概率论与数理统计第一章5-6-节.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,5 条 件 概 率,一 条 件 概 率,二 乘 法 定 理,三 全概率公式和贝叶斯公式,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.,一、条件概率,1.条件概率的概念,如在事件,B,发生的条件下求事件,A,发生的概率，将此概率记作,P,(,A,|,B,).,一般,P,(,A,|,B,),P,(,A,),第一章 概率论的基本概念,5条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,P,(,A,)=1/6，,例,如,，,掷一颗均匀骰子，,A,=,掷出2点，,B,=,掷出偶数点，,P,(,A,|,B),=？,掷骰子,已知事件,B,发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是,B，,于是,P,(,A,|,B,)=1/3.,B,中共有3个元素，它们的出现是等可能的，其中只有1个在集,A,中，,容易看到,P,(,A,|,B,),第一章 概率论的基本概念,5条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,计算,P,(,A,|,B),时，这个前提条件未变，只是加上“,事件,B,已发生”,这个新的条件.,这好象给了我们一个“,情报”,，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.,下面给出条件概率的定义,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,若事件,B,已发生,则为使,A,也,发生,试验结果必须是既在,B,中又在,A,中的样本点,即此点必属于,AB,.,由于我们已经知道,B,已发生,故,B,变成了新的样本空间,于是 有(1).,设,A、B,是两个事件，且,P,(,B,)0,则称,(1),2.条件概率的定义,为在事件,B,发生的条件下,事件,A,的条件概率.,例,1,两台车床加工同一种零件共100个，结果如下,合格品数 次品数 总计,第一台车床加工数 30 5 35,第二台车床加工数 50 15 65,总 计 80 20 100,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,设,A,=,从100个零件中任取一个是合格品,B,=,从100个零件中任取一个是第一台车床加工的,解：,退 出,前一页,后一页,目 录,3.条件概率的性质：,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,5条件概率,2)直接法：从加入条件后改变了的情况去算,4.条件概率的计算,1)用定义计算:,P,(,B,)0,掷骰子,例：,A,=,掷出2点，,B,=,掷出偶数点,P,(,A,|,B,）=,B,发生后的,缩减样本空间,所含样本点总数,在缩减样本空间,中,A,所含样本点,个数,二、乘法公式,由条件概率的定义,我们得,这就是两个事件的,乘法公式,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,1）两个事件的乘法公式：,退 出,前一页,后一页,目 录,2）多个事件的乘法公式,则有,这就是,n,个事件的,乘法公式,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,例,3,袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取,出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进,一个白球，直至取出黑球为止求取了,n,次都未,取出黑球的概率,解：,则,由乘法公式，我们有,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,例 4,设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时,打破的概率为,1/2,，若第一次落下未打破，第二,次落下打破的概率为,7/10,若前两次落下未打破，,第三次落下打破的概率为,9/10,。求透镜落下三次,而未打破的概率。,解：,以,A,i,(,i,=1,2,3),表示事件“透镜第,i,次落下打,破”，以,B,表示事件“透镜落下三次而未打破”，,有：,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,三、全概率公式和贝叶斯公式,S,A,1,A,2,A,n,.,BA,1,BA,2,.,BA,n,定义,设,S,为试验,E,的样本空间，,为,E,的一组事件。若满足,(1),(2),则称 为样本,空间,S,的一个有限划分,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,1）全 概 率 公 式：,设随机事件,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,全概率公式的证明：,由条件：,得,而且由,A,1,A,2,A,n,.,BA,1,BA,2,.,BA,n,S,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,全概率公式的证明（续）,所以由概率的可加性，得,得,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,全概率公式的使用：,我们把事件,B,看作某一过程的结果，,根据历史资料，每一原因发生的概率已知，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,则我们可用全概率公式计算结果发生的概率,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,例5,某小组有20名射手，其中一、二、三、四 级射手分别为2、6、9、3名又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、.45、0.32，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率,解：,由全概率公式，有,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,2）贝叶斯（,Bayes）,公式,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,设随机事件,则有：,退 出,前一页,后一页,目 录,Bayes,公式的使用,我们把事件,B,看作某一过程的结果，,根据历史资料，每一原因发生的概率已知，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,如果已知事件,B,已经发生，要求此时是由第,i,个原因引起的概率，则用,Bayes,公式,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,例 6,用某种方法普查肝癌，设：,A,=,用此方法判断被检查者患有肝癌，,D,=,被检查者确实患有肝癌，,已知,现有一人用此法检验患有肝癌，求此人真正患有,肝癌的概率,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,说明：,全概率公式，,Bayes,公式中 可以是,退 出,前一页,后一页,目 录,例,6,（续）,解：,由已知，得,所以，由,Bayes,公式，得,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,例 7,袋中有10个黑球，5个白球现掷一枚均匀的,骰子，掷出几点就从袋中取出几个球若已知取,出的球全是白球，求掷出3点的概率,解：,则由,Bayes,公式，得,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,设,B,=,取出的球全是白球,退 出,前一页,后一页,目 录,第一章 概率论的基本概念,5条件概率,说明：,乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式非常重要，在运用时,关键,是找到样本空间的划分。,退 出,前一页,后一页,目 录,一、独立性的定义,例 1,袋中有,a,只黑球，,b,只白球每次从中取出,一球，令：,A,=,第一次取出白球，,B,=,第二次取出白球，,分有放回和不放回情形讨论,第一章 概率论的基本概念,6,独 立 性,同理,（1）有放回情形：,退 出,前一页,后一页,目 录,所以，由,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,（2）不放回情形：,所以，,第一章 概率论的基本概念,同理,退 出,前一页,后一页,目 录,第一章 概率论的基本概念,由此例题你会得到什么结论？,退 出,前一页,后一页,目 录,说 明,由例 1，可知，两种情形中都有,这表明，,在有放回情形，,事件,A,是否发生对事件,B,是否发生在概率上是没有影响的，即事件,A,与,B,呈现出某种独立性,由此，我们引出事件独立性的概念,第一章 概率论的基本概念,在不放回情形有：,在有放回情形有：,在不放回情形，,事件,A,是否发生对事件,B,是否发生在概率上是有影响的，即事件,A,与,B,呈现出不独立性,退 出,前一页,后一页,目 录,(,),(,),A,B,P,B,P,=,(,),(,),A,B,P,B,P,定义：,设,A、B,是两个随机事件，如果,则称,A,与,B,是相互独立的随机事件,二、事件独立性的性质：,1）如果事件,A,与,B,相互独立，而且,(,),(,),),(,),(,A,P,AB,P,A,B,P,B,P,=,=,第一章 概率论的基本概念,2）必然事件,S,与任意随机事件,A,相互独立；,不可能事件,与任意随机事件,A,相互独立,3)若随机事件,A,与,B,相互独立，则,也相互独立.,证明：,为方便起见，只证,相互独立即可,这个性质很重要！,由于,退 出,前一页,后一页,目 录,第一章 概率论的基本概念,注意：,在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意义来加以判断的。具体的说，题目一般把独立性作为条件告诉我们，要求直接应用定义中的公式进行计算。,退 出,前一页,后一页,目 录,例 2,设事件,A,与,B,满足：,若事件,A,与,B,相互独立，则,AB,；（,逆否命题,若,AB=,，,则,事件,A,与,B,不相互独立,证明：,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,由于,AB=,，,所以,但是，由题设,这表明，事件,A,与,B,不相互独立,第一章 概率论的基本概念,此例说明：,互不相容与相互,独立不能同时成立。,退 出,前一页,后一页,目 录,三、多个事件的独立性,设,A、B、C,是三个随机事件，,第一章 概率论的基本概念,1）三个事件的独立性：,则称,A、B、C,是相互独立的随机事件,注意：,在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一不可的即：前三个等式的成立推不出最后一个等式；反之，最后一个等式的成立也推不出前三个等式的成立,试想：,n,个,随机事件的独立性的定义及性质。,如果,退 出,前一页,后一页,目 录,例 3,袋中装有 4 个外形相同的球，其中三个球分别涂有红、白、黑色，另一个球涂有红、白、黑三种颜色现从袋中任意取出一球，令：,A=,取出的球涂有红色,B=,取出的球涂有白色,C=,取出的球涂有黑色,则：,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,由此可见,但是,这表明，,A、B、C,这三个事件是两两独立的，但不是相互独立的,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,2）,n,个事件的相互独立性：,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,说 明,在上面的公式中，,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,第一章 概率论的基本概念,3）独立随机事件的性质：,则：（,1）,其中任意 个随机事件也相互,独立；,退 出,前一页,后一页,目 录,若 是相互独立的事件，则,4）相互独立事件至少发生其一的概率的计算：,第一章 概率论的基本概念,在本章第2节介绍了下面这个公式,在独立的条件下有：,退 出,前一页,后一页,目 录,第一章 概率论的基本概念,注 意,退 出,前一页,后一页,目 录,特别地，如果,(,),(,),(,),p,n,A,P,A,P,A,P,=,=,=,=,L,2,1,则有,时,当,n,(,),n,p,n,i,i,A,P,-,-,=,=,1,1,1,U,1,第一章 概率论的基本概念,此例说明：,小概率事件虽然在一次试验中几乎是不发生的，但是迟早要发生。,不论,p,多么小,退 出,前一页,后一页,目 录,3）,2）,1）,n,例4,如果构成系统的每个元件的可靠性均为,r,，0,r,1.,且各元件能否正常工作是相互独立的，试求下列系统的可靠性：,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,1）每条通路要能正常工作，当且仅当该通路上的各元件都正常工作，故可靠性为,第一章 概率论的基本概念,2）一条通路发生故障的概率为,两条通路同时发生故障的概率为,故系统的可靠性为,即附加通路可使系统可靠性增加。,3）每对并联元件的可靠性为,系统由每对并联的元件串联组成，故可靠性为,由数学归纳法可证明当,解：,退 出,前一页,后一页,目 录,例 5,设有电路如图，其中 1,2,3,4 为继电器接点。设各继电器接点闭合与否相互独立，且每一个继电器接点闭合的概率均为,p,。,求,L,至,R,为通路的概率。,L,R,2,1,3,4,解：,设事件,A,i,(,i,=1,2,3,4),为“第,i,个继电器接点闭合”,L,至,R,为通路这一事件可表示为：,由和事件的概率公式及,A,1,A,2,A,3,A,4,的相互独立性，得到,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,例 6,要验收一批(,100,件)乐器。验收方案如下：自该批乐器中随机地抽取,3,件测试(设 3 件乐器的测试是相互独立的），如果至少有一件被测试为音色不纯，则拒绝接受这批乐器。,不纯,纯 纯,q,纯、纯、纯 接受,p,p,H,1,：,纯 纯 纯,纯、纯、纯 接受,p,p,p,H,0,：,设一件,音色不纯,的乐器被,测试出来,的概率为,0.95,，而一件,音色纯,的乐器被,误测为不纯,的概率为,0.01,。如果这件乐器中恰有,4,件是,音色不纯,的，问这批乐器,被接受,的概率是多少？,p,=1-0.01=0.99,q,=1-0.95=0.05,退 出,前一页,后一页,目 录,p,=1-0.01=0.99,q,=1-0.95=0.05,解：,以,H,i,(,i,=0,1,2,3),表示事件“随机取出的 3 件乐器中恰有,i,件音色不纯”，以,A,表示事件“这批乐器被接受”，即 3 件都被测试为音色纯的乐器。,H,2,：,不纯,纯,不纯,q,纯、纯、纯 接受,p,q,不纯、不纯、不纯,q,纯、纯、纯 接受,q,q,H,3,：,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,p,=1-0.01=0.99,q,=1-0.95=0.05,纯、纯、纯,纯、纯、纯,接受,不纯,纯、纯,纯、纯、纯,接受,不纯,纯,不纯,纯、纯、纯,接受,不纯,纯、纯、纯,接受,H,0,H,1,H,2,H,3,p,p,p,q,q,q,q,q,q,p,p,p,第一章 概率论的基本概念,不纯,不纯,由全概率公式有,由测试的相互独立性得：,退 出,前一页,后一页,目 录,另外，,第一章 概率论的基本概念,代入公式有,退 出,前一页,后一页,目 录,第一章 概率论的基本概念,本节要点：,1）两个事件的独立性及多个事件的独立性定义；,2）两个事件的独立性及多个事件的独立性的性质；,3）,在独立性条件下，求,n,个事件至少发生一个的,概率公式：,注意：,独立事件与互不相容事件的区别与关系；,两两独立与相互独立的区别。,退 出,前一页,后一页,目 录,第一章：小结,随机事件：样本空间，样本空间的划分，事件的关系，事件的运算，事件的互不相容，事件的独立性。,事件的概率：概率的定义及性质，古典概率，几何概率（略），条件概率,加法公式，乘法公式，全概率公式，bayes公式,习题,P34，20：,某种产品的商标是“,MAXAM”,其中有两个字母脱落，有人拣起随意放回，求放回后仍为“,MAXAM”,的 概率？,解：,P33,11,将3个球随机的放入4个杯子中去，求杯子中求的最大个数是1，2，3的概率是多少？,P,杯子中求的最大个数为1=,P,杯子中求的最大个数为3=,P,杯子中求的最大个数为2=,P33 10,在11张卡片上分别写上,probability,这11个字母，从中任意连抽7张，求其排列结果为,ability,的概率？,解,：设字母,b,I,的各两张卡片是可辩的，则基本事件的总数为,记,A,事件为“排列结果为,ability,”，则,P,（,A,）,=,P36,32.,设一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率为1/3，击伤的概率为1/2，击不中的概率为1/6，并设击伤两次也会导致潜水艇下沉，求施放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率？,解：设,A,为“潜艇未被击沉”，等价于“炸弹未击中潜艇或仅一枚炸弹击伤潜艇”，则,