浙江专版高考数学一轮复习第十一章计数原理11.2二项式定.ppt

,11.2,二项式定理,高考数学,考点二项式定理及应用,1.二项式定理:(,a,+,b,),n,=,a,n,+,a,n,-1,b,1,+,+,a,n,-,r,b,r,+,+,b,n,(,n,N,*,).这个公,式所表示的定理叫做二项式定理.,2.几个基本概念,(1)二项展开式:二项式定理中的公式右边的多项式叫做(,a,+,b,),n,的二项展,开式.,(2)项数:二项展开式中共有,n,+1项.,(3)二项式系数:在二项展开式中各项的系数,(,r,=0,1,2,n,)叫做,二项式系数.,(4)通项:二项展开式中的,a,n,-,r,b,r,叫做二项展开式的通项,用,T,r,+1,表,知识清单,示,即通项为展开式的第,r,+1项:,T,r,+1,=,a,n,-,r,b,r,(,r,=0,1,n,).,3.在二项式定理中,如果设,a,=1,b,=,x,则得到公式:(1+,x,),n,=1+,x,+,x,2,+,x,3,+,+,x,n,.如果设,a,=1,b,=-,x,则得到公式:(1-,x,),n,=1+(-1),1,x,+,x,2,+,+(-1),n,x,n,.,4.二项式系数与项的系数是不同的,如(,a,+,bx,),n,(,a,b,R)的展开式中,第,r,+1,项的二项式系数是,而第,r,+1项的系数为,a,n,-,r,b,r,.,5.通项公式主要用于求二项式的指数,求满足条件的项或系数,求展开式,的某一项或系数.在运用公式时要注意以下几点:,(1),a,n,-,k,b,k,是第,k,+1项,而不是第,k,项;,(2)运用通项公式,T,k,+1,=,a,n,-,k,b,k,解题时,一般都需先转化为方程(组)求,出,n,、,k,然后代入通项公式求解;,(3)求展开式的一些特殊项,通常都是由题意列方程求出,k,再求所需的某,项;有时需要求,n,计算时要注意,n,和,k,的取值范围及它们之间的大小关系.,6.在(,a,+,b,),n,的展开式中,令,a,=,b,=1,得,+,+,+,=2,n,;令,a,=1,b,=-1,得,-,+,-,+,=0,+,+,+,=,+,+,+,=2,n,-1,.,7.对二项式系数性质的理解,(1)对称性:由组合数的性质“,=,”,得从“,=,=1”开始,由左右,向中间靠拢,便有,=,=,(2)最大值:当,n,为偶数时,(,a,+,b,),n,的展开式有,n,+1项,n,+1是奇数,这时展开,式的形式是,中间一项是第,+1项,它的二项式系数是,它是所有的二项式系数中,的最大者.,当,n,为奇数时,(,a,+,b,),n,的展开式共有,n,+1项,n,+1是偶数,这时展开式的形式,是,中间两项是第,、,+1项,它们的二项式系数是,、,这两,个系数相等,并且是所有二项式系数中的最大者.,求指定项或指定项的系数的解题策略,求二项展开式中指定项或指定项的系数,通常是根据已知条件,利用通,项公式求,r,再求,T,r,+1,或,T,r,+1,的系数,有时还需先求幂指数,n,再求,r,才能求出,T,r,+1,或,T,r,+1,的系数.,例1(2017浙江“超级全能生”联考(3月),2)在二项式,的展开,式中,常数项是,(),A.-240B.240 C.-160D.160,方法技巧,方法,1,解题导引,求二项展开式的通项令,x,的指数为0,得,k,的值计算得常数项,解析二项式,的展开式的通项为,T,k,+1,=,(2,x,),6-,k,=(-1),k,2,6-,k,x,6-2,k,令6-2,k,=0,得,k,=3,则展开式中的常数项是(-1),3,2,3,=-160,故选C.,评析本题考查二项展开式的通项公式,由二项式定理求指定项系数,考查运算求解能力.,求二项式系数和与展开式系数和的解题策略,对于二项式系数和与展开式系数和问题,首先,应掌握二项式系数的性,质:,+,+,+,+,=2,n,+,+,+,=,+,+,+,=2,n,-1,.其次,要掌握,赋值法.,例2(2017浙江名校新高考研究联盟测试一,6)若(1-4,x,),2 017,=,a,0,+,a,1,x,+,a,2,x,2,+,+,a,2 017,x,2 017,则,+,+,+,的值是,(),A.-2B.-1C.0D.1,方法,2,A,解题导引,令,x,=0,得,a,0,的值令,x,=,得结论,解析当,x,=0时,a,0,=1;当,x,=,时,(-1),2 017,=,a,0,+,+,+,+,所以,+,+,+,=-2.故选A.,评析本题考查二项展开式系数的性质,赋值法求展开式系数,考查推,理运算能力.,二项式定理综合应用的解题策略,1.用二项式定理进行近似计算,先要观察精确度,再选取展开式中若干,项.,2.用二项式定理证明整除问题,一般将被除式变为有关除式的二项式的,形式,再展开,常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解,决.,3.证明与组合数有关的恒等式、不等式问题时,通常表现为二项式定理,的正用或逆用,再结合恒等式、不等式证明的方法进行论证,应用时应,巧妙地构造二项式.,例3今天为星期一,则2,100,天后为星期,.,方法,3,解题导引,把2,100,变形为2,(7+1),33,的形式由二项式定理展开得2,100,被7除的余数得结论,解析2,100,=8,33,2=(7+1),33,2=2(,7,33,+,7,32,+,+,7+,),此数被7除后余,2.故2,100,天后为星期三.,答案三,评析本题考查利用二项式定理计算余数问题,指数运算等知识,考查,推理运算能力.,