江苏专用高考数学一轮复习第十六章圆锥曲线与方程16.2双曲线.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,高考数学,(江苏省专用),16.2双曲线,1.,(2017江苏,8,5分)在平面直角坐标系,xOy,中,双曲线,-,y,2,=1的右准线与它的两条渐近线分别交,于点,P,Q,其焦点是,F,1,F,2,则四边形,F,1,PF,2,Q,的面积是,.,A,组 自主命题,江苏卷题组,五年高考,答案,2,解析,本题考查双曲线的性质及应用.,由,-,y,2,=1得右准线方程为,x,=,渐近线方程为,y,=,x,|,F,1,F,2,|=4,不妨设,P,在,x,轴上方,则,P,Q,=2,4,=2,.,2.,(2013江苏,3,5分,0.885)双曲线,-,=1的两条渐近线的方程为,.,答案,y,=,x,解析,-,=1的两条渐近线方程为,-,=0,化简得,y,=,x,.,3.,(2016江苏,3,5分)在平面直角坐标系,xOy,中,双曲线,-,=1的焦距是,.,答案,2,解析,由,-,=1,得,a,2,=7,b,2,=3,所以,c,2,=10,c,=,所以2,c,=2,.,4.,(2015江苏,12,5分,0.406)在平面直角坐标系,xOy,中,P,为双曲线,x,2,-,y,2,=1右支上的一个动点.若点,P,到直线,x,-,y,+1=0的距离大于,c,恒成立,则实数,c,的最大值为,.,答案,解析,双曲线,x,2,-,y,2,=1的一条渐近线为直线,y,=,x,显然直线,y,=,x,与直线,x,-,y,+1=0平行,且两直线之间的,距离为,=,.因为点,P,为双曲线,x,2,-,y,2,=1的右支上一点,所以点,P,到直线,y,=,x,的距离恒大于,0,结合图形可知点,P,到直线,x,-,y,+1=0的距离恒大于,结合已知可得,c,的最大值为,.,考点一双曲线的定义和标准方程,1.,(2017课标全国文改编,5,5分)若,a,1,则双曲线,-,y,2,=1的离心率的取值范围是,.,B组,统一命题,省(区、市)卷题组,答案,(1,),解析,本题考查双曲线的方程和性质.,由题意知,e,=,=,因为,a,1,所以,e,1,所以1,e,0,b,0)的一条渐近线被圆(,x,-2),2,+,y,2,=4所,截得的弦长为2,则,C,的离心率为,.,答案,2,解析,本题主要考查双曲线的方程和性质,直线与圆的位置关系.,由题意可知圆的圆心为(2,0),半径为2.因为双曲线,-,=1的渐近线方程为,y,=,x,即,bx,ay,=0,且双曲线的一条渐近线与圆相交所得的弦长为2,所以,=,所以,=,.故离心率,e,=,=2.,方法总结,求双曲线离心率,e,的常见方法有两种.一是直接法:,e,=,=,;二是间接法:即由条,件得到关于,a,、,c,的等式,再化成关于,e,的方程求解.,3.,(2017课标全国理改编,5,5分)已知双曲线,C,:,-,=1(,a,0,b,0)的一条渐近线方程为,y,=,x,且与椭圆,+,=1有公共焦点,则,C,的方程为,.,答案,-,=1,解析,本题考查求解双曲线的方程.,由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为,-,=,k,(,k,0),即,-,=1,双曲线与椭圆,+,=1,有公共焦点,4,k,+5,k,=12-3,解得,k,=1,故双曲线,C,的方程为,-,=1.,一题多解,椭圆,+,=1的焦点为(,3,0),双曲线与椭圆,+,=1有公共焦点,a,2,+,b,2,=(,3),2,=9,双曲线的一条渐近线为,y,=,x,=,联立可解得,a,2,=4,b,2,=5.双曲线,C,的方程为,-,=1.,4.,(2017天津文改编,5,5分)已知双曲线,-,=1(,a,0,b,0)的右焦点为,F,点,A,在双曲线的渐近线上,OAF,是边长为2的等边三角形(,O,为原点),则双曲线的方程为,.,答案,x,2,-,=1,解析,本题主要考查双曲线的几何性质和双曲线的方程.,不妨设点,A,在第一象限,由题意可知,c,=2,点,A,的坐标为(1,),所以,=,又,c,2,=,a,2,+,b,2,所以,a,2,=1,b,2,=,3,故所求双曲线的方程为,x,2,-,=1.,方法总结,求双曲线方程的常用方法:(1)待定系数法:设出所求双曲线的方程,根据题意构造关,于,a,b,的方程组,从而求得,a,b,写出双曲线的方程;(2)定义法:根据题意建立动点所满足的关系式,结合双曲线的定义求出动点所满足的轨迹方程.,5.,(2017天津理改编,5,5分)已知双曲线,-,=1(,a,0,b,0)的左焦点为,F,离心率为,.若经过,F,和,P,(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为,.,答案,-,=1,解析,本题主要考查双曲线的几何性质和双曲线的标准方程.,由离心率为,可知,a,=,b,c,=,a,所以,F,(-,a,0),由题意可知,k,PF,=,=,=1,所以,a,=4,解,得,a,=2,所以双曲线的方程为,-,=1.,方法总结,求双曲线的方程的常用方法:(1)待定系数法:设出所求双曲线的方程,根据题意构造,关于参数,a,b,的方程组,从而解方程组求出参数,a,和,b,的值;(2)定义法:根据题意得到动点所满足的,关系式,结合双曲线的定义求出动点所满足的轨迹方程.,6.,(2015北京,10,5分)已知双曲线,-,y,2,=1(,a,0)的一条渐近线为,x,+,y,=0,则,a,=,.,答案,解析,由双曲线,-,y,2,=1(,a,0)知其渐近线方程为,y,=,x,又因为,a,0,所以,=,解得,a,=,.,7.,(2015天津改编,6,5分)已知双曲线,-,=1(,a,0,b,0)的一条渐近线过点(2,),且双曲线的一,个焦点在抛物线,y,2,=4,x,的准线上,则双曲线的方程为,.,答案,-,=1,解析,因为点(2,)在渐近线,y,=,x,上,所以,=,又因为抛物线的准线为,x,=-,所以,c,=,故,a,2,+,b,2,=7,解得,a,=2,b,=,.故双曲线的方程为,-,=1.,评析,本题考查了双曲线和抛物线的方程和性质.考查了用待定系数法求方程问题,属中档题.,8.,(2014天津改编,5,5分)已知双曲线,-,=1(,a,0,b,0)的一条渐近线平行于直线,l,:,y,=2,x,+10,双曲,线的一个焦点在直线,l,上,则双曲线的方程为,.,答案,-,=1,解析,由题意得,=2且,c,=5.故由,c,2,=,a,2,+,b,2,得25=,a,2,+4,a,2,则,a,2,=5,b,2,=20,从而双曲线方程为,-,=1.,9.,(2014福建,19,13分)已知双曲线,E,:,-,=1(,a,0,b,0)的两条渐近线分别为,l,1,:,y,=2,x,l,2,:,y,=-2,x,.,(1)求双曲线,E,的离心率;,(2)如图,O,为坐标原点,动直线,l,分别交直线,l,1,l,2,于,A,B,两点(,A,B,分别在第一、四象限),且,OAB,的,面积恒为8.试探究:是否存在总与直线,l,有且只有一个公共点的双曲线,E,?若存在,求出双曲线,E,的,方程;若不存在,说明理由.,解析,(1)因为双曲线,E,的渐近线分别为,y,=2,x,y,=-2,x,所以,=2,所以,=2,故,c,=,a,从而双曲线,E,的离心率,e,=,=,.,(2)解法一:由(1)知,双曲线,E,的方程为,-,=1.,设直线,l,与,x,轴相交于点,C,.,当,l,x,轴时,若直线,l,与双曲线,E,有且只有一个公共点,则|,OC,|=,a,|,AB,|=4,a,又因为,OAB,的面积为8,所以,|,OC,|,AB,|=8,因此,a,4,a,=8,解得,a,=2,此时双曲线,E,的方程为,-,=1.,若存在满足条件的双曲线,E,则,E,的方程只能为,-,=1.,以下证明:当直线,l,不与,x,轴垂直时,双曲线,E,:,-,=1也满足条件.,设直线,l,的方程为,y,=,kx,+,m,依题意,得,k,2或,k,-2,则,C,.记,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,).,由,得,y,1,=,同理得,y,2,=,.,由,S,OAB,=,|,OC,|,y,1,-,y,2,|得,=8,即,m,2,=4|4-,k,2,|=4(,k,2,-4).,由,得(4-,k,2,),x,2,-2,kmx,-,m,2,-16=0.,因为4-,k,2,0,所以,=4,k,2,m,2,+4(4-,k,2,)(,m,2,+16)=-16(4,k,2,-,m,2,-16),又因为,m,2,=4(,k,2,-4),所以,=0,即,l,与双曲线,E,有且只有一个公共点.,因此,存在总与,l,有且只有一个公共点的双曲线,E,且,E,的方程为,-,=1.,解法二:,由(1)知,双曲线,E,的方程为,-,=1.,设直线,l,的方程为,x,=,my,+,t,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,).,依题意得-,m,.,由,得,y,1,=,同理得,y,2,=,.,设直线,l,与,x,轴相交于点,C,则,C,(,t,0).,由,S,OAB,=,|,OC,|,y,1,-,y,2,|=8,得,|,t,|,=8,所以,t,2,=4|1-4,m,2,|=4(1-4,m,2,).,由,得(4,m,2,-1),y,2,+8,mty,+4(,t,2,-,a,2,)=0.,因为4,m,2,-12或,k,-2.,由,得(4-,k,2,),x,2,-2,kmx,-,m,2,=0,因为4-,k,2,0,所以,x,1,x,2,=,又因为,OAB,的面积为8,所以,|,OA,|,OB,|sin,AOB,=8,又易知sin,AOB,=,所以,=8,化简得,x,1,x,2,=4.,所以,=4,即,m,2,=4(,k,2,-4).,由(1)得双曲线,E,的方程为,-,=1,由,得(4-,k,2,),x,2,-2,kmx,-,m,2,-4,a,2,=0,因为4-,k,2,0,b,0)的右顶点为,A,以,A,为圆心,b,为半径,作圆,A,圆,A,与双曲线,C,的一条渐近线交于,M,N,两点.若,MAN,=60,则,C,的离心率为,.,答案,解析,本题考查双曲线的几何性质和圆的性质.,不妨设点,M,、,N,在渐近线,y,=,x,上,如图,AMN,为等边三角形,且|,AM,|=,b,则,A,点到渐近线,y,=,x,的距离为,b,又将,y,=,x,变形为一般形式为,bx,-,ay,=0,则,A,(,a,0)到渐近线,bx,-,ay,=0的距离,d,=,=,所以,=,b,即,=,所以双曲线离心率,e,=,=,.,4.,(2017山东理,14,5分)在平面直角坐标系,xOy,中,双曲线,-,=1(,a,0,b,0)的右支与焦点为,F,的,抛物线,x,2,=2,py,(,p,0)交于,A,B,两点.若|,AF,|+|,BF,|=4|,OF,|,则该双曲线的渐近线方程为,.,答案,y,=,x,解析,本题考查双曲线、抛物线的基础知识,考查运算求解能力和方程的思想方法.,设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,).,因为4|,OF,|=|,AF,|+|,BF,|,所以4,=,y,1,+,+,y,2,+,即,y,1,+,y,2,=,p,.由,消去,x,得,a,2,y,2,-2,pb,2,y,+,a,2,b,2,=,0,所以,y,1,+,y,2,=,.由可得,=,故双曲线的渐近线方程为,y,=,x,.,思路分析,由抛物线的定义和|,AF,|+|,BF,|=4|,OF,|可得,y,1,+,y,2,的值(用,p,表示).再联立双曲线和抛物线,的方程,消去,x,得关于,y,的一元二次方程,由根与系数的关系得,y,1,+,y,2,.从而得,的值,近而得渐近线,方程.,解题关键,求渐近线方程的关键是求,的值,利用题中条件建立等量关系是突破口,注意到|,AF,|、|,BF,|为焦半径,因此应利用焦半径公式求解.又,A,、,B,为两曲线的交点,因此应联立它们的方程,求解.这样利用,y,1,+,y,2,这个整体来建立等量关系便可求解.,5.,(2015课标改编,5,5分,0.801)已知,M,(,x,0,y,0,)是双曲线,C,:,-,y,2,=1上的一点,F,1,F,2,是,C,的两个焦点.,若,0,则,y,0,的取值范围是,.,答案,解析,若,=0,则点,M,在以原点为圆心,半焦距,c,=,为半径的圆上,则,解得,=,.可知:,0,点,M,在圆,x,2,+,y,2,=3的内部,0,b,0),则,A,(-,a,0),B,(,a,0),不妨设点,M,在第一象限内,则易得,M,(2,a,a,),又,M,点在双曲线,E,上,于是,-,=1,解得,b,2,=,a,2,e,=,=,.,7.,(2016课标全国理改编,11,5分)已知,F,1,F,2,是双曲线,E,:,-,=1的左,右焦点,点,M,在,E,上,MF,1,与,x,轴垂直,sin,MF,2,F,1,=,则,E,的离心率为,.,答案,解析,解法一:由,MF,1,x,轴,可得,M,|,MF,1,|=,.由sin,MF,2,F,1,=,可得cos,MF,2,F,1,=,=,又tan,MF,2,F,1,=,=,=,b,2,=,ac,c,2,=,a,2,+,b,2,b,2,=,c,2,-,a,2,c,2,-,a,2,-,ac,=0,e,2,-,e,-1=0,e,=,.,解法二:由,MF,1,x,轴,得,M,|,MF,1,|=,由双曲线的定义可得|,MF,2,|=2,a,+|,MF,1,|=2,a,+,又sin,MF,2,F,1,=,=,=,a,2,=,b,2,a,=,b,e,=,=,.,解题思路,解法一是利用三角函数的知识求出tan,MF,2,F,1,得到关于,a,b,c,的一个等式;解法二是,先由双曲线的定义得出|,MF,2,|,再由sin,MF,2,F,1,=,得到关于,a,b,的一个等式,最后求出,e,.,8.,(2014课标改编,4,5分,0.472)已知,F,为双曲线,C,:,x,2,-,my,2,=3,m,(,m,0)的一个焦点,则点,F,到,C,的一条,渐近线的距离为,.,答案,解析,由题意知,双曲线的标准方程为,-,=1,其中,a,2,=3,m,b,2,=3,故,c,=,=,不妨设,F,为双曲线的右焦点,故,F,(,0).其中一条渐近线的方程为,y,=,x,即,x,-,y,=0,由点到直线的,距离公式可得,d,=,=,.,评析,本题考查双曲线的方程、性质以及点到直线的距离公式等基础知识,考查考生对知识的,灵活运用能力和运算求解能力.,9.,(2016天津改编,4,5分)已知双曲线,-,=1(,a,0,b,0)的焦距为2,且双曲线的一条渐近线与,直线2,x,+,y,=0垂直,则双曲线的方程为,.,答案,-,y,2,=1,解析,由题意可得,解得,a,=2,b,=1,所以双曲线的方程为,-,y,2,=1.,易错警示,易将双曲线标准方程中,a,b,c,之间的关系与椭圆标准方程中,a,b,c,之间的关系混淆,这,是失分的主要原因.,评析,本题主要考查双曲线的几何性质,双曲线标准方程的求法,考查学生对基础知识和基本技,能的应用能力,考查方程思想方法的应用.,10,.(2016天津理改编,6,5分)已知双曲线,-,=1(,b,0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径,长的圆与双曲线的两条渐近线相交于,A,B,C,D,四点,四边形,ABCD,的面积为2,b,则双曲线的方程为,.,答案,-,=1,解析,不妨设,A,(,x,0,y,0,)在第一象限,由题意得,由得,=,所以,=,=,由可得,b,2,=12.,所以双曲线的方程为,-,=1.,评析,本题考查了圆和双曲线的方程与性质,考查了运算求解能力和方程的思想方法.,11.,(2015重庆改编,10,5分)设双曲线,-,=1(,a,0,b,0)的右焦点为,F,右顶点为,A,过,F,作,AF,的垂线,与双曲线交于,B,C,两点,过,B,C,分别作,AC,AB,的垂线,两垂线交于点,D,.若,D,到直线,BC,的距离小于,a,+,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是,.,答案,(-1,0),(0,1),解析,由题意知,F,(,c,0),A,(,a,0),不妨令,B,点在第一象限,则,B,C,k,AB,=,CD,AB,k,CD,=,直线,CD,的方程为,y,+,=,(,x,-,c,).,由双曲线的对称性,知点,D,在,x,轴上,得,x,D,=,+,c,点,D,到直线,BC,的距离为,c,-,x,D,a,+,=,a,+,c,b,4,a,2,(,c,-,a,)(,c,+,a,)=,a,2,b,2,b,2,a,2,0,b,0)的渐近线与抛物线,C,2,:,x,2,=2,py,(,p,0)交于点,O,A,B,.若,OAB,的垂心为,C,2,的焦点,则,C,1,的离心率为,.,答案,解析,设点,A,在点,B,左侧,抛物线,C,2,的焦点为,F,则,F,.联立得,和,分别解得,A,B,.,F,为,OAB,的垂心,AF,OB,k,AF,k,OB,=-1,即,=-1,4,b,2,=5,a,2,4(,c,2,-,a,2,)=5,a,2,=,e,=,=,.,评析,本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质及计算能力.,13.,(2016山东,14,5分)已知双曲线,E,:,-,=1(,a,0,b,0).矩形,ABCD,的四个顶点在,E,上,AB,CD,的中,点为,E,的两个焦点,且2|,AB,|=3|,BC,|,则,E,的离心率是,.,答案,2,解析,由已知得|,AB,|=|,CD,|=,|,BC,|=|,AD,|=|,F,1,F,2,|=2,c,.因为2|,AB,|=3|,BC,|,所以,=6,c,2,b,2,=3,ac,=,3,e,2(,e,2,-1)=3,e,2,e,2,-3,e,-2=0,解得,e,=2,或,e,=-,(舍去).,评析,本题考查了双曲线的基本性质,利用2|,AB,|=3|,BC,|建立关于离心率,e,的方程是求解关键.,14.,(2016浙江理改编,7,5分)已知椭圆,C,1,:,+,y,2,=1(,m,1)与双曲线,C,2,:,-,y,2,=1(,n,0)的焦点重合,e,1,e,2,分别为,C,1,C,2,的离心率,则,e,1,e,2,与1的大小关系为,.,答案,e,1,e,2,1,解析,在椭圆中,a,1,=,m,c,1,=,e,1,=,.在双曲线中,a,2,=,n,c,2,=,e,2,=,.因为,c,1,=,c,2,所,以,n,2,=,m,2,-2.从而,=,=,令,t,=,m,2,-1,则,t,0,=,1,即,e,1,e,2,1.,思路分析,根据椭圆,C,1,与双曲线,C,1,的焦点重合可得,m,2,与,n,2,之间的关系,进而建立,关于,m,的关,系式,然后判定范围即可.,评析,本题考查了椭圆、双曲线的方程和基本性质.考查了运算求解能力.,15.,(2013山东理改编,11,5分)抛物线,C,1,:,y,=,x,2,(,p,0)的焦点与双曲线,C,2,:,-,y,2,=1的右焦点的连线,交,C,1,于第一象限的点,M,.若,C,1,在点,M,处的切线平行于,C,2,的一条渐近线,则,p,=,.,答案,解析,设抛物线,C,1,的焦点为,F,则,F,.,设双曲线,C,2,的右焦点为,F,1,则,F,1,(2,0).,直线,FF,1,的方程为,y,=-,x,+,设,M,因为,M,在直线,FF,1,上,=-,x,0,+,.,y,=,x,2,y,=,x,C,1,在,M,点处的切线斜率为,x,0,又,-,y,2,=1的渐近线方程为,y,=,x,故由题,意得,x,0,=,将、联立得,p,=,.,16.,(2016浙江,13,4分)设双曲线,x,2,-,=1的左、右焦点分别为,F,1,F,2,.若点,P,在双曲线上,且,F,1,PF,2,为锐角三角形,则|,PF,1,|+|,PF,2,|的取值范围是,.,答案,(2,8),解析,PF,1,F,2,为锐角三角形,不妨设,P,在第一象限,P,点在,P,1,与,P,2,之间运动(如图).,当,P,在,P,1,点处时,F,1,P,1,F,2,=90,=,|,F,1,F,2,|,|=,|,P,1,F,1,|,P,1,F,2,|.,由|,P,1,F,1,|,2,+|,P,1,F,2,|,2,=|,F,1,F,2,|,2,|,P,1,F,1,|-|,P,1,F,2,|=2,得|,P,1,F,1,|,P,1,F,2,|=6,此时|,PF,1,|+|,PF,2,|=2,.,当,P,在,P,2,点处时,P,2,F,2,F,1,=90,=2,易知,=3,此时|,PF,1,|+|,PF,2,|=2|,PF,2,|+2=8,当,PF,1,F,2,为锐角三角形时,|,PF,1,|+|,PF,2,|(2,8).,评析,找到点,P,的两个特殊位置是解决本题的关键.,1.,(2013广东理改编,7,5分)已知中心在原点的双曲线,C,的右焦点为,F,(3,0),离心率等于,则,C,的方,程是,.,C,组 教师专用题组,答案,-,=1,解析,由右焦点为,F,(3,0)可知,c,=3,又因为离心率等于,所以,=,所以,a,=2.由,c,2,=,a,2,+,b,2,知,b,2,=5,故,双曲线,C,的方程为,-,=1.,2.,(2013课标全国理改编,4,5分)已知双曲线,C,:,-,=1(,a,0,b,0)的离心率为,则,C,的渐近线,方程为,.,答案,y,=,x,解析,=,=,=,C,的渐近线方程为,y,=,x,.,3.,(2015浙江,9,6分)双曲线,-,y,2,=1的焦距是,渐近线方程是,.,答案,2,;,y,=,x,解析,双曲线,-,y,2,=1中,a,=,b,=1,2,c,=2,=2,.其渐近线方程为,y,=,x,即,y,=,x,也,就是,y,=,x,.,4.,(2016北京,12,5分)已知双曲线,-,=1(,a,0,b,0)的一条渐近线为2,x,+,y,=0,一个焦点为(,0),则,a,=,;,b,=,.,答案,1;2,解析,由题意可知双曲线焦点在,x,轴上,故渐近线方程为,y,=,x,又一条渐近线为2,x,+,y,=0,即,y,=-2,x,=2,即,b,=2,a,.,又该双曲线的一个焦点为(,0),c,=,.,由,a,2,+,b,2,=,c,2,可得,a,2,+(2,a,),2,=5,解得,a,=1,b,=2.,评析,本题考查双曲线的标准方程、渐近线和焦点的相关知识,属中档题.,5.,(2014江西,20,13分)如图,已知双曲线,C,:,-,y,2,=1(,a,0)的右焦点为,F,点,A,B,分别在,C,的两条渐近,线上,AF,x,轴,AB,OB,BF,OA,(,O,为坐标原点).,(1)求双曲线,C,的方程;,(2)过,C,上一点,P,(,x,0,y,0,)(,y,0,0)的直线,l,:,-,y,0,y,=1与直线,AF,相交于点,M,与直线,x,=,相交于点,N,.,证明:当点,P,在,C,上移动时,恒为定值,并求此定值.,解析,(1)设,F,(,c,0),因为,b,=1,所以,c,=,直线,OB,的方程为,y,=-,x,直线,BF,的方程为,y,=,(,x,-,c,),解得,B,.,又直线,OA,的方程为,y,=,x,则,A,k,AB,=,=,.又因为,AB,OB,所以,=-1,解得,a,2,=,3,故双曲线,C,的方程为,-,y,2,=1.,(2)由(1)知,a,=,则直线,l,的方程为,-,y,0,y,=1(,y,0,0),即,y,=,.,因为直线,AF,的方程为,x,=2,所以直线,l,与,AF,的交点为,M,;,直线,l,与直线,x,=,的交点为,N,则,=,=,=,.,因为,P,(,x,0,y,0,)是,C,上一点,则,-,=1,代入上式得,=,=,=,所求定值为,=,=,.,评析,本题考查双曲线的标准方程、直线方程、直线与双曲线的综合问题,考查考生综合应用,能力、整体代换思想以及转化与化归思想的应用,准确表示出点,M,与点,N,的坐标及正确选择参,数是解决本题的前提,注意点,P,(,x,0,y,0,)与双曲线的关系是化简的关键.考查运算求解能力及推理论,证能力.,填空题(每题5分,共35分),1.,(2017南京、盐城一模)设双曲线,-,y,2,=1(,a,0)的一条渐近线的倾斜角为30,则该双曲线的离,心率为,.,三年模拟,A组 2015,2017年高考模拟,基础题组,(时间：25分钟 分值：35分),答案,解析,由双曲线,-,y,2,=1(,a,0)得其渐近线方程为,y,=,x,因为其中一条渐近线的倾斜角为30,所,以,a,=,从而,c,=2,所以,e,=,=,.,2.,(2017江苏镇江高三(上)期末,8)双曲线,-,=1(,a,0,b,0)的焦点到相应准线的距离等于实轴,长,则双曲线的离心率为,.,答案,1+,解析,由双曲线,-,=1的焦点(,c,0)到相应准线,x,=,的距离等于实轴长2,a,可得,c,-,=2,a,即,c,2,-2,ac,-,a,2,=0,即,e,2,-2,e,-1=0,解得,e,=1,.,又,e,1,所以双曲线的离心率为,+1.,3.,(2017无锡高三上学期期末,9)设,P,为有公共焦点,F,1,F,2,的椭圆,C,1,与双曲线,C,2,的一个交点,且,PF,1,PF,2,椭圆,C,1,的离心率为,e,1,双曲线,C,2,的离心率为,e,2,若3,e,1,=,e,2,则,e,1,=,.,答案,解析,设椭圆的长轴长为2,a,1,双曲线的实轴长为2,a,2,它们的焦距均为2,c,不妨设|,PF,1,|,PF,2,|,则由,椭圆及双曲线的定义可得,解得,又,PF,1,PF,2,所以|,PF,1,|,2,+|,PF,2,|,2,=4,c,2,从而可得,+,=2,c,2,所以,+,=2,因为3,e,1,=,e,2,所以,e,1,=,.,4.,(2017南京三模,7)在平面直角坐标系,xOy,中,双曲线,-,=1的焦距为6,则所有满足条件的实,数,m,构成的集合是,.,答案,解析,因为2,m,2,0,所以由题设可得,解得,m,=,所以所求的集合为,.,5.,(2016江苏泰州一模,5)在平面直角坐标系,xOy,中,双曲线,-,y,2,=1的实轴长为,.,答案,2,解析,由双曲线方程得,a,=,则实轴长2,a,=2,.,6.,(2016江苏苏、锡、常、镇四市二模,4)在平面直角坐标系,xOy,中,已知方程,-,=1表示,双曲线,则实数,m,的取值范围为,.,答案,(-2,4),解析,方程,-,=1表示双曲线,则,或,故-2,m,0)的右焦点,则双曲线的离心率为,.,B,组 2015,2017年高考模拟,综合题组,(时间：40分钟 分值：50分),答案,2,解析,易知抛物线,y,2,=8,x,的焦点为(2,0),从而双曲线中,c,=2,所以,a,2,+3=4,即,a,=1,故,e,=,=2.,2.,(2017江苏扬州高三第一学期期中测试,13)双曲线,-,=1(,a,0,b,0)的右焦点为,F,直线,y,=,x,与双曲线相交于,A,、,B,两点.若,AF,BF,则双曲线的渐近线方程为,.,答案,y,=,2,x,解析,联立,不妨设,A,为第一象限的交点,从而可得,A,从而,B,因为,F,(,c,0),AF,BF,所以有(,c,-,x,A,-,y,A,)(,c,-,x,B,-,y,B,)=0,即,c,2,-,-,=0,整理得9,b,4,-32,a,2,b,2,-16,a,4,=0,即(9,b,2,+4,a,2,)(,b,2,-4,a,2,)=0,所以,b,2,-4,a,2,=0,即,=2,所以双曲线的渐近线方程为,y,=,2,x,.,3.,(2017如皋高级中学第二学期联考,14)已知,F,1,、,F,2,分别是双曲线,-,=1(,a,0,b,0)的左、右焦,点,过,F,2,作,x,轴的垂线与双曲线交于,A,、,B,两点,G,是,ABF,1,的重心,且,=0,则双曲线的离心,率为,.,答案,解析,由已知不妨设,A,在,x,轴上方,可得,A,B,因为,F,1,(-,c,0),从而,G,.,由,=0可得,=0,所以3,c,4,-10,a,2,c,2,+3,a,4,=0,即(3,e,2,-1)(,e,2,-3)=0,可得,e,2,=,(舍去)或,e,2,=3,所以,e,=,.,思路分析,联想三角形重心的坐标公式,求出,A,B,的坐标,利用,=0,化简可得到关于,a,、,c,的式子,进而求得离心率.,4.,(2016江苏南通一模,7)在平面直角坐标系,xOy,中,已知双曲线,-,=1(,a,0,b,0)过点,P,(1,1),其,一条渐近线方程为,y,=,x,则该双曲线的方程为,.,答案,2,x,2,-,y,2,=1,解析,设所求的双曲线方程为2,x,2,-,y,2,=,(,0),因为双曲线过点,P,(1,1),所以,=2-1=1.所以,所求的,双曲线方程为2,x,2,-,y,2,=1.,5.,(2016江苏苏北四市调研,7)抛物线,y,2,=4,x,的焦点到双曲线,-,=1渐近线的距离为,.,答案,解析,抛物线,y,2,=4,x,的焦点为(1,0),双曲线,-,=1的渐近线为,y,=,x,即3,x,4,y,=0,所以所求距离,d,=,=,.,二、解答题(共25分),6.,(2016江苏扬州中学质检,18)某校兴趣小组运用计算机对轮船由海上行驶入内陆海湾进行了,一次模拟试验.如图,内陆海湾的入口处有暗礁,其中线段,AA,1,B,1,B,CC,1,D,1,D,关于坐标轴或原点对,称,线段,B,1,B,的方程为,y,=,x,x,a,b,在海岸和礁石中间的海域可以作为航道通行.有一艘正在海面,上航行的轮船准备进入内陆海湾,在点,M,处测得该船发出的汽笛声的时刻总比在点,N,处测得汽笛声的时刻晚1 s(设海面上声速为,a,m/s).若该船沿着当前的航线航行(不考虑,轮船的体积).,(1)问兴趣小组观察到轮船的当前的航线所在的曲线方程是什么?,(2)这艘船能否由海上安全驶入内陆海湾?请说明理由.,解析,(1)设轮船所在的位置为,P,由题意可得|,PM,|-|,PN,|=,a,.,a,0,n,0),则,m,=,a,n,=,=,a,.,兴趣小组观察到轮船的当前航线所在的曲线方程是4,x,2,-,y,2,=,a,2,(,x,0).,(2)这艘船能由海上安全驶入内陆海湾.,记直线,l,的方程为,y,=,y,0,.,当0,y,0,a,时,设,l,与双曲线右支、直线,x,=,a,分别交于点,Q,1,S,1,则,Q,1,S,1,(,a,y,0,),a,点,Q,1,在点,S,1,的左侧,船不可能进入暗礁区.,当,b,y,0,a,时,设,l,与双曲线右支、直线,y,=,x,分别交于点,Q,2,S,2,则,Q,2,S,2,(,y,0,y,0,),(,+,a,2,)-,=-,0,0,b,0).,由已知得,a,=,c,=2,由,a,2,+,b,2,=,c,2,得,b,2,=1,故双曲线,C,的方程为,-,y,2,=1.,(2)由,得,(1-3,k,2,),x,2,-6,kmx,-3,m,2,-3=0.,直线与双曲线有两个不同的交点,可得,m,2,3,k,2,-1且,k,2,.,设,M,(,x,1,y,1,),N,(,x,2,y,2,),MN,的中点为,B,(,x,0,y,0,),则,x,1,+,x,2,=,x,0,=,=,y,0,=,kx,0,+,m,=,由题意,得,AB,MN,k,AB,=,=-,(,k,0,m,0),整理得3,k,2,=4,m,+1,将代入,得,m,2,-4,m,0,m,4.,又3,k,2,=4,m,+10(,k,0),m,-,m,的取值范围是,(4,+,).,评析,本题考查了双曲线的标准方程,以及直线与双曲线的位置关系,第(1)问主要就是基本量,的计算,第(2)问首先将直线方程与双曲线方程联立消元,可以用求根公式,但运算量较大,也可借,助根与系数的关系,起到设而不求的目的.,