北京专用高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第五节三角函数的图象与性质.ppt

,总纲目录,教材研读,考点突破,栏目索引,第五节三角函数的图象与性质,总纲目录,教材研读,三个基本三角函数的图象和性质,考点突破,考点二三角函数的奇偶性、周期性及对称性,考点一三角函数的最值（值域）,考点三三角函数的单调性,三个基本三角函数的图象和性质,教材研读,1.函数,y,=cos 2,x,的图象的一条对称轴方程是,(),A.,x,=,B.,x,=,C.,x,=-,D.,x,=-,A,答案,A令2,x,=,k,(,k,Z),得,x,=,(,k,Z),函数,y,=cos 2,x,的图象的对称轴方程为,x,=,(,k,Z),令,k,=1,得,x,=,故选A.,2.已知函数,f,(,x,)=cos(2,x,+,)(,为常数)是奇函数,那么cos,=,(),A.-,B.0,C.,D.1,B,答案,B因为函数,f,(,x,)=cos(2,x,+,)(,为常数)是奇函数,所以,f,(0)=cos,=,0,故选B.,3.已知函数,f,(,x,)=cos,4,x,-sin,4,x,下列结论中错误的是,(),A.,f,(,x,)=cos 2,x,B.函数,f,(,x,)的图象关于直线,x,=0对称,C.,f,(,x,)的最小正周期为,D.,f,(,x,)的值域为-,D,答案,D,f,(,x,)=cos,4,x,-sin,4,x,=cos,2,x,-sin,2,x,=cos 2,x,易知A,B,C项正确,f,(,x,)的,值域是-1,1,故D项错误,选D.,4.函数,y,=sin,图象的对称轴是,x,=,k,k,Z,.,答案,x,=,k,k,Z,解析,y,=sin,=cos,x,根据余弦函数的性质可知,y,=sin,图象的对称轴是,x,=,k,k,Z.,5.(2017北京朝阳期中)函数,f,(,x,)=cos,2,x,-sin,2,x,的单调递减区间为,(,k,Z),.,答案,(,k,Z),解析,f,(,x,)=cos,2,x,-sin,2,x,=cos 2,x,令2,k,2,x,2,k,+,k,Z,得,k,x,k,+,k,Z,可得函数的单调递减区间是,(,k,Z).,考点一三角函数的最值(值域),考点突破,典例1,已知函数,f,(,x,)=(1+,tan,x,)cos,2,x,.,(1)若,是第二象限角,且sin,=,求,f,(,)的值;,(2)求函数,f,(,x,)的定义域和值域.,解析,(1)因为,是第二象限角,且sin,=,所以cos,=-,=-,.,所以tan,=,=-,所以,f,(,)=(1-,),=,.,(2)函数,f,(,x,)的定义域为,.,f,(,x,)=(1+,tan,x,)cos,2,x,=cos,2,x,+,sin,x,cos,x,=,+,sin 2,x,=sin,+,因为,x,R,且,x,k,+,k,Z,所以2,x,+,2,k,+,k,Z,所以-1,sin,1.,所以-,sin,+,.,所以函数,f,(,x,)的值域为,.,方法技巧,1.三角函数定义域的求法,求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函,数线或三角函数的图象来求解.,2.三角函数值域的求法,(1)利用,y,=sin,x,和,y,=cos,x,的值域直接求;,(2)把所给的三角函数式变换成,y,=,A,sin(,x,+,)+,b,(或,y,=,A,cos(,x,+,)+,b,)的,形式求值域;,(3)把sin,x,或cos,x,看作一个整体,将原函数转换成二次函数求值域;,(4)利用sin,x,cos,x,和sin,x,cos,x,的关系将原函数转换成二次函数求值域.,1-1,函数,f,(,x,)=sin,2,x,+,cos,x,-,的最大值是,1,.,解析,由题意可得,f,(,x,)=-cos,2,x,+,cos,x,+,=-,+1.,x,cos,x,0,1.,当cos,x,=,时,f,(,x,),max,=1.,答案,1,1-2,(2018北京海淀期中,15)已知函数,f,(,x,)=2,cos,x,sin,-1.,(1)求,f,的值;,(2)求,f,(,x,)在区间,上的最大值和最小值.,解析,(1),f,=2,cos,sin,-1=2,1-1=1.,(2),f,(,x,)=2,cos,x,sin,-1=2sin,x,cos,x,+2cos,2,x,-1=sin 2,x,+cos 2,x,=,sin .,因为0,x,所以,2,x,+,所以-,sin,1,故-1,sin,.,当2,x,+,=,即,x,=,时,f,(,x,)有最大值,;,当2,x,+,=,即,x,=,时,f,(,x,)有最小值-1.,典例2,已知函数,f,(,x,)=cos,2,x,+,sin,x,cos,x,x,R.,(1)求,f,(,x,)的最小正周期和单调递减区间;,(2)设直线,x,=,m,(,m,R)是函数,y,=,f,(,x,)图象的对称轴,求sin 4,m,的值.,考点二三角函数的奇偶性、周期性及对称性,解析,(1),f,(,x,)=cos,2,x,+,sin,x,cos,x,=,(1+cos 2,x,)+,sin 2,x,=sin,2,x,+,+,.,函数,f,(,x,)的最小正周期为,T,=.,当2,k,+,2,x,+,2,k,+,(,k,Z),即,k,+,x,k,+,(,k,Z)时,函数,f,(,x,)为减函数.,所以函数,f,(,x,)的单调递减区间为,(,k,Z).,(2)因为直线,x,=,m,是函数,y,=,f,(,x,)图象的对称轴,所以2,m,+,=,k,+,(,k,Z),即,m,=,k,+,(,k,Z),则4,m,=2,k,+,(,k,Z).,所以sin 4,m,=sin,=,.,规律总结,(1)若,f,(,x,)=,A,sin(,x,+,)为偶函数,则当,x,=0时,f,(,x,)取得最大或最小值;若,f,(,x,),=,A,sin(,x,+,)为奇函数,则当,x,=0时,f,(,x,)=0.,(2)对于函数,f,(,x,)=,A,sin(,x,+,),其图象的对称轴一定经过图象的最高点或,最低点,对称中心一定是函数的图象与,x,轴的交点,因此在判断直线,x,=,x,0,或点(,x,0,0)是否为函数图象的对称轴或对称中心时,可通过,f,(,x,0,)的值进行,判断.,(3)求三角函数的最小正周期时,一般先通过恒等变形把三角函数化为,“,y,=,A,sin(,x,+,)+,b,”或“,y,=,A,cos(,x,+,)+,b,”或“,y,=,A,tan(,x,+,)+,b,”的,形式,再利用周期公式求得结果.,2-1,(2017北京石景山一模,12)如果将函数,f,(,x,)=sin(3,x,+,)(-,0)的图,象向左平移,个单位,所得到的图象关于原点对称,那么,=,.,答案,-,解析,把函数,f,(,x,)的图象向左平移,个单位,可得函数,g,(,x,)=sin,的图象,当,x,=0时,3,+,=,+,=,k,k,Z,=,k,-,k,Z,又-,0)的最小正周期为,.,(1)求,的值;,(2)求函数,f,(,x,)的单调递减区间.,考点三三角函数的单调性,解析,f,(,x,)=sin,x,(cos,x,-,sin,x,)+,=sin,x,cos,x,-,sin,2,x,+,=,sin 2,x,+,cos 2,x,=sin,.,(1)因为函数,f,(,x,)的最小正周期为,所以,=,解得,=2.,(2)由(1)可得,f,(,x,)=sin,.,令2,k,+,4,x,+,2,k,+,k,Z,得2,k,+,4,x,2,k,+,k,Z,所以,+,x,+,k,Z.,所以函数,f,(,x,)的单调递减区间为,k,Z.,方法技巧,求三角函数单调区间的两种方法,(1)代换法:就是将比较复杂的三角函数解析中含自变量的代数式(如,x,+,)整体当作一个角,u,(或,t,),利用基本三角函数(,y,=sin,x,、,y,=cos,x,、,y,=tan,x,),的单调性列不等式求解.,(2)图象法:画出三角函数的图象,利用图象求它的单调区间.,3-1,函数,f,(,x,)=sin,的单调减区间为,(,k,Z),.,答案,(,k,Z),解析,因为,f,(,x,)=sin,=-sin,所以欲求函数,f,(,x,)的单调减区,间,只需求,y,=sin,的单调增区间.,由2,k,-,2,x,-,2,k,+,k,Z,得,k,-,x,k,+,k,Z.,故所给函数的单调减区间为,(,k,Z).,解析,因为,f,(,x,)=sin,=-sin,所以欲求函数,f,(,x,)的单调减区,间,只需求,y,=sin,的单调增区间.,由2,k,-,2,x,-,2,k,+,k,Z,得,k,-,x,k,+,k,Z.,故所给函数的单调减区间为,(,k,Z).,