任意角的三角函数优秀课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,读书是基础 反思是重点 行动是关键,1.2.1,任意角的三角函数,思考一,二,三,例,1,例,3,四,例,2,例,4,检测,作业,问题提出,1.现在我们是怎样认识角这一数学概念的，包括哪些情形？,（,1,）角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形,.,（,2,）按逆时针方向旋转形成的角为,正角,，按顺时针方向旋转形成的角为,负角,，没有作任何旋转形成的角为,零角,.,（,3,）角的大小是任意的,.,2.,什么叫做,1,弧度的角？度与弧度是怎样换算的？,（,1,）等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做,1,弧度的角,.,3.,与角,终边相同的角的一般表达式是什么？,=,k360,（,kZ,）,（,2,）,180,rad.,4,.,如图，在直角三角形,ABC,中，,sin,，,cos,，,tan,分别叫做角,的正弦、余弦和正切，它们的值分别等于什么？,A,B,C,5.,当角,不是锐角时，我们必须对,sin,，,cos,，,tan,的值进行推广，以适应任意角的需要,.,y,x,思考,1,在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？,o,a,b,r,知识 探究一,如果改变点在终边上的位置，这,三个比值会改变,吗？,M,O,y,x,P(a,b),诱思探究,能否通过,|op|,取特殊值将表达式简化呢？,以原点为圆心,以单位长度为半径的圆叫做单位圆,.,1,、任意角的三角函数第一定义,设,是一个,任意角,，它的终边与单位圆交于点,规定,:,（,1,）叫做 的,正弦,，记作 ，即 ；,（,2,）叫做 的,余弦,，记作 ，即 ；,（,3,）叫做 的,正切,，记作 ，即 。,注意：正弦，余弦，正切都是以,角为自变量,，以,单位圆,上点的,坐标或坐标的比值,为函数值的函数，我们将他们称为,三角函数,.,根据三角函数的定义，确定它们的定义域（弧度制）,思,考,3,三角函数,定义域,R,R,任意角的三角函数的定义过程：,直角三角形中定义锐角三角函数,直角坐标系中定义锐角三角函数,单位圆中定义锐角三角函数,单位圆中定义任意角的三角函数,例,1,：如图已知角,的终边与单位圆的交点是，求角,的正弦、余弦和正切值。,解：根据任意角的三角函数定义：,O,x,y,点评：若已知角,的终边与单位圆的交点坐标，则可直接利用定义求三角函数值。,实例剖析,理论,迁移,例,2,、求 的正弦、余弦和正切值,.,解：在直角坐标系中，作,，易知,的终边与单位圆的交点坐标为,所以,思考：若把角 改为 呢,?,，,C,数形结合法,例,3,已知角 的终边经过点 ，求角 的正弦、余弦和正切值,.,解,:,由已知可得,设角 的终边与单位圆交于 ，,分别过点 、作 轴的垂线 、,于是，,例,3,、已知角 的终边经过点 ，求角 的正弦、余弦和正切值,.,于是,，,法二解：由已知可得：,定义法,返回,设角 是一个任意角，是终边上的任意一点，,点 与原点的距离,那么 叫做 的正弦，即,叫做 的余弦，即,叫做 的正弦，即,任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 在角的终边上的位置无关,.,定义推广：,点评：已知角终边上异于单位圆上一点的坐标，求三角函数值，可根据三角形相似将问题化归到单位圆上，再由定义得解。,2,、任意角的三角函数第二定义：,几个特殊角的三角函数值,角,0,o,30,o,45,o,60,o,90,o,180,o,270,o,360,o,角,的弧度数,sin,cos,tan,变式1、已知角 的终边过点 ，,求 的三个三角函数值.,于是,，,解：由已知可得：,合作 演练,变式,2,：,已知角,的终边经过点,P,(2,a,-3,a),，求角,的正弦、余弦、正切值,三角函数的符号,三角函数在各象限内的符号：,o,x,y,o,x,y,三角函数在各象限内的符号：,o,x,y,三角函数在各象限内的符号：,o,x,y,o,x,y,o,x,y,规律：,“一全正、二正弦、三正切、四余弦”,tan,a,cos,a,sin,a,例,4,求证：当且仅当下列不等式组成立时，,角 为第三象限角,.,反之也对。,证明：,因为式 成立,所以 角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于,y,轴的非正半轴上；,又因为式 成立，所以角 的终边可能位于第一或第三象限,.,因为式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限,.,于是角 为第三象限角,.,反过来请同学们自己证明,.,思考,6,：,如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？,？,y,o,x,1,M,思考,6,：,如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？,终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）,（其中 ）,公式作用：,可以把求任意角的三角函数值，,转化为求 角的三角函数值,.,？,例,5,求下列三角函数值：,（1）（2）,解：（,1,）,练习 求下列三角函数值,（,2,）,例,6,确定下列三角函数值的符号：,（1）（2）（3）,（,2,）因为,=,，,而 是第一象限角，所以 ；,练习 确定下列三角函数值的符号,（,1,）因为 是第三象限角，所以 ；,解：,（,3,）因为 是第四象限角，所以,.,1.,内容总结：,三角函数的概念,.,三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号,.,诱导公式一,.,运用了定义法、公式法、数形结合法解题,.,划归的思想，数形结合的思想,.,归纳 总结,2.,方法总结：,3.,体现的数学思想：,y,x,x,y,y,y,x,x,M,M,M,M,O,O,O,O,P,P,P,P,的终边,的终边,的终边,的终边,A,(1,0),A,(1,0),A,(1,0),A,(1,0),(),(),(),(),角,的终边与单位圆交于点,P,.,过点,P,作,x,轴的垂线,垂足为,M.,|MP|=|y|=|,sin,|,|OM|=|x|=|,cos,|,三角函数线,正弦线和余弦线,【,思考,】,为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否给线段,OM,、,MP,规定一个适当的方向,使它们的取值与点,P,的坐标一致,?,【,定义,】,有向线段,*,带有方向的线段叫有向线段,.,*,有向线段的大小称为它的数量,.,在坐标系中,规定,:,有向线段的方向与坐标系的方向相同,.,即同向时,数量为正,;,反向时,数量为负,.,y,x,x,y,y,y,x,x,M,M,M,M,O,O,O,O,P,P,P,P,的终边,的终边,的终边,的终边,A,(1,0),A,(1,0),A,(1,0),A,(1,0),(),(),(),(),当角,的终边不在坐标轴上时,以,M,为始点、,P,为终点,规定,:,当线段,MP,与,y,轴,同向,时,MP,的方向为,正向,且有,正值,y,;,当线段,MP,与,y,轴,反向,时,MP,的,方向,为,负向,且有,负值,y,.,MP,=,y,=sin,有向线段,MP,叫角,的,正弦线,y,x,x,y,y,y,x,x,M,M,M,M,O,O,O,O,P,P,P,P,的终边,的终边,的终边,的终边,A,(1,0),A,(1,0),A,(1,0),A,(1,0),(),(),(),(),|MP|=|y|=|,sin,|,|OM|=|x|=|,cos,|,当角,的终边不在坐标轴上时,以,O,为始点、,M,为终点,规定,:,当线段,OM,与,x,轴,同向,时,OM,的方向为,正向,且有,正值,x,;,当线段,OM,与,x,轴,反向,时,OM,的方向为,负向,且有,负值,x,.,OM=x,=cos,有向线段,OM,叫角,的,余弦线,T,T,T,y,x,x,y,y,y,x,x,M,M,M,M,O,O,O,O,P,P,P,P,的终边,的终边,的终边,的终边,A,(1,0),A,(1,0),A,(1,0),A,(1,0),(),(),(),(),T,过点,A,(1,0),作单位圆的切线,设它与,的终边或其反向延长线相交于点,T,.,有向线段,AT,叫角,的,正切线,这三条与单位圆有关的有向线段,MP,、,OM,、,AT,分别叫做角,的,正弦线、余弦线、正切线,统称为,三角函数线,y,x,T,M,O,P,的终边,A,(1,0),当角,的终边与,x,轴重合时,正弦线、正切线,分别变成一个点,此时角,的,正弦值和正切值都为,0,;,当角,的终边与,y,轴重合时,余弦线变成一个点,正切线不存,在,此时角,的,正切值不存在,.,例,在单位圆中作出符合下列条件的角的终边,:,x,O,y,-1,-1,1,1,P,M,例题,-1,x,y,1,1,-1,O,例,:,在单位圆中作出符合条件的角的终边,:,-1,x,y,1,1,-1,O,例,:,在单位圆中作出符合条件的角的终边,:,变式：,写出满足条件 ,cos,的角,的集合,.,x,O,y,-1,-1,1,1,虚线,