树状图求概率.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,列表法,例,1,随机掷一枚均匀的硬币两次,两次正面都朝上的概率是多少,?,解：联系投掷一枚硬币总共有,4,种结果,每种结果出现的可能性相同：,(,正,正,),(,正,反,),(,反,正,),（反，反），,两枚硬币正面都向上的情况是（正，正），概率,是,1/4.,同时抛掷两枚均匀的骰子，骰子各面上的点数分别是,1,2,3,4,5,6.,试分别计算如下各随机事件的概率：,例,2:,(1),抛出的点数之和等于,8,（,2,）抛出的点数之和等于,12,(3),点数之积为奇数,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,第,2,个,第,1,个,用表格表示,(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),总结经验,:,当一次试验要涉及两个因素,并且可能出,现的结果数目较多时,为了不重不漏的列,出所有可能的结果,通常采用列表的办法,解,:,由表中可以看出,同时抛掷两枚骰子,它可,能出现的结果有,36,个,它们出现的可能性等，,（,1,）抛出的点数之和等于,8,的结果（,2,6,）,（,3,5,），（,4,4,），（,5,3,）和（,6,2,）五种,.,所以概率是,5/36,(2),抛出的点数之和等于,12,结果仅有（,6,6,）一种，所以概率是,1/36,(3),满足两张牌的数字之积为奇数,(1,1)(1,3)(1,5)(3,1)(3,3)(3,5)(5,1)(5,3)(5,5),这,9,种情况,所以概率为,9/36=1/4,练习,学校组织春游,安排给九年级,3,辆车,小明与小慧都可以从这,3,辆车中任选一辆搭乘,.,问小明与小慧同车的概率有多大,?,用列表法也试试吧,!,解,:,记这三辆车分别为甲,、,乙、丙,小明与小慧乘车的所有可能的,结果列表如下,(,各种结果发生的可能性相同,),：,小慧选的车,小明选的车,甲,乙,丙,甲,甲,甲,甲,乙,甲,丙,乙,乙,甲,乙,乙,乙,丙,丙,丙,甲,丙,乙,丙,丙,小慧选的车,小明选的车,甲,乙,丙,甲,甲,甲,甲,乙,甲,丙,乙,乙,甲,乙,乙,乙,丙,丙,丙,甲,丙,乙,丙,丙,所有可能的结果总数为,n,=9,小明与小慧同车的结果总数为,m,=3,答,:,小明与小慧同车的概率是,.,第二次,第一次,(,红,1,红,1),(,红,1,红,2),（红,1,黄,1),（红,1,黄,2,）,(,红,2,红,1),(,红,2,红,2),(,红,2,黄,1),(,红,2,黄,2),(,黄,1,红,1),（黄,1,红,2),(,黄,1,黄,1),(,黄,1,黄,2),(,黄,2,黄,1),(,黄,2,红,1),(,黄,2,红,2),(,黄,2,黄,2),红球,1,牛刀小试,一个袋子中装有,2,个黄球和,2,个红球，搅匀后从中任意摸出一个球，放回搅匀后再从中摸出第二个球，用列表法求两次都摸到红球的概率,红球,2,黄球,1,黄球,2,黄球,1,黄球,2,红球,1,红球,2,解：列表如下,所以，一共有,16,种等可能的情况，而两次都摸到红球有,4,种情况，所以,P,（两次摸到红球）,=,第二次,第一次,(,红,1,红,2),（红,1,黄,1),（红,1,黄,2,）,(,红,2,红,1),(,红,2,黄,1),(,红,2,黄,2),(,黄,1,红,1),（黄,1,红,2),(,黄,1,黄,2),(,黄,2,黄,1),(,黄,2,红,1),(,黄,2,红,2),红球,1,红球,2,黄球,1,黄球,2,黄球,1,黄球,2,红球,1,红球,2,解：列表如下,所以，一共有,12,种等可能的情况，而两次都摸到红球有 两 种情况，所以,P,（两次摸到红球）,=,练习变形,一个袋子中装有,2,个黄球和,2,个红球，搅匀后从中任意摸出一个球，搅匀后再从中摸出第二个球，用列表法求两次都摸到红球的概率,放回,不放回,树状图,（,1,）请用列举法完成本题。,（,2,）思考列表法解此题方便吗？,引例：掷三枚硬币,1,次，,3,枚都是正面朝上的概率是多少？,解,P,（,正正正）,P,（,正正反）,所以，这一说法正确,.,正正正,正正反,正反正,反正正,反反反,解,：,抛掷三枚普通的硬币,1,次，共有以下八种机会均等的结果：,正反反,反正反,反反正,例,1,同时抛掷三枚硬币,求下列事件的概率,:,(1),三枚硬币全部正面朝上,;,(2),两枚硬币正面朝上而一枚硬币反面朝上,;,(3),至少有两枚硬币正面朝上,.,正,反,正,反,正,反,正,反,正,反,正,反,正,反,抛掷硬币试验,解,:,由树状图可以看出,抛掷,3,枚硬币的结果有,8,种,它们出现的可能性相等,.,P(A),(1),满足三枚硬币全部正面朝上,(,记为事件,A),的结果只有,1,种,1,8,=,P(B),3,8,=,(2),满足两枚硬币正面朝上而一枚硬币反面朝上,(,记为事件,B),的结果有,3,种,(3),满足至少有两枚硬币正面朝上,(,记为事件,C),的结果有,4,种,P(C),4,8,=,1,2,=,第,枚,树状图能够直观地把各种可能情况表示出来，既简便明了，又不易遗漏,例,2,某班有,1,名男生、,2,名女生在校文艺演出中获演唱奖，另有,2,名男生、,2,名女生获演奏奖。从获演唱奖和演奏奖的学生中各任选一人去领奖，求两人都是女生的概率。,解：设两名领奖学生都是女生的事件为,A,两种奖项各任选,1,人的结果用,“,树状图,”,来表示,开始,获演唱奖的,获演奏奖的,男,女,女,女,1,男,2,男,1,女,2,女,1,男,2,男,1,女,1,男,2,男,1,女,2,女,2,共有,12,中结果，且每种结果出现的可能性相等，其中,2,名都是女生的结果有,4,种，所以事件,A,发生的概率为,P(A)=,3.,用数字,1,、,2,、,3,组成三位数,求其中恰有,2,个相同的数字的概率,.,1,2,3,1,组数开始,百位,个位,十位,1,2,3,1,2,3,1,2,3,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,解,:,由树形图可以看出,所有可能的结果有,27,种,它们出现的可能性相等,.,其中恰有,2,个数字相同的结果有,18,个,.,P(,恰有两个数字相同,)=,18,27,2,3,=,提高,.,把,3,个不同的球任意投入,3,个不同的盒子内,(,每盒装球不限,),计算,:(1),无空盒的概率,;(2),恰有一个空盒的概率,.,1,2,3,盒,1,投球开始,球,球,球,1,2,3,1,2,3,1,2,3,盒,2,盒,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,解,:,由树形图可以看出,所有可能的结果有,27,种,它们出现的可能性相等,.,P(,无空盒,)=,(1),无空盒的结果有,6,个,6,27,2,9,=,(2),恰有一个空盒的结果有,18,个,P(,恰有一个空盒,)=,18,27,2,3,=,想一想,什么时候使用”列表法”方便,?,什么时候使用”树状图法”方便,?,课堂总结,:,用列表法和树状图法求概率时应注意什么情况？,利用树状图或表格可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果,;,从而较方便地求出某些事件发生的概率,.,当试验包含两步时,列表法比较方便,当然,此时也可以用树状图法,当试验在三步或三步以上时,用树形图法方便,.,习题课（一）游戏公平性判断,例,1,：“石头、剪刀、布”是广为流传的游戏，游戏时甲乙双方每次做“石头”“剪刀”“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种手势不分胜负须继续比赛。假定甲、乙两人每次都是等可能地做这三种手势，那么一次比赛时两人做同种手势（不分胜负）的概率是多少？,19,锤子,锤子,剪刀,布,剪刀,锤子,剪刀,布,布,锤子,剪刀,布,列表法：,树状图：,锤子,布,剪刀,锤子,剪刀,布,锤子,剪刀,布,锤子,剪刀,布,例二、,“,配,紫色,”游戏,小颖为学校联欢会设计了一个,“,配紫色,”,游戏,:,下面是两个可以自由转动的转盘,每个转盘被分成相等的几个扇形,.,游戏规则是,:,游戏者同时转动两个转盘,如果转盘,A,转出了红色,转盘,B,转出了蓝色,那么他就赢了,因为红色和蓝色在一起配成了紫色,.,(1),利用树状图或列表的方法表示游戏者所有可能出现的结果,.,(2),游戏者获胜的概率是多少,?,红,白,黄,蓝,绿,A,盘,B,盘,开始,红,白,黄,蓝,绿,(,红,黄,),(,红,蓝,),(,红,绿,),(,白,黄,),(,白,蓝,),(,白,绿,),黄,蓝,绿,从上面的树状图可以看出,一次试验可能出现的结果共有,6,种，,而且每种结果出现的可能性相同,.,其中结果是（红，蓝）的有一种，所以,游戏者获胜的概率是,1/6.,解：,随意转动转盘，所有可能出现的结果如下：,从上面的表格可以看出,一次试验可能出现的结果共有,6,种，,而且每种结果出现的可能性相同,.,其中结果是（红，蓝）的有一种，所以游戏者获胜的概率是,1/6.,第二个,转盘指针所指颜色,第一个,转盘指针所指颜色,黄,蓝,绿,红,(,红,黄,),(,红,蓝,),(,红,绿,),白,(,白,黄,),(,白,蓝,),(,白,绿,),解：,随意转动转盘，所有可能出现的结果如下：,120,0,红,红,蓝,蓝,用如图所示的转盘进行,“,配紫色,”,游戏,.,小颖制作了下图,并据此求出游戏者获胜的 概率是,1/2.,“,配,紫色,”游戏的变异,对此你有什么评论？,开始,红,蓝,红,蓝,红,蓝,(,红,红,),(,红,蓝,),(,蓝,红,),(,蓝,蓝,),“,配,紫色,”游戏的变异,小亮则先把左边转盘的红色区域等分成,2,份,分别记作,“,红色,1,”,“,红色,2,”,然后制作了下表,据此求出游戏者获胜的概率也是,1/2.,120,0,红,1,红,蓝,蓝,红,2,你认为谁做的对,?,说说你的理由,.,红色,蓝色,红色,1,(,红,1,红,),(,红,1,蓝,),红色,2,(,红,2,红,),(,红,2,蓝,),蓝色,(,蓝,红,),(,蓝,蓝,),由“配,紫色,”游戏的变异想到的,120,0,红,1,红,蓝,蓝,红,2,小颖的做法不正确,.,因为左边的转盘中红色部分和蓝色部分的面积不相同,因而指针落在这两个区域的可能性不同,.,小亮的做法是解决这类问题的一种常用方法,.,120,0,红,红,蓝,蓝,用树状图和列表的方法求概率时应注意些什么,?,用树状图和列表的方法求概率时应注意各种结果出现的可能性务必相同,.,例三、如图,有两个可以自由转动的均匀转盘A,B.转盘A被3等分,分别标上1,2,3三个数字;转盘B被4等分,分别标上4,5,6,7四个数字。有人为甲、乙两人设计了一种游戏,其规则如下：同时自由转动转盘A,B,转盘停止后,指针各指向一个数字所在的扇形(如果指针恰好指在分格线上,那么重转一次,直到指针指向某一数字为止).将两指针所指的两个扇形中的数相乘,如果得到的积是偶数,那么甲获胜;如果得到的积是奇数,那么乙胜。你认为这样的规则是否公平?请说明理由;如果不公平,请你设计一个公平的规则,并说明理由。,习题课（二）田忌赛马,例,1,：两人要去风景区游玩，仅知道每天开往风景区有,3,辆汽车，并且舒适程度分别为上，中，下等,3,种，而不知道怎样去区分这些车，也不知道它们会以怎样的顺序开来，于是他们分别采用了不同的乘车方法：甲乘第,1,辆开来的车，乙不乘第,1,辆车，并且仔细观察第,2,辆车的情况：如比第,1,辆车好，就乘第,2,辆车；如不比第,1,辆车好，就乘第,3,辆车，试问甲，乙两人的乘车办法，哪一种更有利于乘上舒适度较好的车？,解：易知，,3,辆汽车开来的先后顺序有如下,6,种可能情况：,（上中下），（上下中），（中上下）,（中下上），（下上中），（下中上）,顺序,甲,乙,（上中下）,上,下,（上下中）,上,中,（中上下）,中,上,（中下上）,中,上,（下上中）,下,上,（下中上）,下,中,甲乘到上等，中等，下等,3,种汽车的概率都是,2/6=1/3,乙乘到上等汽车概率是,3/6=1/2,乘到中等汽车概率是,2/6=1/3,乘到下等汽车概率只有,1/6,所以乙乘上较好车可能性大,（,2006,安徽省课标,10,分）,田忌赛马是一个为人熟知的故事传说战国时期，齐王与田忌各有上、中、下三匹马，同等级的马中，齐王的马比田忌的马强。有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出,-,匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，看样子田忌似乎没有什么胜的希望，但是田忌的谋士了解到主人的上、中等马分别比齐王的中、下等马要强,（,1,）如果齐王将马按上中下的顺序出阵比赛，那么田忌的马如何出阵，田忌才能取胜？,（,2,）如果齐王将马按上中下的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，田忌获胜的概率是多少？（要求写出双方对阵的所有情况）,【,答案,】,解：（,1,）由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的马按上、中、下顺序出阵时，田忌的马按下、上、中的顺序出阵，田忌才能取胜。,（,2,）当田忌的马随机出阵时，双方马的对阵情况如下：,双方马的对阵中，只有一种对抗情况田忌能赢，所以田忌获胜的概率,P=,。,（,2008,安徽省,10,分）,甲同学口袋中有三张卡片，分别写着数字,1,、,1,、,2,，乙同学口袋中也有三张卡片，分别写着数字,1,、,2,、,2,。两人各自从自己的口袋中随机摸出一张卡片，若两人摸出的卡片上的数字之和为偶数，则甲胜；否则乙胜。求甲胜的概率。,甲,乙,【,答案,】,解：所有可能的结果列表如下：,1,1,2,1,偶数,偶数,奇数,2,奇数,奇数,偶数,2,奇数,奇数,偶数,由表可知，所有可能的结果有,9,种，和为偶数的结果有,4,种，,P(,甲胜,)=,答：甲胜的概率是,如果,m,是从,0,，,1,2,3,四个数种任选取一个数，,n,是从,0,1,2,三个数中任取一个数，那么关于,x,的方程 有实数根的概率是多少？,（,2014,年安徽省,12,分）,如图，管中放置着三根同样绳子,AA,1,、,BB,1,、,CC,1,.,（,1,）小明从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子,AA,1,的概率是多少？（,2,）小明先从左端,A,、,B,、,C,三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端,A,1,、,B,1,、,C,1,三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子连结成一根长绳的概率,.,【,答案,】,解：（,1,）三种等可能的情况数，则恰好选中绳子,AA,1,的概率是,（,2,）列表如下：,或画树状图如下：,