高中数学第1章立体几何初步1.2点线面之间的位置关系1.2.2空间两条直线的位置关系课件苏教版必修.ppt

,栏目导引,新知初探,思维启动,教材盘点,合作学习,教材拓展,整合提高,课时,作业,第,1,章,立体几何初步,1,2.2,空间两条直线的位置关系,第,1,章,立体几何初步,学习导航,第,1,章,立体几何初步,学习目标,1.,了解空间两条直线的三种位置关系,2,理解异面直线的定义、所成角的概念、判定定理以及等角定理,(,难点,),3,掌握异面直线的判定方法，在直角三角形中求简单异面直线所成的角的方法,(,重点,),学法指导,通过实物观察，抽象出空间两直线的位置关系、异面直线概念及夹角的定义，通过在平面上画出直线的位置关系、异面直线及夹角，培养空间想象能力，感受掌握空间两直线关系的必要性,.,1,空间中两条直线的位置关系,共面情况,位置关系,公共点个数,在同一平面内,共面直线,_,有且只有一个,_,没有,_,_,_,不同在任何,一个平面内,相交,平行,异面直线,2.,公理,4,与等角定理,(1),公理,4,文字表述,_,的两条直线互相平行,符号表述,_,含义,揭示了空间平行线的,_,性,平行于同一条直线,a,b,且,b,c,a,c,传递,(2),等角定理,研究对象,在空间中的两个角,条件,一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,结论,这两个角,_,相等,3.,异面直线的判定与几何表示,画法,图形表示为如图所示,(,通常用一个或两个平面衬托,),判定定理,文字,表述,过平面内一点与平面外一点的直线，与这个平面内,_,的直线是异面直线,符号,表述,若,l,，,A,，,B,，,B,l,，则直线,AB,与,l,是异面直线,不经过该点,4.,异面直线所成的角,定义,已知两条异面直线,a,，,b,，经过空间任一点,O,作直线,a,a,，,b,b,，我们把,a,与,b,所成的,_,叫做异面直线,a,与,b,所成的角,(,或夹角,),范围,记异面直线,a,与,b,所成的角为,，则,_,特殊情况,当,_,时，,a,与,b,互相垂直，记作,_,锐角,(,或直角,),0,90,a,b,90,1,如果两条直线,a,与,b,没有公共点，那么,a,和,b,的位置关系是,_,解析：空间中两条直线的位置关系共有相交、平行、异面三种情况，若直线,a,与,b,没有公共点，那么,a,和,b,的位置关系只能是平行或异面,平行或异面,2.,(,课本改编题,),如图所示，在三棱锥,P,ABC,的六条棱所在的直线中，异面直线共有,_,对,解析：根据异面直线的定义可知共,3,对,分别是,AP,与,BC,，,CP,与,AB,，,BP,与,AC,.,3,3,如图所示，在正方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,BD,和,B,1,D,1,分别是正方形,ABCD,和,A,1,B,1,C,1,D,1,的对角线,(1),DBC,的两边与,_,的两边分别平行且方向相同；,(2),DBC,的两边与,_,的两边分别平行且方向相反,解析：,(1),B,1,D,1,BD,，,B,1,C,1,BC,，并且方向相同，,DBC,的两边与,D,1,B,1,C,1,的两边分别平行且方向相同,(2),D,1,B,1,BD,，,D,1,A,1,BC,，并且方向相反，,DBC,的两边与,B,1,D,1,A,1,的两边分别平行且方向相反,D,1,B,1,C,1,B,1,D,1,A,1,异面直线的判定与证明,法二：,(,反证法,),若,AE,和,DF,不是异面直线，则,AE,和,DF,共面，设过,AE,，,DF,的平面为,.,若,E,，,F,重合，则,E,是,BC,的中点，从而有,AB,AC,，这与题设,AB,AC,相矛盾,若,E,，,F,不重合，,B,EF,，,C,EF,，,EF,，,BC,.,又,A,，,D,，,A,，,B,，,C,，,D,四点共面，这与题设,ABCD,是空间四边形相矛盾,综上，,AE,和,DF,不是异面直线不成立,故,AE,和,DF,是异面直线,方法归纳,证明两条直线为异面直线，方法主要有两种：,(1),定理法即：,a,，,A,，,B,，,B,a,直线,a,与,AB,是异面直线,(2),反证法体现了,“,正难则反,”,的解题思想反证法一般有三个步骤：一是假设结论的反面成立；二是推出矛盾，可以是与已知矛盾、与定理、公理矛盾，也可以是自相矛盾；三是下结论,1,如图所示，,AB,，,CD,是两异面直线，求证：直线,AC,，,BD,也是异面直线,证明：法一：假设,AC,和,BD,不是异面直线，则,AC,和,BD,在同一平面内，设这个平面为,，,由,AC,，,BD,，知,A,，,B,，,C,，,D,.,故,AB,，,CD,.,这与,AB,和,CD,是异面直线矛盾，,所以假设不成立，则直线,AC,和,BD,是异面直线,法二：由题图可知，直线,AB,、,AC,相交于点,A,，,所以它们确定一个平面为,.,由直线,AB,和,CD,是异面直线，则,D,，,即直线,BD,过平面,外一点,D,与平面,内一点,B,.,又,AC,，,B,AC,，所以直线,AC,和,BD,是异面直线,公理,4,及等角定理的应用,方法归纳,(1),求证两直线平行：一是应用公理,4,，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行；二是证明在同一平面内，这两条直线无公共点,(2),求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似如本题中在证明,EA,1,F,E,1,CF,1,时，还可以通过证明,A,1,EF,CF,1,E,1,来实现，由于,EF,E,1,F,1,，所以只需要证明,A,1,E,A,1,F,CE,1,CF,1,(,在这些边所在的直角三角形中，利用勾股定理即可证明,),正方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,、,F,分别是,A,1,B,1,、,B,1,C,1,的中点，求异面直线,DB,1,与,EF,所成角的大小,(,链接教材,P,29,例,1),求异面直线所成的角,方法归纳,求两条异面直线所成的角的数学思想是化空间为平面，也就是通过平移直线至相交位置求角，它是立体几何问题的一个难点，找异面直线所成的角时可综合运用多种方法，结合以上四种解法总结起来有如下,“,口诀,”,：,中点、端点定顶点，平移常用中位线；,平行四边形中见，指出成角很关键；,求角构造三角形，锐角、钝角要明辨；,平行线若在外，补上原体在外边,所以,MPN,60,或,MPN,120.,又因为,AB,CD,，所以,PM,PN,，,(1),若,MPN,60,，则,PMN,是等边三角形，,所以,PMN,60,，即,AB,与,MN,所成的角为,60.,(2),若,MPN,120,，则易知,PMN,是等腰三角形,所以,PMN,30,，即,AB,与,MN,所成的角为,30.,综上知：,AB,与,MN,所成的角为,60,或,30.,错因与防范,(1),在解答此类问题时，常常由于对异面直线所成角的范围认识模糊，导致回答结论时产生错误事实上，由于异面直线所成角,的范围是,0,90,，当求得的角为钝角时，则其补角是异面直线所成的角,(2),重视异面直线所成的角的取值范围，并要注意结合实际情景进行恰当地推导,计算题中要注意所用结论的证明，做到步步有据,注意解题的规范性，不要漏掉步骤，致使解析不规范，答案不清晰,解,(1),如图，过,P,点在平面,外的左、右两侧存在,2,条直线与,a,、,b,所成的角为,45.,(2),如图，过,P,点在平面,内,120,的角平分线上存在,1,条直线与,a,、,b,所成的角为,60,；过,P,点在平面,外的左右两侧存在,2,条直线与,a,、,b,所成的角为,60,，则与,a,、,b,所成的角为,60,的直线有,3,条,(3),如图，过,P,点在平面,外左右两侧存在,2,条直线与,a,、,b,所成的角为,70,，过,P,点在平面,外前、后两侧存在,2,条直线与,a,、,b,所成的角为,70,，则与,a,、,b,所成的角为,70,的直线有,4,条,感悟提高,如果空间图形,F,的所有点都沿同一方向移动相同的距离到,F,的位置，就说图形,F,在空间作了一次平移求异面直线所成的角就是利用平移法即求两条异成直线的夹角问题，可以把所有的直线都平移，使它们都过同一个点,