全国通用高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.7立体几何中的向量方法证明平行与垂直.ppt

,剖析题型 提炼方法,实验解读,构建知识网络 强化答题语句,探究高考 明确考向,8.7,立体几何中的向量方法,(,一,),证明平行与垂直,第八章,立体几何与空间向量,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.,直线的方向向量与平面的法向量的确定,(1),直线的方向向量：在直线上任取一,向量作为它的方向向量,.,(2),平面的法向量可利用方程组求出：设,a,，,b,是平面,内两不共线向量，,n,为平面,的法向量，则求法向量的方程组为,2.,用向量证明空间中的平行关系,(1),设直线,l,1,和,l,2,的方向向量分别为,v,1,和,v,2,，则,l,1,l,2,(,或,l,1,与,l,2,重合,),.,(2),设直线,l,的方向向量为,v,，与平面,共面的两个不共线向量,v,1,和,v,2,，则,l,或,l,.,知识梳理,非零,v,1,v,2,存在两个实数,x,，,y,，使,v,x,v,1,y,v,2,(3),设直线,l,的方向向量为,v,，平面,的法向量为,u,，则,l,或,l,.,(4),设平面,和,的法向量分别为,u,1,，,u,2,，则,.,3.,用向量证明空间中的垂直关系,(1),设直线,l,1,和,l,2,的方向向量分别为,v,1,和,v,2,，则,l,1,l,2,.,(2),设直线,l,的方向向量为,v,，平面,的法向量为,u,，则,l,.,(3),设平面,和,的法向量分别为,u,1,和,u,2,，则,.,v,u,u,1,u,2,v,1,v,2,v,1,v,2,0,v,u,u,1,u,2,0,u,1,u,2,1.,判断下列结论是否正确,(,请在括号中打,“,”,或,“”,),(1),直线的方向向量是唯一确定的,.(,),(2),平面的单位法向量是唯一确定的,.(,),(3),若两平面的法向量平行，则两平面平行,.(,),(4),若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行,.(,),(5),若,a,b,，则,a,所在直线与,b,所在直线平行,.(,),(6),若空间向量,a,平行于平面,，则,a,所在直线与平面,平行,.(,),题组一思考辨析,基础自测,1,2,4,5,6,3,2.P104T2,设,u,，,v,分别是平面,，,的法向量，,u,(,2,2,5),，当,v,(3,，,2,2),时，,与,的位置关系为,_,；当,v,(4,，,4,，,10),时，,与,的位置关系为,_.,题组二教材改编,1,2,4,5,6,解析,3,答案,解析,当,v,(3,，,2,2),时，,u,v,(,2,2,5)(3,，,2,2),0,.,当,v,(4,，,4,，,10),时，,v,2,u,.,1,2,4,5,6,答案,3.P111T3,如图所示，在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,O,是底面正方形,ABCD,的中心，,M,是,D,1,D,的中点，,N,是,A,1,B,1,的中点，则直线,ON,，,AM,的位置关系是,_.,3,垂直,解析,1,2,4,5,6,ON,与,AM,垂直,.,3,题组三易错自纠,4.,已知,A,(1,0,0),，,B,(0,1,0),，,C,(0,0,1),，则下列向量是平面,ABC,法向量的是,解析,1,2,4,5,6,答案,3,解析,设,n,(,x,，,y,，,z,),为平面,ABC,的法向量，,x,y,z,.,故选,C.,解析,由,a,n,知，,n,a,，则有,l,，故选,B.,5.,直线,l,的方向向量,a,(1,，,3,5),，平面,的法向量,n,(,1,3,，,5),，则有,A.,l,B.,l,C.,l,与,斜交,D.,l,或,l,1,2,4,5,6,答案,3,解析,6.,已知平面,，,的法向量分别为,n,1,(2,3,5),，,n,2,(,3,1,，,4),，则,A.,B.,C.,，,相交但不垂直,D.,以上均不对,解析,1,2,4,5,6,3,解析,n,1,n,2,，且,n,1,n,2,2,(,3),3,1,5,(,4),23,0,，,，,既不平行，也不垂直,.,答案,题型分类深度剖析,典例,如图所示，平面,PAD,平面,ABCD,，,ABCD,为正方形，,PAD,是直角三角形，且,PA,AD,2,，,E,，,F,，,G,分别是线段,PA,，,PD,，,CD,的中点,.,求证：,PB,平面,EFG,.,题型一利用空间向量证明平行问题,师生共研,证明,证明,平面,PAD,平面,ABCD,，,ABCD,为正方形，,PAD,是直角三角形，且,PA,AD,，,AB,，,AP,，,AD,两两垂直，以,A,为坐标原点，,AB,，,AD,，,AP,所在直线分别为,x,轴，,y,轴，,z,轴，建立如图所示的空间直角坐标系,Axyz,，,则,A,(0,0,0),，,B,(2,，,0,0),，,C,(2,2,0),，,D,(0,2,0),，,P,(0,，,0,2),，,E,(0,0,1),，,F,(0,1,1),，,G,(1,，,2,0).,即,(2,0,，,2),s,(0,，,1,0),t,(1,1,，,1),，,PB,平面,EFG,，,PB,平面,EFG,.,若本例中条件不变，证明平面,EFG,平面,PBC,.,证明,又,EF,平面,PBC,，,BC,平面,PBC,，,EF,平面,PBC,，,同理可证,GF,PC,，从而得出,GF,平面,PBC,.,又,EF,GF,F,，,EF,，,GF,平面,EFG,，,平面,EFG,平面,PBC,.,引申探究,(1),恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键,.,(2),证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可,.,这样就把几何的证明问题转化为向量运算,.,思维升华,跟踪训练,如图，在四面体,A,BCD,中，,AD,平面,BCD,，,BC,CD,，,AD,2,，,BD,2,，,M,是,AD,的中点，,P,是,BM,的中点，点,Q,在线段,AC,上，且,AQ,3,QC,.,证明：,PQ,平面,BCD,.,证明,证明,方法一,如图，取,BD,的中点,O,，以,O,为原点，,OD,，,OP,所在直线分别为,y,，,z,轴的正半轴，建立空间直角坐标系,Oxyz,.,设点,C,的坐标为,(,x,0,，,y,0,，,0).,又,PQ,平面,BCD,，所以,PQ,平面,BCD,.,方法二,在线段,CD,上取点,F,，使得,DF,3,FC,，连接,OF,，同方法一建立空间直角坐标系，写出点,A,，,B,，,C,的坐标，设点,C,坐标为,(,x,0,，,y,0,，,0).,又,PQ,平面,BCD,，,OF,平面,BCD,，,所以,PQ,平面,BCD,.,命题点,1,证线面垂直,典例,如图所示，正三棱柱,(,底面为正三角形的直三棱柱,),ABC,A,1,B,1,C,1,的所有棱长都为,2,，,D,为,CC,1,的中点,.,求证：,AB,1,平面,A,1,BD,.,证明,题型二利用空间向量证明垂直问题,多维探究,证明,方法一,设平面,A,1,BD,内的任意一条直线,m,的方向向量为,m,.,由共面向量定理，则存在实数,，,，,显然它们不共面，并且,|,a,|,|,b,|,|,c,|,2,，,a,b,ac,0,，,bc,2,，以它们为空间的一个基底，,方法二,取,BC,的中点,O,，连接,AO,.,因为,ABC,为正三角形，,所以,AO,BC,.,因为在正三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，平面,ABC,平面,BCC,1,B,1,，,且平面,ABC,平面,BCC,1,B,1,BC,，,所以,AO,平面,BCC,1,B,1,.,取,B,1,C,1,的中点,O,1,，以,O,为原点，分别以,OB,，,OO,1,，,OA,所在直线为,x,轴，,y,轴，,z,轴建立空间直角坐标系，如图所示，,故,AB,1,平面,A,1,BD,.,命题点,2,证面面垂直,典例,如图，在四棱锥,P,ABCD,中，底面,ABCD,是边长为,a,的正方形，侧面,PAD,底面,ABCD,，且,PA,PD,AD,，设,E,，,F,分别为,PC,，,BD,的中点,.,(1),求证：,EF,平面,PAD,；,证明,证明,如图，取,AD,的中点,O,，连接,OP,，,OF,.,因为,PA,PD,，,所以,PO,AD,.,因为侧面,PAD,底面,ABCD,，平面,PAD,平面,ABCD,AD,，,PO,平面,PAD,，,所以,PO,平面,ABCD,.,又,O,，,F,分别为,AD,，,BD,的中点，所以,OF,AB,.,又,ABCD,是正方形，所以,OF,AD,.,以,O,为原点，,OA,，,OF,，,OP,所在直线分别为,x,轴，,y,轴，,z,轴建立空间直角坐标系，,又因为,EF,平面,PAD,，所以,EF,平面,PAD,.,证明,又,PA,PD,，,PD,CD,D,，,PD,，,CD,平面,PDC,，,所以,PA,平面,PDC,.,又,PA,平面,PAB,，所以平面,PAB,平面,PDC,.,(2),求证：平面,PAB,平面,PDC,.,证明垂直问题的方法,(1),利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算,.,其中灵活建系是解题的关键,.,(2),其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：,证明两平面的法向量互相垂直；,利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可,.,思维升华,跟踪训练,如图所示，已知四棱锥,P,ABCD,的底面是直角梯形，,ABC,BCD,90,，,AB,BC,PB,PC,2,CD,，侧面,PBC,底面,ABCD,.,证明：,(1),PA,BD,；,证明,证明,取,BC,的中点,O,，连接,PO,，,平面,PBC,底面,ABCD,，,PBC,为等边三角形，,平面,PBC,底面,ABCD,BC,，,PO,平面,PBC,，,PO,底面,ABCD,.,以,BC,的中点,O,为坐标原点，以,BC,所在直线为,x,轴，过点,O,与,AB,平行的直线为,y,轴，,OP,所在直线为,z,轴，建立空间直角坐标系，如图所示,.,(2),平面,PAD,平面,PAB,.,证明,又,PA,PB,P,，,PA,，,PB,平面,PAB,，,DM,平面,PAB,.,DM,平面,PAD,，,平面,PAD,平面,PAB,.,题型三利用空间向量解决探索性问题,师生共研,典例,(2018,桂林模拟,),如图，棱柱,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,的所有棱长都等于,2,，,ABC,和,A,1,AC,均为,60,，平面,AA,1,C,1,C,平面,ABCD,.,(1),求证：,BD,AA,1,；,证明,证明,设,BD,与,AC,交于点,O,，则,BD,AC,，连接,A,1,O,，,在,AA,1,O,中，,AA,1,2,，,AO,1,，,A,1,AO,60,，,由于平面,AA,1,C,1,C,平面,ABCD,，且平面,AA,1,C,1,C,平面,ABCD,AC,，,A,1,O,平面,AA,1,C,1,C,，,A,1,O,平面,ABCD,.,以,OB,，,OC,，,OA,1,所在直线分别为,x,轴，,y,轴，,z,轴，建立如图所示的空间直角坐标系，,(2),在直线,CC,1,上是否存在点,P,，使,BP,平面,DA,1,C,1,，若存在，求出点,P,的位置，若不存在，请说明理由,.,解答,解,假设在直线,CC,1,上存在点,P,，使,BP,平面,DA,1,C,1,，,取,n,3,(1,0,，,1),，因为,BP,平面,DA,1,C,1,，,即点,P,在,C,1,C,的延长线上，且,C,1,C,CP,.,对于,“,是否存在,”,型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到,“,存在点,”,，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定,“,不存在,”,.,思维升华,跟踪训练,(2016,北京,),如图，在四棱锥,PABCD,中，平面,PAD,平面,ABCD,，,PA,PD,，,PA,PD,，,AB,AD,，,AB,1,，,AD,2,，,AC,CD,.,(1),求证：,PD,平面,PAB,；,证明,证明,平面,PAD,平面,ABCD,，平面,PAD,平面,ABCD,AD,，,AB,AD,，,AB,平面,ABCD,，,AB,平面,PAD,.,PD,平面,PAD,，,AB,PD,.,又,PA,PD,，,PA,AB,A,，且,PA,，,PB,平面,PAB,，,PD,平面,PAB,.,(2),求直线,PB,与平面,PCD,所成角的正弦值；,解答,解,取,AD,的中点,O,，连接,CO,，,PO,.,PA,PD,，,PO,AD,.,又,PO,平面,PAD,，,平面,PAD,平面,ABCD,，,平面,PAD,平面,ABCD,AD,，,PO,平面,ABCD,，,CO,平面,ABCD,，,PO,CO,，,又,AC,CD,，,CO,AD,.,以,O,为原点，,OC,，,OA,，,OP,所在直线分别为,x,轴，,y,轴，,z,轴，建立如图所示空间直角坐标系，,易知,P,(0,0,1),，,B,(1,1,0),，,D,(0,，,1,0),，,C,(2,0,0),，,设,n,(,x,0,，,y,0,，,1),为平面,PCD,的一个法向量,.,设,PB,与平面,PCD,的夹角为,，,BM,平面,PCD,，,BM,平面,PCD,，,解答,典例,(12,分,),如图,1,所示，正,ABC,的边长为,4,，,CD,是,AB,边上的高，,E,，,F,分别是,AC,和,BC,边的中点，现将,ABC,沿,CD,翻折成直二面角,A,DC,B,，如图,2,所示,.,(1),试判断直线,AB,与平面,DEF,的位置关系，并说明理由；,(2),求二面角,E,DF,C,的余弦值；,(3),在线段,BC,上是否存在一点,P,，使,AP,DE,？证明你的结论,.,利用向量法解决立体几何问题,思想方法,思想方法指导,规范解答,思想方法指导,对于较复杂的立体几何问题可采用向量法,(1),用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由,“,形,”,转,“,数,”,的转化思想,.,(2),两种思路：,选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断,.,建立空间直角坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题,.,规范解答,解,(1),AB,平面,DEF,，理由如下：,在,ABC,中，由,E,，,F,分别是,AC,，,BC,中点，得,EF,AB,.,又,AB,平面,DEF,，,EF,平面,DEF,，,AB,平面,DEF,.,1,分,(2),以,D,为原点，分别以,DB,，,DC,，,DA,所在直线为,x,轴，,y,轴，,z,轴，建立如图所示的空间直角坐标系，,设平面,EDF,的法向量为,n,(,x,，,y,，,z,),，,课时作业,1.,已知平面,内有一点,M,(1,，,1,2),，平面,的一个法向量为,n,(6,，,3,6),，则下列点,P,中，在平面,内的是,A.,P,(2,3,3)B.,P,(,2,0,1),C.,P,(,4,4,0)D.,P,(3,，,3,4),基础保,分练,点,P,在平面,内，同理可验证其他三个点不在平面,内,.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.,设,u,(,2,2,，,t,),，,v,(6,，,4,4),分别是平面,，,的法向量,.,若,，则,t,等于,A.3 B.4 C.5 D.6,答案,解析,，则,u,v,2,6,2,(,4),4,t,0,，,t,5.,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.(2017,西安模拟,),如图，,F,是正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,的棱,CD,的中点，,E,是,BB,1,上一点，若,D,1,F,DE,，则有,A.,B,1,E,EB,B.,B,1,E,2,EB,C.,B,1,E,EB,D.,E,与,B,重合,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解析,以,D,为坐标原点，分别以,DA,，,DC,，,DD,1,为,x,，,y,，,z,轴建立空间直角坐标系，设正方形的边长为,2,，,则,D,(0,0,0),，,F,(0,1,0),，,D,1,(0,0,2),，,z,1,，,B,1,E,EB,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.(2017,广州质检,),已知平面,内的三点,A,(0,0,1),，,B,(0,1,0),，,C,(1,0,0),，平面,的一个法向量,n,(,1,，,1,，,1),，则不重合的两个平面,与,的位置,关系是,_.,解析,答案,解析,设平面,的法向量为,m,(,x,，,y,，,z,),，,m,(1,1,1),，,m,n,，,m,n,，,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,AB,AP,，,AD,AP,，则,正确；,又,AB,AD,A,，,AP,平面,ABCD,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.(2018,青海质检,),正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,M,，,N,分别是,C,1,C,，,B,1,C,1,的中点,.,求证：,MN,平面,A,1,BD,.,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,证明,如图所示，以,D,为坐标原点，,DA,，,DC,，,DD,1,所在直线分别为,x,轴，,y,轴，,z,轴建立空间直角坐标系,.,设正方体的棱长为,1,，,设平面,A,1,BD,的法向量为,n,(,x,，,y,，,z,),，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,取,x,1,，得,y,1,，,z,1.,所以,n,(1,，,1,，,1).,又,MN,平面,A,1,BD,，所以,MN,平面,A,1,BD,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.,如图，四边形,ABCD,为正方形，,PD,平面,ABCD,，,PD,QA,，,QA,AB,PD,.,证明：平面,PQC,平面,DCQ,.,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,证明,如图，以,D,为坐标原点，线段,DA,的长为单位长度，,DA,，,DP,，,DC,所在直线分别为,x,轴，,y,轴，,z,轴，建立空间直角坐标系,Dxyz,.,由题意得,Q,(1,1,0),，,C,(0,0,1),，,P,(0,2,0),，,又,DQ,DC,D,，,DQ,，,DC,平面,DCQ,，,PQ,平面,DCQ,，又,PQ,平面,PQC,，,平面,PQC,平面,DCQ,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.(2017,郑州调研,),如图所示，四棱锥,P,ABCD,的底面是边长为,1,的正方形，,PA,CD,，,PA,1,，,PD,，,E,为,PD,上一点，,PE,2,ED,.,(1),求证：,PA,平面,ABCD,；,证明,PA,2,AD,2,PD,2,，即,PA,AD,.,又,PA,CD,，,AD,CD,D,，,AD,，,CD,平面,ABCD,，,PA,平面,ABCD,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2),在侧棱,PC,上是否存在一点,F,，使得,BF,平面,AEC,？若存在，指出,F,点的位置，并证明；若不存在，请说明理由,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解,以,A,为原点，,AB,，,AD,，,AP,所在直线分别为,x,轴，,y,轴，,z,轴建立空间直角坐标系，,则,A,(0,0,0),，,B,(1,0,0),，,C,(1,1,0),，,设平面,AEC,的法向量为,n,(,x,，,y,，,z,),，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,令,y,1,，则,n,(,1,1,，,2).,存在点,F,，使得,BF,平面,AEC,，且,F,为,PC,的中点,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解析,A.,相交,B.,平行,C.,垂直,D.,MN,在平面,BB,1,C,1,C,内,答案,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解析,以点,C,1,为坐标原点，分别以,C,1,B,1,，,C,1,D,1,，,C,1,C,所在直线为,x,轴，,y,轴，,z,轴，建立如图所示的空间直角坐标系，,又,C,1,D,1,平面,BB,1,C,1,C,，,又,MN,平面,BB,1,C,1,C,，所以,MN,平面,BB,1,C,1,C,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.,如图，正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,的棱长为,1,，,E,，,F,分别是棱,BC,，,DD,1,上的点，如果,B,1,E,平面,ABF,，则,CE,与,DF,的和为,_.,解析,答案,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解析,以,D,1,为原点，,D,1,A,1,，,D,1,C,1,，,D,1,D,所在直线分别为,x,，,y,，,z,轴建立空间直角坐标系，设,CE,x,，,DF,y,，则易知,E,(,x,1,1),，,B,1,(1,1,0),，,F,(0,0,1,y,),，,B,(1,1,1),，,B,1,E,平面,ABF,，,即,x,y,1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解析,答案,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解析,设,AC,与,BD,相交于,O,点，连接,OE,，,AM,平面,BDE,，且,AM,平面,ACEF,，平面,ACEF,平面,BDE,OE,，,AM,EO,，,又,O,是正方形,ABCD,对角线的交点，,M,为线段,EF,的中点,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,13.(2018,东莞质检,),如图，圆锥的轴截面,SAB,是边长为,2,的等边三角形，,O,为底面中心，,M,为,SO,的中点，动点,P,在圆锥底面内,(,包括圆周,).,若,AM,MP,，则点,P,形成的轨迹长度为,_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,解析,以,O,点为坐标原点，,OB,，,OS,所在直线分别为,y,轴，,z,轴，建立空间直角坐标系，如图所示，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,