高二数学之4-5课件：模块复习课-第二课-证明不等式的基本方法.ppt

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,2023/5/24,*,课,证明不等式的基本方法,高二数学PPT之4-5课件：模块复习课课证明不等式的基本方法（共39张PPT）,2023/5/24,1,【,网络体系,】,2023/5/24,2,【,核心速填,】,1.,比较法,(1),作差比较法的,依据,:,若,a,bR,则,_ab;a-b=0a=b;_a0,b0,则,_ab;=1a=b;_a0,a-b0,求证,:3a,3,+2b,3,3a,2,b+2ab,2,.,【,证明,】,3a,3,+2b,3,-(3a,2,b+2ab,2,),=3a,2,(a-b)+2b,2,(b-a)=(a-b)(3a,2,-2b,2,).,因为,ab0,所以,a-b0,3a,2,-2b,2,2a,2,-2b,2,0.,从而,(3a,2,-2b,2,)(a-b)0,故,3a,3,+2b,3,3a,2,b+2ab,2,成立,.,2023/5/24,9,【,方法技巧,】,比较法证明不等式的依据及步骤,(1),依据,:,不等式的意义及实数比较大小的充要条件,.,(2),一般步骤,:,作差,;,恒等变形,;,判断结果的符号,;,2023/5/24,10,下结论,.,其中,变形是证明推理中一个承上启下的关键,变形的目的在于判断差的符号,而不是考虑差能否化简或值是多少,变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,可以因式分解,可以运用一切有效的恒等变形,.,2023/5/24,11,【,变式训练,】,1.(2016,南阳高二检测,),已知,a,b,是正实数,n,是正整数,.,求证,:(a+b)(a,n,+b,n,)2(a,n+1,+b,n+1,).,【,证明,】,(a+b)(a,n,+b,n,)-2(a,n+1,+b,n+1,),=a,n+1,+ab,n,+a,n,b+b,n+1,-2a,n+1,-2b,n+1,=ab,n,+a,n,b-a,n+1,-b,n+1,=a(b,n,-a,n,)+b(a,n,-b,n,)=(a-b)(b,n,-a,n,).,2023/5/24,12,当,ab0,时,b,n,-a,n,0,此时,(a-b)(b,n,-a,n,)a0,时,b,n,-a,n,0,a-b0,此时,(a-b)(b,n,-a,n,)0,时,b,n,-a,n,=0,a-b=0,此时,(a-b)(b,n,-a,n,)=0.,综上所述,:(a+b)(a,n,+b,n,)-2(a,n+1,+b,n+1,)0.,即,(a+b)(a,n,+b,n,)2(a,n+1,+b,n+1,).,2023/5/24,13,2.(2016,福州高二检测,),已知,(0,),求证,:2sin2,2023/5/24,14,【,证明,】,2sin2-=4sincos-,因为,(0,),所以,sin0,1-cos0,又,(2cos-1),2,0,所以,2sin2-0,所以,2sin2 .,2023/5/24,15,类型二,综合法证明不等式,【,典例,2】,已知,a0,a,2,-2ab+c,2,=0,且,bca,2,试证明,:bc.,【,证明,】,因为,a,2,-2ab+c,2,=0,所以,a,2,+c,2,=2ab.,又,a,2,+c,2,2ac,且,a0,所以,2ab2ac,所以,bc.,若,b=c,由,a,2,-2ab+c,2,=0,得,a,2,-2ab+b,2,=0,所以,a=b.,从而,a=b=c,这与,bca,2,矛盾,.,从而,bc.,2023/5/24,16,【,方法技巧,】,综合法证明不等式的依据、注意点及思考方向,(1),依据,:,已知的不等式以及逻辑推证的基本理论,.,2023/5/24,17,(2),注意点,:,作为依据和出发点的几个重要不等式,(,已知或已证,),成立的条件往往不同,应用时要先考虑是否具备应有的条件,避免错误,如一些带等号的不等式,应用时要清楚取等号的条件,即对重要不等式中“当且仅当,时,取等号”的理由要理解掌握,.,2023/5/24,18,(3),思考方向,:,综合法证明不等式的思考方向是“顺推”,即由已知的不等式出发,逐步推出其必要条件,(,由因导果,),最后推导出所要证明的不等式成立,.,2023/5/24,19,【,变式训练,】,1.(2016,昆明高二检测,),已知,a,b,是不相等的正实数,求证,:(a,2,b+a+b,2,)(ab,2,+a,2,+b)9a,2,b,2,.,【,解题指南,】,因为,a,b,是不相等的正实数,所以,a,2,b+a+b,2,及,ab,2,+a,2,+b,均可用三正数的均值不等式,从而用综合法可证明,.,2023/5/24,20,【,证明,】,因为,a,b,是正实数,所以,a,2,b+a+b,2,3 =3ab0,(,当且仅当,a,2,b=a=b,2,即,a=b=1,时,等号成立,);,同理,:ab,2,+a,2,+b3 =3ab0,(,当且仅当,ab,2,=a,2,=b,即,a=b=1,时,等号成立,);,2023/5/24,21,所以,(a,2,b+a+b,2,)(ab,2,+a,2,+b)9a,2,b,2,(,当且仅当,a=b=1,时,等号成立,);,因为,ab,所以,(a,2,b+a+b,2,)(ab,2,+a,2,+b)9a,2,b,2,.,2023/5/24,22,2.,若,a,b,c,都是正数,能确定 与,的大小吗,?,【,解析,】,能确定,因为,a,b,c,都是正数,+(b+c)4a,+(a+c)4b,+(a+b)4c,所以 ,2(a+b+c),所以,2023/5/24,23,类型三,分析法证明不等式,【,典例,3】,设,a,b,c,均为大于,1,的正数,且,ab=10.,求证,:,log,a,c+log,b,c4lgc.,2023/5/24,24,【,证明,】,由于,a1,b1,故要证明,log,a,c+log,b,c4lgc,只要证明 ,4lgc.,又,c1,故,lgc0,所以只要证 ,4,即 ,4,因,ab=10,故,lga+lgb=1,只要证明 ,4.(*),2023/5/24,25,由,a1,b1,故,lga0,lgb0,所以,0lgalgb,即,(*),式成立,.,所以,原不等式,log,a,c+log,b,c4lgc,得证,.,2023/5/24,26,【,方法技巧,】,分析法证明不等式的依据,思维方向及适用方法,(1),依据,:,分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论,.,2023/5/24,27,(2),思维方向,:,分析法证明不等式的思维方向是“逆推”,即由待证的不等式出发,逐步寻找使它成立的充分条件,(,执果索因,),最后得到的充分条件是已知,(,或已证,),的不等式,.,2023/5/24,28,(3),适用方法,:,当要证的不等式不知从何入手时,可考虑用分析法去证明,特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效,.,2023/5/24,29,【,变式训练,】,设,f(x)=ax,2,+bx+c(a0),若函数,y=f(x+1),与,f(x),的图象关于,y,轴对称,求证,:,为偶函数,.,2023/5/24,30,【,证明,】,要证 为偶函数,只需证明其对称轴,为,x=0,即只需证,=0,只要证,a=-b,由已知,抛物线,f(x+1),的对称轴,x=-1,与对称轴,x=,关于,y,轴对称,所以,-1=,所以,a=-b,所以 为偶函数,.,2023/5/24,31,类型四,反证法与放缩法证明不等式,【,典例,4】,已知,0 x2,0y2,0z1,y(2-z,)1,z(2-x)1,均成立,.,则三式相乘有,:xyz(2-x)(2-y)(2-z)1,2023/5/24,32,由于,0 x2,所以,0 x(2-x)=-x,2,+2x=-(x-1),2,+11,同理,:0y(2-y)1,且,0z(2-z)1,所以三式相乘得,0b0,m0,则,所以,2023/5/24,36,所以,所以,2023/5/24,37,2.,设,S,n,=,求证,:,不等式,对所有的正整数,n,都成立,.,2023/5/24,38,【,证明,】,因为,且,所以 对所有的正整数,n,都成立,.,2023/5/24,39,