高中数学第二章数列2.3等比数列习题课讲义新人教版B.ppt

,-,*,-,1,.,1,.,1,正弦定理,首页,课前篇,自主预习,课堂篇,合作学习,习题课,等比数列习题课,一,二,一、等比数列的定义,【问题思考】,1,.,填空,:,如果一个数列从,第,2,项,起,每一项与它的前一项的比都等于,同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的,公比,公比通常用字母,q,(,q,0),表示,.,定义表达式为,_,.,2,.,做一做,:,已知数列,a,n,满足,a,1,=,1,a,n+,1,=,2,a,n,+,1,试证明,a,n,+,1,是等比数列,.,证明,:,由,a,n+,1,=,2,a,n,+,1,得,a,n+,1,+,1,=,2(,a,n,+,1),一,二,二、等比数列的前,n,项和公式,【问题思考】,1,.,填空,:,一,二,2,.,除了教材中推导等比数列前,n,项和的方法,你还能想到什么方法,?,提示,:,除了书上用到的错位相减法之外,还有以下方法可以求等比数列的前,n,项和,.,一,二,(3),拆项法,S,n,=a,1,+a,2,+a,3,+,+a,n,=a,1,+a,1,q+a,1,q,2,+,+a,1,q,n-,1,=a,1,+q,(,a,1,+a,1,q+a,1,q,2,+,+a,1,q,n-,2,),=a,1,+q,(,a,1,+a,1,q+a,1,q,2,+,+a,1,q,n-,2,+a,1,q,n-,1,-a,1,q,n-,1,),S,n,=a,1,+q,(,S,n,-a,1,q,n-,1,),=a,1,+q,(,S,n,-a,n,),一,二,3,.,做一做,:,等比数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,.,已知,S,3,=a,2,+,10,a,1,a,5,=,9,则,a,1,=,(,),解析,:,设数列,a,n,的公比为,q,若,q=,1,则由,a,5,=,9,得,a,1,=,9,此时,S,3,=,27,而,a,2,+,10,a,1,=,99,不满足题意,因此,q,1,.,答案,:,C,探究一,探究二,探究三,当堂检测,等比数列的基本运算,【例,1,】,已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为,37,中间两数之和为,36,求这四个数,.,思路分析,:,根据条件可设出其中的两个数,再通过一些条件表示出另两个数,然后求解,.,解,:,设前两个数分别为,a,b,则第三、四个数分别为,36,-b,37,-a,探究一,探究二,探究三,当堂检测,反思感悟,等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量,a,1,n,q,a,n,S,n,一般可以,“,知三求二,”,通过列方程,(,组,),求解,.,解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式并灵活运用,在运算过程中,还应善于运用整体代换思想,简化运算的过程,.,在使用等比数列的前,n,项和公式时,应根据公比,q,的情况进行分类讨论,切不可忽视,q,的取值而盲目用求和公式,.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,变式训练,1,已知,S,n,为等比数列,a,n,的前,n,项和,S,n,=,93,a,n,=,48,公比,q=,2,则项数,n=,.,解析,:,由题意得,=,93,a,1,q,n-,1,=,48,又因为,q=,2,可解得,n=,5,.,答案,:,5,探究一,探究二,探究三,当堂检测,错位相减法求和,【例,2,】,已知数列,a,n,的前,n,项和,S,n,=-n,2,+,2,kn,(,k,N,+,),且,S,n,的最大值为,4,.,(1),确定常数,k,的值,并求数列,a,n,的通项公式,a,n,;,思路分析,:,(1),利用二次函数的性质及配方法来研究最值,;,(2),利用错位相减法求,T,n,然后利用作差法比较大小,.,解,:,(1),因为,S,n,=-,(,n-k,),2,+k,2,(,k,N,+,),所以当,n=k,时,S,n,取得最大值,k,2,.,依题意得,k,2,=,4,又,k,N,+,所以,k=,2,.,从而,S,n,=-n,2,+,4,n.,当,n,2,时,a,n,=S,n,-S,n-,1,=,(,-n,2,+,4,n,),-,-,(,n-,1),2,+,4(,n-,1),=,5,-,2,n.,又,a,1,=S,1,=,3,也适合上式,所以,a,n,=,5,-,2,n,(,n,N,+,),.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,探究一,探究二,探究三,当堂检测,反思感悟,错位相减法求和是近些年高考的一大热点,对于形如,C,n,=a,n,b,n,(,其中,a,n,为等差数列,b,n,为等比数列,),形式的求和均可用错位相减法,.,运用此法时,一定要明确谁与谁对应以及项数、角标等问题,该方法虽不难理解,但对运算能力要求较高,并且最后要注意检验,简单的操作方法是赋特殊值法,.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,探究一,探究二,探究三,当堂检测,探究一,探究二,探究三,当堂检测,构造等比数列求通项公式,思路分析,:,(1),配常数,;(2),取倒数,;(3),取对数,.,解,:,(1),由,a,n+,1,=,2,a,n,+,1,可得,a,n+,1,+,1,=,2(,a,n,+,1),a,n,+,1,是首项为,a,1,+,1,=,2,公比为,2,的等比数列,.,a,n,+,1,=,(,a,1,+,1)2,n-,1,=,2,n,即,a,n,=,2,n,-,1,.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,探究一,探究二,探究三,当堂检测,反思感悟,有些数列本身不是等差、等比数列,但是通过适当的变形,可以构造出等差、等比数列,.,常见的构造方法有,:(1),取倒数法,;(2),配常数法,;(3),取对数法,;(4),配函数法等,.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,探究一,探究二,探究三,当堂检测,探究一,探究二,探究三,当堂检测,探究一,探究二,探究三,当堂检测,答案,:,C,探究一,探究二,探究三,当堂检测,2,.,已知等比数列,a,n,的各项都为正数,且当,n,3,时,a,4,a,2,n-,4,=,10,2,n,则数列,lg,a,1,2lg,a,2,2,2,lg,a,3,2,3,lg,a,4,2,n-,1,lg,a,n,的前,n,项和,S,n,等于,(,),A.,n,2,n,B.(,n-,1)2,n-,1,-,1,C.(,n-,1)2,n,+,1D.2,n,+,1,解析,:,等比数列,a,n,的各项都为正数,且当,n,3,时,a,4,a,2,n-,4,=,10,2,n,=,10,2,n,即,a,n,=,10,n,2,n-,1,lg,a,n,=,2,n-,1,lg,10,n,=n,2,n-,1,S,n,=,1,+,2,2,+,3,2,2,+,+n,2,n-,1,2,S,n,=,1,2,+,2,2,2,+,3,2,3,+,+n,2,n,-,得,1,-S,n,=,1,+,2,+,2,2,+,+,2,n-,1,-n,2,n,=,2,n,-,1,-n,2,n,=,(1,-n,)2,n,-,1,S,n,=,(,n-,1)2,n,+,1,.,答案,:,C,探究一,探究二,探究三,当堂检测,3,.,设等比数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,且,a,5,=S,5,则,S,2 018,=,.,解析,:,根据数列前,n,项和的定义知,S,5,=a,1,+a,2,+a,3,+a,4,+a,5,=a,5,故,a,1,+a,2,+a,3,+a,4,=,0,即,a,1,(1,+q+q,2,+q,3,),=a,1,(1,+q,)(1,+q,2,),=,0,从而,1,+q=,0,q=-,1,所以这个等比数列的相邻两项的和都是,0,所以,S,2,018,=,0,.,答案,:,0,探究一,探究二,探究三,当堂检测,