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单击此处编辑母版文本样式,基础诊断,考点突破,第,6,讲对数与对数函数,考试要求,1.,对数的概念及其运算性质，换底公式及应用，,B,级要求；,2.,对数函数的概念、图象与性质，,B,级要求；,3.,指数函数,y,a,x,(,a,0,，且,a,1),与对数函数,y,log,a,x,(,a,0,，且,a,1),互为反函数，,A,级要求,知 识 梳 理,1,对,数的概念,如果,a,x,N,(,a,0,，且,a,1),，那么,x,叫做以,a,为底,N,的对数，记作,，其中,a,叫做对数的底数，,N,叫做真数,x,log,a,N,N,log,a,M,log,a,N,log,a,M,log,a,N,n,log,a,M,log,a,d,3.,对数函数的图象与性质,a,1,0,a,1,时，,；,当,0,x,1,时，,；,当,0,x,0,y,0,y,0,增函数,减函数,4.,反函数,指数函数,y,a,x,(,a,0,，且,a,1),与对数函数,(,a,0,，且,a,1),互为反函数，它们的图像关于直线,对称,y,x,y,log,a,x,解析,(1)log,2,x,2,2log,2,|,x,|,，故,(1),错,(2),形如,y,log,a,x,(,a,0,，且,a,1),为对数函数，故,(2),错,(4),当,x,1,时，,log,a,x,log,b,x,，但,a,与,b,的大小不确定，故,(4),错,答案,(1),(2),(3),(4),2,已知函数,y,log,a,(,x,c,)(,a,，,c,为常数，其中,a,0,，且,a,1),的图象如图，给出下列结论：,a,1,，,c,1,；,a,1,0,c,1,；,0,a,1,；,0,a,1,0,c,1.,其中判断正确的结论有,_(,填序号,),解析,由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以,0,a,0,，即,log,a,c,0,，所以,0,c,0,，且,a,1),是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化,答案,(1)24,(2),1,考点二对数函数的图象及应用,【,例,2】,(1)(2017,郑州一模改编,),若,函数,y,a,|,x,|,(,a,0,，且,a,1),的值域为,y,|,y,1,，则函数,y,log,a,|,x,|,的图象大致是,_(,填序号,),解析,(1),由于,y,a,|,x,|,的值域为,y,|,y,1,，,a,1,，则,y,log,a,x,在,(0,，,),上是增函数，,又函数,y,log,a,|,x,|,的图象关于,y,轴对称,因此,y,log,a,|,x,|,的图象应大致为,.,(2),如图，在同一坐标系中分别作出,y,f,(,x,),与,y,x,a,的图象，其中,a,表,示直线在,y,轴上截距,由图可知，当,a,1,时，直线,y,x,a,与,y,log,2,x,只有一个交点,答案,(1),(2)(1,，,),规律方法,(1),在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点,(,与坐标轴的交点、最高点、最低点等,),排除不符合要求的选项,(2),一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解,【,训练,2】(1),函,数,y,2log,4,(1,x,),的图象大致是,_(,填序号,),解析,(1),函数,y,2log,4,(1,x,),的定义域为,(,，,1),，排除,，,；,又函数,y,2log,4,(1,x,),在定义域内单调递减，排除,.,考点三对数函数的性质及应用,(,多维探究,),命题角度一比较对数值的大小,【,例,3,1】,(2016,全国,卷改编,),若,a,b,0,0,c,1,，给出下列关系式：,log,a,c,log,b,c,；,log,c,a,log,c,b,；,a,c,c,b,.,其中正确的关系式是,_(,填序号,),答案,命题角度三对数型函数的性质,【,例,3,3】,已,知函数,f,(,x,),log,a,(3,ax,),(1),当,x,0,2,时，函数,f,(,x,),恒有意义，求实数,a,的取值范围；,(2),是否存在这样的实数,a,，使得函数,f,(,x,),在区间,1,2,上为减函数，并且最大值为,1,？如果存在，试求出,a,的值；如果不存在，请说明理由,规律方法,(1),确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行,(2),如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误,(3),在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解在利用单调性时，一定要明确底数,a,的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件,【,训练,3】(1),设,a,log,3,2,，,b,log,5,2,，,c,log,2,3,，则,a,，,b,，,c,的大小关系是,_,(2),已知函数,f,(,x,),log,a,(8,ax,)(,a,0,，且,a,1),，若,f,(,x,)1,在区间,1,2,上恒成立，则实数,a,的取值范围是,_,思想方法,1,对数值取正、负值的规律,当,a,1,且,b,1,或,0,a,1,且,0,b,0,；,当,a,1,且,0,b,1,或,0,a,1,时，,log,a,b,0.,2,利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是,“,同底法,”,，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决,3,比较幂、对数大小有两种常用方法：,(1),数形结合；,(2),找中间量结合函数单调性,4,多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线,y,1,交点的横坐标进行判定,易错防范,1,在对数式中，真数必须是大于,0,的，所以对数函数,y,log,a,x,的定义域应为,(0,，,),对数函数的单调性取决于底数,a,与,1,的大小关系，当底数,a,与,1,的大小关系不确定时，要分,0,a,1,两种情况讨论,2,在运算性质,log,a,M,log,a,M,中，要特别注意条件，在无,M,0,的条件下应为,log,a,M,log,a,|,M,|(,N,*,，且,为偶数,),3,解决与对数函数有关的问题时需注意两点：,(1),务必先研究函数的定义域；,(2),注意对数底数的取值范围,
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