北大高代(第3版).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,主要内容,集合,第 一 节 集合,映射,映射,一、集合,1.集合的定义,集合,集合是数学中最基本的概念之一，,它不能用更简单的概念来定义，而只能对它作些解,释.,所谓,集合,是指由一些确定的对象(或事物)汇集,成的整体，其中每个对象叫集合的,元素,.,通常用大写字母,A,，,B,，,X,，,Y,等表示集合，用,小写字母,a,b,x,y,等表示集合的元素.,如果元素,a,在集合,A,中，就说“,a,属于,A,”，记作,a,A,；,如果元素,a,不在集合,A,中，就说“,a,不属于,A,”，,记作,a,A,.,2.集合的表示法,集合的表示法有两种：,列举法,和,描述法,.,列举法:,把集合中的元素一一列举出来.,例如，设,M,是由数1,2,3 组成的集合，则,M,可记为,M,=1,2,3.,又例如，两个多项式,f,(,x,),g,(,x,)的公因式的集合可,写成,M,=,d,(,x,)|,d,(,x,)|,f,(,x,),d,(,x,)|,g,(,x,).,3.空集合,不包含任何元素的集合称为,空集合,记为,.,例如，,一个无解的线性方程组的解集合是空集合.,把空集合也看作是集合，这一点与通常的习惯不,很一致，但是在数学上有好处，同时也不是完全没,有道理的，正如把 0 也看作是数一样.,4.两个集合之间的关系,1)相等,如果两个集合,M,与,N,含有完全相同的元素，,即,a,M,当且仅当,a,N,，那么它们就称为,相等,，,记为,M=N,.,2)子集合,如果集合,M,的元素全是集合,N,的元素，即由,a,M,可以推出,a,N,，那么,M,就称为,N,的,子集,合,，记为,M,N,或,N,M,.,例如，全体偶数组成的集合是全体整数组成的,集合的子集合.,按定义，每个集合都是它自身的子,集合.,我们规定，空集合是任一集合的子集合.,两个集合,M,和,N,如果同时满足,M,N,和,N,M,，则,M,和,N,相等.,3)交集,设,M,，,N,是两个集合，既属于,M,又属于,N,的,全体元素所组成的集合称为,M,与,N,的,交集,，记为,M,N,.,集合,M,，,N,的交集，用图示法可表示为如下的,的阴影部分.,M,N,M,N,图 6-1,4)并集,属于集合,M,或者属于集合,N,的全体元素所成,的集合称为,M,与,N,的,并集,，记为,M,N,.,集合,M,，,N,的并集，,所示的红色部分.,M,N,M,N,用图示法可表示为如图,设,M,=1,2,3,4 ,N,=2,3,5 ,则,M,N=,1,2,3,4,5.,图 6-2,二、映射,1.映射的定义,定义1,设,X,，,Y,是非空集，所谓集合,X,到集合,Y,的一个,映射,就是指一个法则,，它使,X,中每一个,元素,都有,Y,中一个确定的元素,与之对应.,记为,(,)=,，或,：,.,称为,在映射,下的,像,，而,称为,在映射,下,的一个,原像,.,例 2,M,是数域,P,上全体,n,级矩阵的集合，,定义,1,(,A,)=|,A,|，,A,M,.,这是,M,到,P,的一个映射.,例 3,M,是数域,P,上全体,n,级矩阵的集合，,定义,2,(,a,)=,aE,，,a,P,.,E,是,n,级单位矩阵，这是,P,到,M,的一个映射.,例 4,对于,f,(,x,),P,x,，定义,(,f,(,x,)=,f,(,x,).,这是,P,x,到自身的一个映射.,例 5,设,A,，,B,是两个非空的集合，,b,0,是,B,中,一个固定的元素，定义,(,a,)=,b,0,，,a,A,.,即,把,A,中的每个元素都映射到,b,0,，这是,A,到,B,的一个映射.,例 6,设,M,是一集合，,定义,(,a,)=,a,，,a,M,.,即,把每个元素映到它自身，称为集合,M,的,恒等,映射,或,单位映射,，记为 1,M,.,例 7,任意一个,定义在全体实数上的函数,y,=,f,(,x,),都是实数集合到自身的映射.,因此，,函数可以认为,是映射的一个特殊情形.,3.两个映射相等,定义2,设,、,都是集合,M,到 集合,N,的,映射，,若对,M,中的每个元素,a,都有,(,a,)=,(,a,),则称它们,相等,，记为,=,.,4.映射的乘积,1)定义,定义3,设,、,分别是集合,A,到,B,和,B,到,C,的两个映射，,乘积,定义为,(,)(,a,)=,(,(,a,),a,A,即相继施行,和,的结果，,是,A,到,C,的一个,映射.,(,)=(,),结合律,证明,显然上式两端都是,A,到,D,的映射，要,证明它们相等，只需要证明它们对于,A,中每个元,素的作用都相同，即,(,)(,a,)=(,),(,a,),对于每个,a,A,.,由定义,(,)(,a,),=,(,)(,a,),=,(,(,(,a,),(,),(,a,),=(,)(,(,a,),=,(,(,(,a,).,证毕,注意：,映射的乘法不满足交换律，例如,设,f,(,x,)=sin,x,g,(,x,)=,x,+1,则,g,(,f,(,x,)=sin,x,+1；,f,(,g,(,x,)=sin(,x+,1).,故,g f,f g,.,例 8,满射的有：,单射的有：,双射的有：,在,中，,例 1,2,4,6，当,n,=1 时的例 3;,例 1，3，6;,例 1，6.,显然，对于由有限多个元素组成的集合，即所,谓有限集合来说，两个集合之间存在双射的充分必,要条件是它们所含元素的个数相同.,于是对有限集,合,M,及其子集,M,M,，,M,与,M,就不能建立双射.,对无限集合就不一定如此.,有限集到有限集的映射,的三种情况，可用下图来示意.,X,Y,单射,X,Y,满射,X,Y,双射,图 6-4,2)逆映射的唯一性,如果映射是可逆的，则其逆映射是唯一的.,证明,设,1,，,2,是,的两个逆映射，即,1,=,2,=,1,X,且,1,=,2,=1,Y,.,则有,1,=,1,1,Y,=,1,(,2,)=(,1,),2,=1,X,2,=,2,，,故,的逆映射是唯一的.,证毕,3)映射可逆的条件,集合,X,到,Y,的映射,可逆的充分必条件是,为双射.,证明,先证,必要性,设,可逆，即有唯一的,从集合,Y,到,X,的映射,，使,=1,X,且,=1,Y,于是，对任意的,Y,，有,=,1,Y,(,)=(,)(,)=,(,(,)，,由于,(,),X,，故,是满射；,又因为，若,(,1,)=,(,2,)，,则,1,=1,X,(,1,),=,(,(,1,),),=(,)(,1,),=,(,(,2,),),=(,)(,2,),=1,X,(,2,),=,2,，,故,是单射，从而,是双射.,再证,充分性,.,设,是双射，对任意的,Y,，,存在唯一的,X,，使,(,)=,，于是可定义集,合,Y,到,X,的映射,，使得,(,)=,，其中,是,X,中与,一一对应的元素，这样，对任意的,X,