高数微分学与中值定理.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,高等数学,工科数学分析、,常微分方程基础、,立体解析几何,第二章 一元微分学,微积分学的产生是科学史上最重大的成就之一。,其实早在公元前五世纪，从安蒂丰建立所谓的穷竭法，经过欧多克索斯（公元前四世纪），到阿基米德(公元前三世纪)的探索和发展，积分学就曾以另外一种面貌，局部的出现过（它比导数思想的出现早得多，当然只要有积分，就会相应的有微分的思想萌芽）。,牛顿和莱布尼茨，发展、整合前人成果，将微分与积分联系起来形成一个系统，创立了微积分学。,在牛顿和莱布尼茨之前，笛卡尔，费尔马，巴罗（牛顿的老师）等人，曾经为了确定曲线的切线以及函数的极大、极小值，运用了微分或导数思想方法。尽管不太成熟，也往往局限于具体的问题和计算。,但是，即便在他们运用微积分学取得了巨大成功的时候，导数与微分，在概念的逻辑基础上，依然存在着巨大的争议-这便是所谓的无穷小危机。,直到十九世纪，极限概念形成并严格化之后，微积分学才有了相对稳固的逻辑基础。,我们将会看到，无论是导数、定积分还是无穷级数求和，都是某种类型的极限。仅从逻辑的角度讲，极限是微积分学的“核”。真正掌握了极限理论，便不难理解微积分学中的所有重要概念。,但是不能忘记：数学理论的生命之源在于现实。微积分学不是纯粹思辨和逻辑的衍生品。,第一节 导数定义以及由定义求导,1.导数概念,1.1,问题与理论抽象-概念的引入,第一个经典问题：这个问题产生自力学，即如何确定（严格说是定义）某时刻的瞬时速度；,第二个经典问题：这是一个与力学密切相关的几何问题。考虑做曲线运动的质点，在每个瞬间，假设没有外力影响，其运动的指向应该是曲线上过该质点所处位置的切线方向，那么曲线上某点处的切线应该如何确定（定义）？,【例1】（变速直线运动瞬时速度）假设有一物质做直线运动，取它运动时所形成的直线为数轴,OS,（图2-1），物体位置,S,与运动时间,t,之间的变化规律为,S=f,(,t,),，假设速度变化是连续的，现在来考虑物体在时刻,t,0,的运动的快慢设,t,0,去取增量,t,，在时刻,t,0,处位置函数得到一个相应的增量,S=f,(,t,0,+,t,),-,f,(,t,0,),即物体从时刻,t,0,到时刻,t,0,+,t,的位移，我们称,为物体在时刻,t,0,到时刻,t,0,+,t,这段时间内的平均速度,O,S,S,0,=f,(,t,0,),S,0,+,S,（图2-1）,S=f,(,t,0,+,t,)-,f,(,t,0,),平均速度,v,与,t,有关，,t,很小时，,v,可近似看做时刻,t,0,时的速度，显然,t,越小，这样的近似度越好自然地将,t,0时 的极限，即,当作物体在时刻t,0,的运动速度，我们称它为时刻t,0,的瞬时速度，记作,【例2】（平面曲线切线的斜率）与切线的静态定义：切线是与曲线只有一个交点的直线不同的是，我们从运动的观点来定义切线，即切线为变动割线的极限位置例如,M,和,N,是曲线,C,上,的两点作割线,MN,当,N,沿曲线,C,趋于,M,时，割线,MN,将绕点,M,旋转而趋于极限位置,MT,（如果它存在）,，,直线,MT,就称为曲线,C,在点,M,处的切线,这里极限位置的含义是：只要弦长,MN,趋于零，,NMT,也趋于零,C,M,N,T,（图2-2）,1.3,导函数,：,在开区间内与在闭区间上可导,1.4,可导与连续：可导必连续，但连续未必可导（例）,1.2,导数的定义及相关概念-某点处可导与不可导；,-相关的符号约定与导数无穷大；,-左导数与右导数。,无论是瞬时变化率还是斜率，先要经过除法计算！,在这里抽象出来的共同形式为：,差商及其极限,。,第三：广义的瞬时变化率。,特别之处在于，要确定在某一点或某一瞬间处的值，所以便要取极限-无法摆脱的无限！,2.由定义求导数的例子：,（2.1）常值函数与恒同函数,（2.2）三角函数y=sinx的导数（y=cosx的导数）,（2.3）指数函数的导数,（2.4）分段定义的函数在分界点处的导数。,（2.4）,函数乘积与倒数（以及商）的导数公式,例,【例2-8】求函数,的导数,f,(,x,),例,【例2-9】求双曲线 在 处的切线方程与法线方程，并证明此曲线上任意一点 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积等于常数,3.,在几何问题上的一个应用（切线与法线方程）,第二节 初等函数导数计算的初等化（计算法则）,问题,：不难看出，由定义求解导数或导函数，本质上就是求极限。当导数存在的时候，根据定义求导数，总是在考察两个无穷小之比的极限。尽管有各种极限运算法则，很多极限的计算（因此由定义求解导数的计算）还是相当复杂繁琐。能否简化这些计算呢？哪怕仅仅是一部分简化，也是很有意义的。,思考,：,已知初等函数是由前面讨论过的,四个基本初等函数,经四则运算、复合以及取反函数得到的（甚至得到多一些）。,如果由导数定义出发，,得到函数运算时的求导法则，那么最低限度，初等函数的求导，就,可以简单到初等运算的程度了,！,但是，别忘记了，定义才是基础！,任何运算法则，总有其适用范围。一旦所求导数不在这个适用范围之内，我们还是要回到定义。,迄今为止，我们接触到的函数运算（即由有限个函数经适当的规则获得一个新的函数），主要是四则运算，函数的复合，以及取反函数。,所以我们首先讨论求导数与这些运算之间有规律性的关系，给出固定的公式-即相关的运算法则。,其次，讨论两类特殊形式的函数关系-隐函数和参数方程（包括极坐标表示）-的求导法则，并分别：,由隐函数求导法则引出一个技巧（对数求导法）；,由参数表示的函数引出“相关变化率”的概念。,例,【例2-15】假设某物体沿直线运动的规律是,S,=3,t,4,-20,t,3,+36,t,2,，问该物体何时向前运动，何时向后运动,1.,函数四则运算的求导法则-证明与例,1.1,函数四则运算的求导公式（务必熟记）,1.2,例题（1）多项式函数；,（2）正切和余切函数（附注：双曲函数都是指数函数四则运算得到的，其导数计算很简单）；,（3）正割和余割函数；,（4）指数函数与三角函数的乘积。,1.3,在运动学中的一个简单应用,2.复合函数的求导法则,2.1,公式与证明,（区分中间变量增量=0和不为0-关于等式的规定）。,注2：需要特别注意导数符号的使用和意义，区别中间变量与初始变量。特别是要明确：导数符号所表示的是以哪一个变量为自变量在求导数。,注3：在熟练之后，计算的时候不必将中间变量都用其它变量符号表示出来。但一定要心中有数。注意到注2中所说的，不要引起混乱。,2.2,多重函数复合与链式法则,注1：链式法则，在求导过程中，几乎时时在用。需多做练习，熟练掌握。,【,例2.2-16】,【例4.2-18】,【例1】一般幂函数的导函数。,注：一般的幂函数是被看做指数函数与对数函数的复合。,2.3,计算举例,3反函数求导法则,3.1公式与证明（注意只要求在一段区间可逆）。,注1：这个结果可以特别容易的从几何直观上观察到。坐标平面上的一条曲线，若在某点处有切线。那么在颠倒两个变量之后，即把原来的横轴换成纵轴，曲线也变换到与对角线对称的位置上，该切线的斜率，恰好是原来斜率的倒数。只要原来的斜率不是0，那么变换之后的切线斜率也就存在（不是无穷大）。,注,2：,利用这个法则，需要注意的是，直接利用反函数求导法则得到的表达式，其导函数中的变量是因变量符号，所以需要利用原来的函数关系，将其变换为自变量表示的函数。,【例2-20】求反正弦函数,y,=,arcsin,x,的导数,【例2-21】求反正切函数,y,=,arctan,x,的导数,3.2例题,【例】求对数函数的导函数,注：在变换过程中，注意到,y,=,arcsin,x,中的y仅在正负 /2之间，所以cosy只取正值。类似考虑arccosx导数公式中变量代换的符号取法。,其它反三角函数的导数公式作为练习。,现在可以说：初等函数的导数都在掌握之中了！,而且从已知的基本初等函数的导数公式可以看出，初等函数的导数还是初等函数。,不过，某些初等函数的导函数的定义域会有一些变化，即导函数的定义域有可能比原函数的定义域少一些点。比如：x的0.5次方，其导数在0点无定义。,但是正如前面介绍初等函数的时候曾经指出，某些重要的函数关系，不见得可以直接表示为初等函数，比如有：隐函数和参数表示的函数关系。,然而这些函数关系的表达，又往往都是借助于初等函数列出的方程。那么是否也可以建立某些求导计算法则，避免只从定义出发求导呢？,（3）。,注：,在这个公式中，,f(x),的导函数表达式中往往会有两个变量，尤其是含有因变量y.但这是没办法的事，毕竟原来就不能将函数关系以显函数的方式表达出来。,但是能够给出关系式，总是很有意义的。,上面给出的法则，是以抽象的公式给出的，下面通过具体计算，领会这个法则是怎样应用的。,4.2,隐函数求导法则的例题：,【例2-22】已知函数,y,=,y,(,x,)由方程,确定，求,【例2-23】求椭圆 在点 处的,切线方程和法线方程,【例2-25】,【例2-24】,5,参数式函数的求导法则,5.1,说明：参数式函数关系，一种间接或局部的函数关系表达方式。往往有更广泛的应用范围。,5.2,一般参数式函数求导公式及其证明,注1：,如果将,y,看做,x,的函数，求导数,(dy/dx），,那么只要,x,对,t,的瞬时变化率（导数）不为零，参数求导的公式就有效。事实上，这时候，起码在一段区间上，,y,确实是,x,的函数。,注2：,这里涉及几个导数，要搞清楚的是，作为曲线切线斜率的导数，到底是在哪个坐标平面上的曲线的切线斜率。,【例2-27】设半径为,a,的动圆在,x,轴上无滑动的滚动，,A,是圆周上的一个定点，开始时点A在原点,O,处设参变量为 ，如图2-6所示则点,A,的轨迹方程为,该曲线称为摆线或旋轮线证明摆线上任一点,A,(,x,y,)处的法线必通过圆与,x,轴相切的切点,B,A,B,O,x,y,图2-6,5.3例题,【例2-29】设雨滴为球体状，若雨滴聚集水分的速率与表面积成正比，证明雨滴半径增加的速率为一常数,【例2-28】求心形线 在对应于 的点处的切线和法线方程,5.3,对极坐标表示的曲线的几何性质分析,注意，矢径对幅角的变化率，并非其所表示曲线的切线斜率。求切线方程还须变换到x-y平面。利用y对x的导数讨论曲线的切线或法线方程。,5.4,相关变化率-参数方程组中参数,t,的几个因变量之间的变化率往往也是相关的。有时可利用这种关系使计算简明。下面举两个例子说明这一点。,【例2-30】某人以2,m,/,s,的速度通过一座桥，桥面高出水面20,m,，在此人的正下方有一条小船以,m,/,s,的速度在与桥垂直的方向航行，求经过5,s,后，人与小船相分离的速度,20m,x,y,s,桥面,水面,注：其实此类问题也可直接计算，不必借用相关变化率。,采用什么方法，主要是看哪一种简单。,第二章第二节作业（习题2-2）,P99-100,3.（2,4,5）；4；5（4,6,7,8）；6；,7.（1,3）；9（1,3）；10；11；12（2）；,14.,15,16作为自己训练的练习题。,第三节 微分,-,概念、意义与计算,3.1,微分的定义,（1）微分概念的定义及符号表示（自变量微分符号的含义）,（2）因变量的增量与因变量微分之间的关系,（3）导数与微分的关系-可微当且仅当可导。,（,3+,）函数微分的几何意义,-,以直代曲。,（2+）,线性与主部-代数意义-因变量增量与其微分之差是自变量增量的高阶无穷小,(简单例子),。,（4）,导数与微商-含义与形式表达式,注：在用微商表示导数的时候，无论是因变量的微分还是自变量的微分，都不是什么无穷小。从它们被引入的方式看，其实都是在导数已经存在的情况下，利用已知导数组成的表达式。但是这种形式上的关系，也给某些计算的表示带来了很多方便。,3.2微分的运算公式,（1）基本初等函数的微分公式（自读-略）。,（2）四则运算的微分公式（注意熟悉表达形式）。,（3）复合函数的微分-一阶微分形式不变性。,（4）,求微分和利用微分形式求导数的例题,【例2-31】设函数,y,=,x,3,求,（1）函数在,x,=1和,x,=3处的微分,（2）函数在,x,=1处,x,=0.01时增量和微分,【例2-32】设,【例2-33】求由方程,y,=sin(,x,+,y,)确定的函数的导数,【例2-34】利用微分计算,sin1和cos46 的近似值,3.3,微分的应用,-,近似计算与误差估计,（1）由等价无穷小得到的一些近似计算关系。,（2）两道例题-三角函数的近似计算（见前页）；,核弹头爆炸当量的效率分析（见后页，待定）。,（3）误差估计,绝对误差限；相对误差限。,几个概念：绝对误差；相对误差；,直接测量值与间接测量值（利用函数）,例题（见下页）,【例2-36】设测得圆的直径,D,=60.03,mm,，测量,D,的绝对误差限,0,=0.05，利用公式,计算圆的面积时，试估计面积的误差,第二章第三节作业：,P107,1（2,4,6）；2（2）；3（1）；4。,微分的计算比较简单，几乎没有新东西。人们也比较容易记住利用它做近似计算。但是微分的概念及其意义，却往往被人忘记。,希望能很好地理解并记住这个概念！,【例2-35】（为什么不宜制造当量级太大的核弹头）核武器具有极大的杀伤力，核弹的爆炸量，即核裂变或聚变时释放出的能量，通常用相当于多少千吨,TNT,炸药的爆炸威力来衡量已知核弹头在与它的爆炸量的立方根成正比的距离内，会产生每平方厘米0.3516kg的超压，这种距离称作有效距离若记有效距离为,D,，爆炸量为,x,，则二者的函数关系为,其中，,C,为比例常数,又知当,x,为100千吨TNT当量时，有效距离,D,为32186kg于是,解出,，所以,如果爆炸当量增加至10倍，即变为1000千吨TNT当量时，则有效距离增加至,约为100千吨TNT当量时的2倍这说明其作用范围并没有因爆炸量的大幅增加而显著增加,下面来研究爆炸量与相对效率的关系所谓相对效率是指核弹的有效距离尺寸爆炸量的变化率,dD,/,dx,，即爆炸量没增加1千吨TNT当量时，有效距离的增加量由,当,x,=100,x,=1时，利用微分近似计算，得,这就是说，对100千吨级（10万吨级）爆炸量的核弹来说，爆炸量每增加1千吨时，有效距离增加10.7m,如果,x,=1000,x,=1，则,即对百万级的核弹来说，每增加1千吨的爆炸量，有效距离仅增加2.3m，相对效率反而下降了,第四节 高阶导数与高阶微分,4.1,高阶导数-定义与计算,导函数也是函数，也有其瞬时变化率。所以还可以求其导数。比如说距离函数的导数是速度函数，速度函数的导数便是加速度函数。对于原来的函数而言，其导函数的导数，就被称为原函数的高阶导数。只要可以，任意有限阶的导数都可以自然引入。,为方便比较，原函数便被称为自身的0阶导数。,符号的约定：微商形式与撇与上标的记法；取值的记法。,【例2-37】求函数 的二阶导数,【例2-38】方程,e,x,-,e,y,=,xy,确定了,y,是,x,的函数，求,4.2,隐函数和参数形式的高阶导数计算,这两种形式的函数所得到的导函数依然是原来的形式-即隐函数或参数形式，所以求高阶导，也就是继续算下去。,【例2-39】设函数,y,=,y,(,x,)由参数方程,确定，求,利用参数形式得到的因变量,y,与自变量,x,之间的导函数，也还是参数表达形式。所以继续求其导函数（,y,对,x,的变化率-这里不要混淆它们与参数的关系），无非是继续利用参数求导公式。,【例2-40】求指数函数,y,=,e,x,的,n,阶导数,【例2-41】求正弦函数,y,=,sin,x,与余弦函数,y=,cos,x,的,n,阶导数,【例2-42】求对数函数,y,=,ln(1+,x,),(,x,-1)的,n,阶导数,4.3,基本初等函数的高阶导数与莱布尼茨公式,（1）,基本初等函数在研究初等函数的微积分时，有基本的重要性，所以不仅要熟记它们的导数，也要熟悉这些函数的各阶导函数。就像为了计算乘法和除法，需要熟记99表一样。,【例2-46】设,y,=,x,2,a,2,x,(,a,0,a,1),，求,y,(20),【例2-43】求幂函数,y,=,的,n,阶导数,【例2-44】求函数,y,=,cos,2,x,的,n,阶导数,【例2-45】求函数,的,n,阶导数,（2）,求两个函数乘积的高阶导-莱布尼茨公式,求导与加减运算可交换顺序，其高阶导公式很简单。但是求导与乘积运算并不可直接交换顺序，所以求其高阶导就不是那么直接。但是利用归纳法，可得一个在形式上与二项式定理类似的公式，即所谓莱布尼茨公式。,【例2-47】设,y,=,xe,x,求d,2,y,4.4,高阶微分,（1）,高阶微分的定义与表示形式,（2）,意义：现在仅能给出一个粗略的说明。后面将会更为清晰。我们知道，一阶微分是因变量的一个线性近似，相差一个自变量增量的高阶无穷小。那么可以猜测这个高阶无穷小应该是dx的二阶无穷小，并且与函数的二阶导有关。类似的，可以想到更高阶的无穷小应该具有dx的n次方的形式，并且也与函数的高阶导数有关。,【例2-48】设函数,y,=,sin,x,2,由函数,y,=sin,u,，,u,=,x,2,复合而来,（1）当,y,=sin,u,时，求,d,2,y,（2）当,y,=sin,x,2,时，求,d,2,y,这个例子是想说明，二阶微分已经不具备微分形式不变性了。这是因为什么呢？,关键在于，当以初始变量,x,表示,y,的二阶微分的时候，在一阶微分中，中间变量,u,的微分,du,也是,x,的函数。这一点在以,u,为自变量表示,y,的二阶微分时，不会表现出来。请注意这个差别。,【例2-49】求,【例2-50】求,2.5,罗比塔（洛必达）法则,为了马上看到高阶导数的用处，这里提前给出一个应用，即利用高阶导数求极限。它可以使某些极限计算变得简单。下面的求导法则，暂时还不能证明。需要后面的柯西中值定理。但是使用起来是很简单的。,罗必塔法则的基本形式（定理给出-证明暂略）,（2）无穷小替换法则与例题计算,（a）介绍三对等价无穷小：,x、arcsinx、arctanx,以及,（b）例题（1-45、1-46），计算,3.6.极限与函数的某些局部区域的性质,（1）如函数在某点有极限，则在某局部区域（某个去心邻域）上函数有界。,（2）局部区域保号性。,（3）海涅定理（函数极限的数列极限刻画）。,海涅定理的一个应用：重新证明本文2.3例3.,注：教材中关于双曲函数的内容留作自学。,