；,列表可知，是函数的极大值点，是,极小值点，计算极值和端点的函数值得,总结,若 是 在 上的最大,(,小,),值点，则,不小,(,大,),于 在此区间上的所有函数值。,函数的最大,(,小,),值：,求最值的步骤：,（,1,）求,f,(,x,),在,(,a,，,b,),内的极值；,（,2,）将,f,(,x,),的各极值与,f,(,a,),，,f,(,b,),进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。,1.,求函数 在区间,-1,，,2,上的最值。,2.,已知函数 ，,（,1,）求,f,(,x,),单调,减区间；,（,2,）若,f,(,x,),在,-2,，,2,上的最大值是,20,，求它在该,区间上的最小值。,动手做一做,例,2,边长为,48,cm,的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的正方形，然后折起，可做成无盖的长方体容器，其容积,V,是关于截去的小正方形的边长,x,的函数。,（,1,）随,x,的变化，容积,V,如何变化？,（,2,）截去的小正方形边长为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？,分析：,解决实际应用问题，首先要分析并列出函数关,系，要注意根据实际意义写出定义域。求函数值的,变化情况即单调性，求导判断导数符号即可，求最,值就是求导、解方程求出极值点，最后通过比较函,数值写出最值。,解：,求导得,，,令 ，得,+,0,极大值,-,v,o,24,8192,x,8,分析可知，,x,=8,是极大值点，极大值为,V=f,(,x,),在 上递增，在 上递减。,由表知：,（,2,）由函数的单调性和图像可知，,x,=8,时最大,值点，,此时,V=f,(8),=,即当截去小正方形边长为,8,cm,时，得到最大容,积为 。,日常生活中，人们常常会遇到这样的一些问题，,在一定条件下，怎样使得“用料最省”“利润最大”“成本最低”“选址最优”等等。这类问题一般都可以利用导数的知识得到解决。,概括总结,练习,3.,设一容积,V,一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶，,已知单位面积铝合金的价格是铁的,3,倍，,问如何设,计使得总造价最小？,提示：,设圆柱高,h,，底半径,r,，单位面积铁的造价,为,m,，桶总造价为,y,，则,时总造价最小。,动手做一做,（,1,）函数的最值是一个整体性概念，最大值必须,是整个区间上所有函数值中的最大者，最小值必须,是整个区间上所有函数值中的最小者。,（,2,）函数的最大值和最小值是比较整个定义区间,的所有函数值得到的；极大值和极小值是比较极值,点附近的函数值得出的。,极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只,能在区间内取得，最值可以在端点取得。,注意：,概括总结,返回,小结,若 是 在 上的最大,(,小,),值点，则,不小,(,大,),于 在此区间上的所有函数值。,函数的最大,(,小,),值：,求最值的步骤：,（,1,）求,f,(,x,),在,(,a,，,b,),内的极值；,（,2,）将,f,(,x,),的各极值与,f,(,a,),，,f,(,b,),进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。,谢谢大家！,