拟合与插值.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,数学建模,拟合与插值,一、插值的基本原理,二、拟合的基本原理,三、插值与拟合的关系,四、插值的,MATLAB,实现,五、拟合的,Matlab,实现,六、应用实例,七、实验作业,我们经常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，例如数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。此类问题在,MATLAB,中有很多现成的函数可以调用，熟悉,MATLAB,，这些方法都能游刃有余的用好。,概述,数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与插值和拟合有关系，例如,98,年美国赛,A,题，生物组织切片的三维插值处理，,94,年,A,题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，,2003,年吵的沸沸扬扬的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理，,2005,年的雨量预报的评价的插值计算。,2001,年的公交车调度拟合问题，,2003,年的饮酒驾车拟合问题。,在实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一些离散数据。插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已知函数的参数或寻求某个近似函数，使所得到的近似函数与已知数据有较高的拟合精度。,如果要求这个近似函数（曲线或曲面）经过所已知的所有数据点，则称此类问题为,插值问题,。（不需要函数表达式）,基本概念,如果不要求近似函数通过所有数据点，而是要求它能较好地反映数据变化规律的近似函数的方法称为,数据拟合,。（必须有函数表达式）,近似函数不一定（曲线或曲面）通过所有的数据点。,1,、联系,都是根据实际中一组已知数据来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数的方法。,2,、区别,插值问题,不一定得到近似函数的表达形式，仅通过插值方法找到未知点对应的值。,数据拟合,要求得到一个具体的近似函数的表达式。,插值与,拟合的区别和联系,插值的使用及求解,当数据量不够，需要补充，且认定已有数据可信时,通常利用函数插值方法。,实际问题当中碰到的函数,f,(,x,),是各种各样的，有的表达式很复杂，有的甚至给不出数学的式子，只提供了一些离散数据，警如，某些点上的函数值和导数值。,选用不同类型的插值函数，逼近的效果就不同，一般有：,（,1,）拉格朗日插值（,lagrange,插值）,（,2,）分段线性插值,（,3,）,Hermite,（,4,）三次样条插值。,插值方法,Matlab,实现：实现分段线性插值不需要编制函数程序，它自身提供了内部的功能函数,interp1(,一维插值,),intep2(,二维,),interp3(,三维,),intern(n,维,),MATLAB,实现插值,用,MATLAB,作插值计算,一维插值函数：,yi,=interp1(x,，,y,，,xi,，,method),插值方法,被插值点,插值节点,xi,处的插值结果,nearest,最邻近插值；,linear,线性插值；,spline,三次样条插值；,cubic,立方插值；,缺省时 分段线性插值,注意：所有的插值方法,都要求,x,是单调的，并且,xi,不,能够超过,x,的范围,例：从,1,点,12,点,的,11,小时内，每隔,1,小时测量一次温度，测得的温度的数值依次为：,5,，,8,，,9,，,15,，,25,，,29,，,31,，,30,，,22,，,25,，,27,，,24,试估计每隔,1/10,小时的温度值,hours=1:12;,temps=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24;,h=1:0.1:12;,t=interp1(hours,temps,h,spline);,plot(hours,temps,r:+,h,t,hours,);%,作图,xlabel(Hour),ylabel(Degrees,Celsius),x,y,机翼下轮廓线,例 已知飞机下轮廓线上数据如下，求,x,每改变,0.1,时的,y,值,要求,x0,y0,单调；,x,，,y,可取,为矩阵，或,x,取行向量，,y,取为列向量，,x,y,的值分别不能超出,x0,y,0,的范围,z=interp2(x0,y0,z0,x,y,method),被插值点,插值方法,用,MATLAB,作网格节点数据的插值,插值节点,被插值点的函数值,nearest,最邻近插值；,linear,双线性插值；,cubic,双三次插值；,缺省时,双线性插值,.,例：测得平板表面,3,5,网格点处的温度分别为：,82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 84,84,82 85 86,试作出平板表面的温度分布曲面,z,=,f,(,x,y,),的图形,输入以下命令：,x=1:5;,y=1:3;,temps=82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86;,mesh(x,y,temps),1.,先在三维坐标画出原始数据，画出粗糙的温度分布曲线图,.,2,以平滑数据,在,x,、,y,方向上每隔,0.2,个单位的地方进行插值,.,再输入以下命令,:,xi=1:0.2:5;,yi,=1:0.2:3;,zi,=interp2(x,y,temps,xi,yi,cubic);,mesh(xi,yi,zi,),画出插值后的温度分布曲面图,.,通过此例对最近邻点插值、双线性插值方法和双三次插值方法的插值效果进行比较,对于情况较复杂的实际问题（因素不易化简，作用机理不详）可直接使用数据组建模，寻找简单的因果变量之间的数量关系，从而对未知的情形作预报。这样组建的模型为拟合模型。拟合模型的组建主要是处理好观测数据的误差，使用数学表达式从数量上近似因果变量之间的关系。拟合模型的组建是通过对有关变量的观测数据的观察、分析和选择恰当的数学表达方式得到的。,拟合的使用及求解,拟合模型的分类,直线拟合、曲线拟合、观察数据修匀,对于已给一批实测数据，由于实测方法、实验环境等一些外界因素的影响，不可避免地会产生随机干扰和误差。我们自然希望根据数据分布的总趋势去剔除观察数据中的偶然误差，这就是所谓的数据修匀（或称数据平滑）问题。,拟 合 问 题 引 例,1,温度,t,(,C,)20.5 32.7 51.0 73.0 95.7,电阻,R,(,)765 826 873 942 1032,已知热敏电阻数据：,求,60,C,时的电阻,R,设,R,=,at,+,b,a,b,为待定系数,拟 合 问 题 引 例,2,t,(h)0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8,c,(,g/ml),19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01,已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据,(,t,=0,注射300,mg),求血药浓度随时间的变化规律,c(t,).,MATLAB(aa1),在直角坐标系下作图如下,(plot),曲 线 拟 合 问 题 的 提 法,已知一组（二维）数据，即平面上,n,个点,（,x,i,y,i,),i,=1,n,寻求一个函数（曲线）,y,=,f,(,x,),使,f,(,x,),在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好,+,+,+,+,+,+,+,+,+,x,y,y,=,f,(,x,),(,x,i,y,i,),i,i,为点,（,x,i,y,i,),与,曲线,y,=,f,(,x,),的距离,曲线拟合问题最常用的解法,线性最小二乘法的基本思路,第一步,:,先选定一组函数,r,1,(,x,),r,2,(,x,),r,m,(,x,),m,0),模型假设,1.,机体看作一个房室，室内血药浓度均匀,一室模型,模型建立,在此，,d,=300mg,，,t,及,c,（,t,）在某些点处的值见前表，需经拟合求出参数,k,、,v.,用线性最小二乘拟合,c,(,t,),MATLAB(lihe1),计算结果：,d=300;,t=0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8;,c=19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01;,y=,log(c,);,a=polyfit(t,y,1),k=-a(1),v=d/exp(a(2),程序：,用非线性最小二乘拟合,c(t,),给药方案 设计,c,c,2,c,1,O,t,设每次注射剂量,D,间隔时间,血药浓度,c,(,t,),应,c,1,c,(,t,),c,2,初次剂量,D,0,应加大,给药方案记为：,2.,1.,计算结果：,给药方案：,c,1,=10,c,2,=25,k=0.2347,v=15.02,故可制定给药方案：,即,:,首次注射,375mg,，,其余每次注射,225mg,，,注射的间隔时间为,4h,练习,1,用给定的多项式，如,y,=,x,3,-6,x,2,+5,x,-3,，产生一组数据,(,x,i,y,i,，,i,=1,2,n,),再在,y,i,上添加随机干扰,(,可用,rand,产生,(0,1),均匀分布随机数,或用,rands,产生,N,(0,1),分布随机数,),，然后用,x,i,和添加了随机干扰的,y,i,作的,3,次多项式拟合，与原系数比较,如果作,2,或,4,次多项式拟合，结果如何？,练习,2,用电压,V,=10V,的电池给电容器充电，电容器上,t,时刻的电压为 ，其中,V,0,是电容器的初始电压,是充电常数,.,试由下面一组,t,，,V,数据确定,V,0,.,练习,3,完成数学建模竞赛,2005,年,C,题,(,雨量预报的评价,),用非线性最小二乘拟合,c,(,t,)-,用,lsq,curvefit,2.,主程序,lihe2.m,如下,clear,tdata,=0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8;,cdata,=19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01;,x0=10,0.5;,x=lsqcurvefit(,curvefun3,x0,tdata,cdata);,f=curvefun3(x,tdata),x,MATLAB(lihe2),1.,用,M,文件,curvefun3.m,定义函数,function,f=curvefun3(x,tdata),d=300,f=(x(1)d)*exp(-x(2)*,tdata,),%x(1)=v;x(2)=k,