偏导与积分复习.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,1.,极限,证明极限,不存在,的方法：路径法,求极限的方法（坐标变换法）,2.,连续,上页 下页 返回,有,3.,偏导数,第八章 多元函数微分法,10/30/2026,1,连续性,偏导数存在,方向导数存在,(,以后讲,),可微性,偏导数连续,5.,微分,4.,偏导数计算：复合函数求偏导，隐函数求偏导，,及其高阶导数,10/30/2026,2,例,1.,讨论二重极限,解法,1,解法,2,令,解法,3,令,时,下列算法,是否正确,?,上页 下页 返回,10/30/2026,3,分析,:,解法,1,解法,2,令,此法第一步排除了,沿坐标轴,趋于原点的情况,此法排除了,沿曲线,趋于原点的情况,.,此时极限为,1.,第二步,未考虑分母变化的所有情况,上页 下页 返回,10/30/2026,4,解法,3,令,此法忽略了,的,任意性,极限,不存在,!,由,以上分析可见,三种解法都不对,因为都不能保证,自变量在定义域内,以任意方式趋于原点,.,特别要,注意,在某些情况下可以利用极坐标求极限,但要,注意在定义域内,r,的变化,应该是任意的,.,同时还可看,到,本题极限实际上不存在,.,上页 下页 返回,10/30/2026,5,证,:,利用,故,f,在,(0,0),连续,;,知,在点,(0,0),处,连续,且,偏导数存在,但,不可微,.,例,2.,证明,:,上页 下页 返回,10/30/2026,6,而,所以,f,在点(0,0),不可微,!,而当,上页 下页 返回,10/30/2026,7,(,有二阶连续偏导数,),求,例,3,设,解,上页 下页 返回,10/30/2026,8,上页 下页 返回,10/30/2026,9,上页 下页 返回,例,4,10/30/2026,10,有连续的一阶偏导数,及,分别由下两式确定,求,又函数,答案,:,(2001,考研）,例,5.,设,上页 下页 返回,10/30/2026,11,设,则,两边对,x,求偏导,上页 下页 返回,例,6.,设,10/30/2026,12,例,7.,设,其中,f,与,F,分别具,解；方程两边对,x,求导,得,有一阶导数或偏导数,求,(99,考研,),上页 下页 返回,(,用隐函数求导公式,),10/30/2026,13,例,8.,设,有二阶连续偏导数,且,求,解,:,上页 下页 返回,10/30/2026,14,6.,几何,应用,（,1,）空间曲线切线及法平面,上页 下页 返回,切向量,（,2,）曲面的切平面与法线,10/30/2026,15,7.,方向导数与梯度,（,1,）定义,上页 下页 返回,（,2,）公式,（,3,）梯度,10/30/2026,16,8.,极值,（,1,）无条件极值,第一步 利用必要条件在定义域内找驻点,.,即解方程组,第二步 利用充分条件,判别驻点是否为极值点,.,（,2,）条件极值,(1),简单问题用代入法,如对二元函数,(2),一般问题用拉格朗日乘数法,上页 下页 返回,10/30/2026,17,设拉格朗日函数,如求二元函数,下的极值,解方程组,第二步 判别,比较驻点及边界点上函数值的大小,根据问题的实际意义确定最值,第一步 找目标函数,确定定义域,(,及约束条件,),9.,最值,在条件,求,驻点,.,上页 下页 返回,10/30/2026,18,例,9,.,函数,在点,处的,梯度,解,:,则,注意,x,y,z,具有轮换对称性,(92,考研,),目录 上页 下页 返回 结束,10/30/2026,19,指向,B,(3,2,2),方向的方向导数是,.,在点,A,(1,0,1),处沿点,A,例,10.,函数,提示,:,则,(96,考研,),目录 上页 下页 返回 结束,10/30/2026,20,例,11,曲面,在任一点处的切平面,().,则,故切平面的法向量为,A.,垂直于一定直线,;B.,平行于一定平面,;,C.,与一坐标平面成定角,;D.,平行于一定直线,.,所以,应选,D.,解：设,又,故切平面平行于以,为方向向量的直线,.,10/30/2026,21,例,12.,求曲线,对应点处的切线方程和法平面方程,.,切线方程,法平面方程,即,解,:,由于,对应的切向量为,在,故,上页 下页 返回,时,x,(0)=0,y,(0)=1,z,(0)=2.,又,10/30/2026,22,例,13.,求函数,解,:,第一步 求驻点,.,得驻点,:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).,第二步 判别,.,在点,(1,0),处,为极小值,;,解方程组,的极值,.,求二阶偏导数,目录 上页 下页 返回 结束,10/30/2026,23,在点,(,3,0),处,不是极值,;,在点,(,3,2),处,为极大值,.,在点,(1,2),处,不是极值,;,目录 上页 下页 返回 结束,10/30/2026,24,例,14.,求,旋转抛物面,与平面,之间的最短距离,.,解：,设,为,抛物面,上任一点，,则,P,的,距离为,问题归结为,约束条件,:,目标函数,:,作,拉氏函数,到平面,上页 下页 返回,10/30/2026,25,令,解此,方程组得唯一驻点：,由实际意义最小值存在,故,上页 下页 返回,10/30/2026,26,第九章重积分,1.,二重积分,直角坐标系情形,:,若积分区域为,X,型,则,若积分区域为,Y,型,则,目录 上页 下页 返回,10/30/2026,27,则,极坐标系情形,:,若积分区域为,目录 上页 下页 返回,对称性,是关,则,对称性：,若区域,D,关于,y,轴对称,奇函数,那么,是关于,x,的,于,x,的偶函数，,若,关于,y,轴对称，,与,10/30/2026,28,例,1.,求,其中,D,是由直线,和,y,轴所围成的闭区域。,x,y,O,解：,目录 上页 下页 返回,10/30/2026,29,其中,所以,例,2,把积分,表为极坐标形式的二次积分,解,在极坐标下积分区域可表示为,D,D,1,D,2,D,3,其中积分区域,D,(,x,y,)|,x,2,y,1,1,x,1,目录 上页 下页 返回,10/30/2026,30,例,3.,计算二重积分,其中,:,D,为圆域,解,:,利用对称性,.,目录 上页 下页 返回,10/30/2026,31,其中,解：,由于积分区域,关于,轴对称，被积函数,关于,是奇函数，所以,，,例,4.,10/30/2026,32,下面计算,令,则区域,的极坐标表示为,故,10/30/2026,33,例,5.,计算二重积分,其中,D,是由曲,所围成的平面域,.,解,:,其形心坐标为,:,面积为,:,积分区域,线,形心坐标,目录 上页 下页 返回,10/30/2026,34,例,6.,设,f,(,x,),为,a,b,上的正值连续函数，证明：,证：,其中,目录 上页 下页 返回,10/30/2026,35,2.,三重积分的计算及应用,目录 上页 下页 返回,3.,重积分应用,1.,几何方面,面积,(,平面域或曲面域,),体积,形心,质量,转动惯量,质心,引力,2.,物理方面,10/30/2026,36,例,7.,把积分,化为三次积分,其中,由曲面,提示,:,积分域为,原式,及平面,所围成的闭区域,.,目录 上页 下页 返回,10/30/2026,37,例,8,，计算,其中积分域,面,及平面,与,所围成的体域。,则的柱面坐标表示为：,于是，,解：由题意可知,是由曲,10/30/2026,38,例,9.,解,:,在球坐标系下,利用洛必达法则与导数定义,得,其中,目录 上页 下页 返回,10/30/2026,39,例,10:,计算,解,:,的表达式中含,x,2,+,y,2,+,z,2,令,x,=,r,sin,cos,y,=,r,sin,sin,z,=,r,cos,.,且两,球面方程分别为,r,=,b,和,r,=,a,(,a,b,).,0,a,r=a,z,y,x,b,r=b,及平面,z,=0,围成,.,可用球面坐标求积分,.,则,10/30/2026,40,0,a,r=a,z,y,x,b,r=b,由,的,形状知,a,r,b,0,0,2,.,10/30/2026,41,例,11.,利用柱面坐标计算三重积分,其中,是由曲面,及,的体域。,而,关于,平面对称，,x,是奇函数，故,关于,平面对称，,y,是奇函数，故,由,可得,解：,所围成,目录 上页 下页 返回,10/30/2026,42,因此,在,面上的投影为,故,的柱面坐标表示为：,于是,故,目录 上页 下页 返回,10/30/2026,43,根据对称性，则,其中,极坐标形式为,故,例,12.,求球面,解：球面方程为,目录 上页 下页 返回,被圆柱面,所截得的那一部分的面积（指含在圆柱面内部）。,10/30/2026,44,第十章,.,线积分,1.,曲线积分,第一类,(,对弧长,),第二类,(,对坐标,),(1),统一积分变量,转化,定积分,用参数方程,用直角坐标方程,用极坐标方程,(2),确定积分上下限,第一类,:,下小上大,第二类,:,下始上终,目录 上页 下页 返回,2.,格林公式，曲线积分与路径无关的,4,个等价条件,10/30/2026,45,例,1,计算,其中,L,为圆周,提示,:,利用极坐标,原式,=,说明,:,若用参数方程计算,则,目录 上页 下页 返回,10/30/2026,46,例,2.,计算,其中,L,为摆线,上对应,t,从,0,到,2,的一段弧,.,提示,:,目录 上页 下页 返回,10/30/2026,47,原点,O,的距离成正比,例,3,设一个质点在,处受,恒指向原点,沿椭圆,此质点由点,沿逆时针移动到,提示,:,(,解见,P139,例,5),F,的大小与,M,到原,F,的方向,力,F,的作用,求力,F,所作的功,.,思考,:,若题中,F,的方向,改为与,OM,垂直且与,y,轴夹锐角,则,目录 上页 下页 返回,10/30/2026,48,例,4,计算,其中,为球面,被平面 所截的圆周,.,解,:,由对称性可知,注意：在曲线积分的计算中可以用曲线方程化简被积函数。,目录 上页 下页 返回,10/30/2026,49,例,5,已知椭圆,周长为,a,求,提示,:,原式,=,利用对称性,分析,:,目录 上页 下页 返回,10/30/2026,50,例,6,计算,其中,L,是沿逆,时针方向以原点为中心,解法,1,令,则,这说明积分与路径无关,故,a,为半径的上半圆周,.,目录 上页 下页 返回,10/30/2026,51,解法,2,它与,L,所围区域为,D,(,利用格林公式,),思考,:,(2),若,L,同例,2,如何计算下述积分,:,(1),若,L,改为,顺时针方向,如何计算下述积分,:,则,添加辅助线段,目录 上页 下页 返回,10/30/2026,52,思考题解答,:,(1),(2),目录 上页 下页 返回,10/30/2026,53,计算,其中,L,为上半圆周,提示,:,沿逆时针方向,.,例,7.,目录 上页 下页 返回,10/30/2026,54,