资源描述
,2.2,函数的单调性与最值,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.,函数的单调性,(1),单调函数的定义,知识梳理,增函数,减函数,定义,一般地，设函数,y,f,(,x,),的定义域为,A,，区间,I,A,.,如果对于区间,I,内的任意两个值,x,1,，,x,2,当,x,1,x,2,时，都有,，那么就说函数,f,(,x,),在区间,I,上是单调增函数,当,x,1,x,2,时，都有,，那么就说函数,f,(,x,),在区间,I,上是单调减函数,f,(,x,1,),f,(,x,2,),图象描述,自左向右看图象是,_,自左向右看图象是,_,上升的,下降的,(2),单调区间的定义,如果函数,y,f,(,x,),在区间,I,上是,或,，那么就说函数,y,f,(,x,),在区间,I,上具有单调性，区间,I,叫做,y,f,(,x,),的单调区间,.,单调增函数,单调减函数,2.,函数的最值,前提,设函数,y,f,(,x,),的定义域为,A,，如果存在,x,0,A,，使得,条件,对于任意的,x,A,，都有,_,对于任意的,x,A,，都有,_,结论,f,(,x,0,),为最大值,f,(,x,0,),为最小值,f,(,x,),f,(,x,0,),f,(,x,),f,(,x,0,),知识拓展,函数单调性的常用结论,(3),在区间,D,上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数,.,(4),函数,f,(,g,(,x,),的单调性与函数,y,f,(,u,),和,u,g,(,x,),的单调性的关系是,“,同增异减,”,.,思考辨析,判断下列结论是否正确,(,请在括号中打,“,”,或,“”,),(1),若定义在,R,上的函数,f,(,x,),，有,f,(,1),f,(3),，则函数,f,(,x,),在,R,上为增函数,.,(,),(2),函数,y,f,(,x,),在,1,，,),上是增函数，则函数的单调递增区间是,1,，,).,(,),(3),函数,y,的单调递减区间是,(,，,0),(0,，,).(,),(4),所有的单调函数都有最值,.(,),(5),如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数,.(,),(6),闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到,.(,),考点自测,1.(,教材改编,),下列函数中，在区间,(0,，,2),上为增函数的是,_.(,填序号,),y,；,y,2,x,1,；,y,1,x,；,y,(2,x,1),2,.,y,在,(0,，,2),上为减函数；,y,2,x,1,在,(0,，,2),上为增函数；,y,1,x,在,(0,，,2),上为减函数；,y,(2,x,1),2,在,(,，,),上为减函数，在,(,，,),上为增函数,.,答案,解析,2.(,教材改编,),函数,y,的单调增区间为,_,；单调减区间,为,_.,当,x,0,时，,y,x,为增函数；,当,x,0),的单调增区间为,_.,函数的对称轴为,x,1,，,又,x,0,，,所以函数,f,(,x,),的单调增区间为,(0,，,).,答案,解析,(0,，,),几何画板展示,5.(,教材改编,),已知函数,f,(,x,),，,x,2,，,6,，则,f,(,x,),的最大值为,_,，,最小值为,_.,答案,解析,2,题型分类深度剖析,题型一确定函数的单调性,(,区间,),命题点,1,给出具体解析式的函数的单调性,例,1,(1)(2016,连云港模拟,),函数,f,(,x,),(,x,2,4),的单调递增区间是,_.,因为,y,t,，,t,0,在定义域上是减函数，,所以求原函数的单调递增区间，,即求函数,t,x,2,4,的单调递减区间，,结合函数的定义域，可知所求区间为,(,，,2).,答案,解析,(,，,2),(2),y,x,2,2|,x,|,3,的单调增区间为,_.,由题意知，当,x,0,时，,y,x,2,2,x,3,(,x,1),2,4,；,当,x,0),，用定义法判断函数,f,(,x,),在,(,1,，,1),上的,单调性,.,解答,设,1,x,1,x,2,1,，,1,x,1,x,2,0,，,f,(,x,1,),f,(,x,2,)0,，,函数,f,(,x,),在,(,1,，,1),上为减函数,.,几何画板展示,引申探究,如何用导数法求解例,2,？,解答,a,0,，,f,(,x,)0,，,f,(,x,),在,(0,，,),上单调递增,.,题型二函数的最值,例,3,(1),函数,f,(,x,),的最大值为,_.,当,x,1,时，函数,f,(,x,),为减函数，,所以,f,(,x,),在,x,1,处取得最大值，为,f,(1),1,；,当,x,0,恒成立，试求实数,a,的取值范围,.,f,(,x,),x,2,，,x,1,，,).,(),当,a,0,时，,f,(,x,),在,1,，,),内为增函数,.,最小值为,f,(1),a,3.,要使,f,(,x,)0,在,x,1,，,),上恒成立，只需,a,30,，所以,3,a,0.,(,),当,00,，,a,3,，所以,01),的最小值为,_.,答案,解析,8,方法一,(,基本不等式法,),令,f,(,x,),0,，得,x,4,或,x,2(,舍去,).,当,1,x,4,时，,f,(,x,)4,时，,f,(,x,)0,，,f,(,x,),在,(4,，,),上是递增的，,所以,f,(,x,),在,x,4,处取到极小值也是最小值，,即,f,(,x,),min,f,(4),8.,题型三函数单调性的应用,命题点,1,比较大小,例,4,已知函数,f,(,x,),的图象向左平移,1,个单位后关于,y,轴对称，当,x,2,x,1,1,时，,f,(,x,2,),f,(,x,1,),(,x,2,x,1,),a,c,命题点,2,解函数不等式,例,5,(2017,苏州,月考,),定义在,R,上的奇函数,y,f,(,x,),在,(0,，,),上递增，且,f,(),0,，则,满足,0,的,x,的集合为,_.,答案,解析,命题点,3,求参数范围,例,6,(1),如果函数,f,(,x,),ax,2,2,x,3,在区间,(,，,4),上是单调递增的，则实,数,a,的取值范围是,_.,当,a,0,时，,f,(,x,),2,x,3,，在定义域,R,上是单调递增的，,故在,(,，,4),上单调递增；,当,a,0,时，二次函数,f,(,x,),的对称轴为,x,，,因为,f,(,x,),在,(,，,4),上单调递增，,答案,解析,几何画板展示,答案,解析,由已知条件得,f,(,x,),为增函数，,几何画板展示,函数单调性应用问题的常见类型及解题策略,(1),比较大小,.,比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决,.,(2),解不等式,.,在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将,“,f,”,符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解,.,此时应特别注意函数的定义域,.,思维升华,(3),利用单调性求参数,.,视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；,需注意若函数在区间,a,，,b,上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；,分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值,.,跟踪训练,3,(1)(2016,徐州模拟,),已知函数,f,(,x,),x,(e,x,),，若,f,(,x,1,),x,2,；,x,1,x,2,0,；,x,1,0,时，,f,(,x,)0,，,f,(,x,),在,0,，,),上为增函数，,由,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，得,f,(|,x,1,|),f,(|,x,2,|),，,|,x,1,|,x,2,|,，,(2)(2016,宿迁模拟,),要使函数,y,与,y,log,3,(,x,2),在,(3,，,),上具有相,同的单调性，则实数,k,的取值范围是,_.,由于,y,log,3,(,x,2),的定义域为,(2,，,),，且为增函数，,故函数,y,log,3,(,x,2),在,(3,，,),上是增函数,.,因其在,(3,，,),上是增函数，故,4,k,0,，得,k,0,时，恒有,f,(,x,)1.,(1),求证：,f,(,x,),在,R,上是增函数；,(2),若,f,(3),4,，解不等式,f,(,a,2,a,5)2.,(1),对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义,.,应该构造出,f,(,x,2,),f,(,x,1,),并与,0,比较大小,.,(2),将函数不等式中的抽象函数符号,“,f,”,运用单调性,“,去掉,”,是本题的切入点,.,要构造出,f,(,M,),f,(,N,),的形式,.,思维点拨,解抽象函数不等式,答题模板系列,1,规范解答,答题模板,(1),证明,设,x,1,，,x,2,R,且,x,1,0,，,当,x,0,时，,f,(,x,)1,，,f,(,x,2,x,1,)1.,3,分,f,(,x,2,),f,(,x,2,x,1,),x,1,f,(,x,2,x,1,),f,(,x,1,),1,，,5,分,f,(,x,2,),f,(,x,1,),f,(,x,2,x,1,),10,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，,f,(,x,),在,R,上为增函数,.,7,分,(2),解,m,，,n,R,，不妨设,m,n,1,，,f,(1,1),f,(1),f,(1),1,f,(2),2,f,(1),1,，,9,分,f,(3),4,f,(2,1),4,f,(2),f,(1),1,4,3,f,(1),2,4,，,f,(1),2,，,f,(,a,2,a,5)2,f,(1),，,11,分,f,(,x,),在,R,上为增函数，,a,2,a,51,3,a,2,，,即,a,(,3,，,2).,14,分,返回,解函数不等式问题的一般步骤,第一步：,(,定性,),确定函数,f,(,x,),在给定区间上的单调性；,第二步：,(,转化,),将函数不等式转化为,f,(,M,),f,(,N,),的形式；,第三步：,(,去,f,),运用函数的单调性,“,去掉,”,函数的抽象符号,“,f,”,，转化成一般的不等式或不等式组；,第四步：,(,求解,),解不等式或不等式组确定解集；,第五步：,(,反思,),反思回顾,.,查看关键点，易错点及解题规范,.,返回,课时作业,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1.(2016,南京模拟,),下列函数中，在区间,(1,，,),上是增函数的是,_.,y,x,1,；,y,；,y,(,x,1),2,；,y,3,1,x,.,中，函数在,(1,，,),上为减函数，,中，函数在,(1,，,),上为减函数，,中，函数在,(1,，,),上为减函数,.,答案,解析,2.,函数,f,(,x,),|,x,2|,x,的单调减区间是,_.,当,x,2,时，,f,(,x,),为增函数，,当,x,2,时，,(,，,1,是函数,f,(,x,),的增区间；,1,，,2,是函数,f,(,x,),的减区间,.,答案,解析,1,，,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,3.,定义新运算,：当,a,b,时，,a,b,a,；当,a,b,时，,a,b,b,2,，则函数,f,(,x,),(1,x,),x,(2,x,),，,x,2,，,2,的最大值等于,_.,由已知得，当,2,x,1,时，,f,(,x,),x,2,，,当,1,x,2,时，,f,(,x,),x,3,2.,f,(,x,),x,2,，,f,(,x,),x,3,2,在定义域内都为增函数，,f,(,x,),的最大值为,f,(2),2,3,2,6.,答案,解析,6,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,4.,已知,f,(,x,),是,R,上的单调递增函数，则实数,a,的取值,范围是,_.,答案,解析,4,，,8),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,*5.,函数,f,(,x,),的定义域为,D,，若对于任意,x,1,，,x,2,D,，当,x,1,0,且,a,1,0,，,a,1.,答案,解析,1,，,),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,7.,函数,f,(,x,),x,log,2,(,x,2),在区间,1,，,1,上的最大值为,_.,由于,y,x,在,R,上递减，,y,log,2,(,x,2),在,1,，,1,上递增，,所以,f,(,x,),在,1,，,1,上单调递减，,故,f,(,x,),在,1,，,1,上的最大值为,f,(,1),3.,答案,解析,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,8.(2017,江苏天一中学月考,),对,a,，,b,R,，记,max,a,，,b,函数,f,(,x,),max|,x,1|,，,|,x,2|(,x,R,),的最小值是,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,9.,若函数,f,(,x,),|2,x,a,|,的单调递增区间是,3,，,),，则,a,_.,答案,解析,6,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,*10.,已知,f,(,x,),不等式,f,(,x,a,),f,(2,a,x,),在,a,，,a,1,上,恒成立，则实数,a,的取值范围是,_.,(,，,2),答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,二次函数,y,1,x,2,4,x,3,的对称轴是,x,2,，,该函数在,(,，,0,上单调递减，,x,2,4,x,3,3,，,同样可知函数,y,2,x,2,2,x,3,在,(0,，,),上单调递减，,x,2,2,x,3,f,(2,a,x,),得到,x,a,2,a,x,，,即,2,x,a,，,2,x,a,在,a,，,a,1,上恒成立，,2(,a,1),a,，,a,2,不符，而,t,1,时满足题意,.,答案,解析,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,13.,函数,f,(,x,),4,x,2,4,ax,a,2,2,a,2,在区间,0,，,2,上有最小值,3,，求,a,的值,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,f,(,x,),min,f,(0),a,2,2,a,2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,f,(,x,),min,f,(2),a,2,10,a,18.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,14.(2016,江苏南通中学质检,),已知函数,f,(,x,),(,x,1),2,2|,x,1|,3.,(1),试求函数,f,(,x,),的单调区间，并指出相应的单调性；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,当,x,1,时，,f,(,x,),(,x,1),2,2(,x,1),1,4,(,x,1),1,2,4,x,2,4,，,当,x,0,且,3,a,2,2,a,10,恒成立，,由,(1),知函数,f,(,x,),在,(0,，,),上单调递减，,故由,f,(2,a,2,a,1)3,a,2,2,a,1,，,即,a,2,3,a,0,，解得,0,a,3,，,a,的取值范围为,a,|0,a,3.,解答,(2),若,f,(2,a,2,a,1),f,(3,a,2,2,a,1),恒成立，试求实数,a,的取值范围,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,
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