三非周期信号的频谱.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,三非周期信号的频谱,3.4,非周期信号的频谱,前已指出，当周期趋于无限大时，相邻谱线的间隔趋近于无穷小，从而信号的频谱密集成为连续频谱。同时，各频率分量的幅度也都趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍保持一定的比例关系。,为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。,令,称,为频谱密度函数。,一、傅里叶变换,.,当周期,趋近于无限大时，,趋近于无穷小，取其,为,，而,将趋近于,，,是变量，当,时，它是离散值，当,趋近于无限小时，它,就成为连续变量，取为,，求和符号改为积分。,由式,，,可得,如何求频谱密度函数？,于是当,时，式,成为,（,1,）式称为函数,的傅里叶变换,。,（,2,）式称为函数,的傅里叶逆变换。,称为,的频谱密度函数或频谱函数,.,称为,的原函数。,简记为,与周期信号的傅里叶级数相类似，,在,f,(,t,)是实函数时，,F,(,),、,(,),与,R,(,),、,X,(,),相互之间存在下列关系：,是,的偶函数。,是,的奇函数。,在,f,(,t,),是实函数时：,(1),若,f,(,t,),为,t,的偶函数，即,f,(,t,)=,f,(-,t,),，则,f,(,t,),的频谱函数,F,(j,),为,的实函数，,且为,的偶函数。,(2),若,f,(,t,),为,t,的奇函数，即,f,(-,t,)=-,f,(,t,),，则,f,(,t,),的频谱函数,F,(j,),为,的虚函数，且为,的奇函数。,与周期信号类似，也可将非周期信号的傅里叶变换表示式改写成三角函数的形式，即,结论：,上式表明，非周期信号可看作是由不同频率的余弦,“,分,量,”,所组成，它包含了频率从零到无限大的一切频率,“,分,量,”,。由式可见，,相当于各,“,分量,”,的振幅，它是无穷小量。,所以信号的频谱不能再用幅度表示，而改用密度函,数来表示。类似于物质的密度是单位体积的质量，函数,可看作是单位频率的振幅，称,为频谱密度函数。,例,3.4-1,下图所示为门函数（或称矩形脉冲），用符号,表示，其宽度为,，幅度为,。求其频谱函数。,0,二、典型信号的傅里叶变换,解：,如图所示的门函数可表示为,其频谱函数为,图,3.4-1,门函数及其频谱,一般而言，信号的频谱函数需要用幅度谱,和相位,谱,两个图形才能将它完全表示出来。但如果频谱,函数是实函数或虚函数，那么只用一条曲线即可。,为负代表相位为,，,为正代表相位为,。,0,0,实偶,实偶,由图可见，第一个零值的角频率为,（频率,）。,当脉冲宽度减小时，第一个零值频率也相应增高。,对于矩形脉冲，常取从零频率到第一个零值频率,之间的频段为信号的频带宽度。,这样，门函数的带宽,，脉冲宽度越窄，,其占有的频带越宽。,0,(,时域越窄,频域越宽,),例,3.4-2,求下图所示的单边指数函数的频谱函数,.,0,t,图,3.4-2,单边指数函数,解,:,将单边指数函数的表示式,代入到式,中得：,这是一复函数,将它分为模和相角两部分：,幅度谱和相位谱分别为：,频谱图如下图所示：,(,),0,-,/2,/2,(b),相位频谱,图,3.4-3,单边指数函数,0,1/,(a),振幅频谱,例,3.4-3,求下图所示双边指数信号的频谱函数。,e,t,1,0,t,f,1,(,t,),e,-,t,解：上图所示的信号可表示为：,或者写为,将,代入到式,，,可得其频谱函数为：,其频谱图如下所示,：,F,1,(j,),0,2/,实偶,实偶,e,t,1,0,t,f,1,(,t,),e,-,t,例,3.4-4,求下图所示信号的频谱函数。,-e,t,1,0,t,f,2,(,t,),e,-,t,-1,解,:,上图所示的信号可写为,：,（其中,),-e,t,1,0,t,f,2,(,t,),e,-,t,-1,其频谱图如下图所示：,X,2,(,),0,1/,-1/,实奇,虚奇,-e,t,1,0,t,f,2,(,t,),e,-,t,-1,例3.4-5 求,冲激函数的频谱,即单位冲激函数的频谱是常数,，如下图所示。其频,谱密度在区间,处处相等，常称为,“,均匀谱,”,或,“,白色频谱,”,。,0,t,(t),0,1,F(j,),(a),(b),图,3.4-6,单位冲激函数的频谱,冲激函数一阶导数的频谱函数为,：,按冲激函数导数的定义,：,可知,即,同理可得,例3.4-6 求,单位直流信号的频谱,显然，该信号不满足绝对可积条件，但其傅里叶变换,却存在。它可以看作是函数,当,时的极限,。则直流信号的频谱函数也应,是,的频谱函数,当,时的极限。,0,e,t,1,t,f,1,(,t,),e,-,t,所以,即,当,趋近于零时,我们已经知道,的频谱函数为：,f,1,(t),0,t,1,2,3,4,(a),4,3,2,1,0,2,(,),(b),图,3.4-7,求,1,的极限过程,0,2,(,),(b),0,t,1,(a),图,3.4-8,直流信号的频谱,例3.4-7,求,符号函数的频谱,符号函数定义为,显然,该函数也不满足绝对可积条件。,函数 可看作函数：,当 时的极限。,则它的频谱函数也是,的频谱函数,，当,时的极限。,我们已知,的频谱函数为：,它是,的奇函数，在,处,。,因此，当,趋近于零时，有,：,于是得,它在,处的值等于零。,0,t,Sgn(t),1,-1,(a),X(,),0,(b),图,3.4-9 sgn(t),及其频谱,例3.4-8 求,阶跃函数的频谱,对上式两边进行傅里叶变换，得,:,图,3.5-11,(t),及其频谱,0,(,),R(,),X(,),0,R(,),(,),-1/,X(,),0,-1/,1/2,0,t,1,0,t,1/2,0,t,-1/2,1/2 Sgn(t),其频谱的实部和虚部分别为,:,频谱的虚部是,的奇函数，在,处其值等于零。,表,常用傅里叶变换对,续表,本节小结,1、非周期信号的频谱及特点,2、几种典型的非周期信号的频谱,