7--线性定常系统的状态空间分析与综合.ppt

,机 械 控 制 理 论,第七章,线性定常系统的状态空间分析与综合,经典控制理论,现代控制理论,线性定常系统,线性定常、非线性、时变系统,单输入-单输出系统,多输入-多输出系统,传递函数（或者微分方程）,状态空间分析法（由状态变量构成的一阶微分方程组）,只研究输入-输出的关系，不包含其他相互独立的中间变量的信息（即不包含系统的所有信息）,输入-输出通过中间变量反映，反映了系统的全部独立变量的变化，即反映了全部内部状态,经典控制理论和现代控制理论之间的区别,2.,研究方法,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,1.,研究问题区别,7-1 状态变量及状态空间表达式,一、定义,1、状态变量的定义,：能够完全确定系统运动状态的最小个数的一组独立变量,注：、,n,阶系统（即用,n,阶微分方程描述的系统）有,n,个独立变量；,、状态变量不是唯一的，但数目是唯一的；,、状态变量在,t=t,0,时刻已知时（初始条件），且,tt,0,时输入给定时，可完全确定系统在任何时刻,tt,0,时的行为（因,n,个独立的初始条件已知时，,n,阶微分方程有唯一确定的解）,2、状态矢量,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,由,n,个状态变量,x,1,(t),x,2,(t)x,n,(t),组成的矢量,x(t),称为状态矢量，即,或,3、状态空间和状态轨迹,状态变量 为坐标轴所构成的维空间称为状态空间。,为状态空间的一个初始点，为状态空间中对应,t,时刻的一个点。,当,t,由 时 在状态空间中形成点的轨迹，称为状态轨迹。,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,4、状态方程,由系统状态变量构成的一阶微分方程组称为状态方程。,例建立如图所示R-L-C网络的状态方程。,解:当给定独立变量 和 的初始位置系统在任何时刻的状态便可确定，故选 和 为状态变量,由电路原理得包含这两个状态变量的一阶微分方程组，即为状态方程,即,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,写成状态变量的系数在等式左端，状态变量在右端的标准形式，即为,若令 写成矩阵形式,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,或,式中,(要适应矩阵表达方法),写出状态方程的步骤：,确定状态变量（完全、确定的描述系统的最少独立变量个数）,写成状态变量的系数在等式左端，状态变量在等式右端的标准形式,由物理规律写出关于状态变量的一阶微分方程组,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,5、输出方程,反映系统输出于状态变量间的函数关系式称为输出方程，对应例，若输出用Y表示，确定 作为输出，则输出方程为 或,写成矩阵形式,或,式中 (或 ),步骤,：,写入输出和状态变量的表达式,将该表达式写成矩阵形式,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,二、单输入-单输出定常系统状态空间表达式的一般形式,设状态变量为,，则状态方程的一般形式为：,输出方程式一般有：,写成向量矩阵形式的状态空间表达式为,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,式中,为,n,维状态矢量,为（,）维系统矩阵（反映了系统,内部状态的联系）,为（,）维矩阵（列阵）即为输入矩阵或者,控制矩阵（反映了输入对状态的作用）,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,为（,）维输出矩阵，（建立了输出和状态的联系）,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,三、多输入-多输出的状态空间表达式（如具有,r,个输入，,m,个输出）状态方程一般为,输出方程一般为,其状态空间表达式的矢量矩阵形式为,式中 和,-同单输入系统，分别为,维状态矢量和,维系统矩阵,-为,维输入（或控制）矢量,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,-为,维输出矢量,-为,维输入（控制）矩阵,-为,维输出矩阵,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,-为 维直接传递矩阵,（输入直接传递到输出）,一般地（除特别说明），为简单起见，令 ，即不考虑输入矢量的直接传递作用。,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,7-2状态空间表达式的模拟结构图,一、状态空间表达式的系统方块图,1、什么是系统方块图及模拟结构图？,以传递函数表示系统信号之间传递关系的图为方块图。,用积分器表示的系统信号之间传递关系的图为模拟结构图。,2、状态空间表达式结构图的绘制步骤：,确定积分器的数目，积分器的数目等于状态变量的数目或微分方程的阶数；,每个积分器的输出表示相应的单个状态变量，输入为状态 变量的系数；,根据状态方程和输出方程，确定加法器和比例器；,用箭头将这些元件连接起来。,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,3、状态空间表达式一般形式的系统方块图,单输入-单输出系统,多输入-多输出系统,4、举例,画出 的模拟结构图。,画出用以下微分方程描述系统的模拟结构图,分析：微分方程为三阶，故有3个积分器,先画出3个积分器；,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,将微分方程写成最高系数项在等式左端的表达式，即为,其余系数项前的系数分别为各比例器的数值，输入项前的系数为输入比例器的数值，等式右端为4项的代数和，即加法器有4个分支输入。,经过上述分析，不难画出：,画出有以下状态空间表达式描述系统的模拟结构图,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,解仿上例,第1步，先画出3个积分器；,第2步，由状态方程所确定的关系连接有关积分器；,第3步，由状态方程的关系式确定的关系，来自4路，分别相加；,第4步，画出输出方程的关系。,对二输入二输出系统可仿照参考书，此处从略。,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,7-3状态空间表达式的建立（一）,状态空间表达式建立的3种方式,由系统的方块图，根据系统各个环节的实际连结；,由（物理、化学、电子等）机理出发进行推导求得；,由系统运动的微分方程和传递函数。,一、由系统方块图建立状态空间表达式,该方法的关键是由方块图模拟结构图；,取每个积分器的输出作为一个状态变量，其输入是相应的；,根据实际连接写出状态方程和输出方程。,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,例1、如图,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,从图可知,状态方程,输出方程,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,写成矢量矩阵形式，系统的状态空间表达式为,对于含有零点的环节，先展开成部分分式，即,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,二、从系统的机理出发建立状态空间表达式,例 7-2 电网络如图所示，输出量为电流源，并指定以电容,和,上的电压作为输出，求此网络的状态空间表达式。,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,解：取电容,和,上的电压,和,及电感,和,中的电流,和,为状态变量。（四个独立储能元件，故有四个独立变量）,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,即令：,从节点a、b、c,按基尔霍夫电流定律列出电流方程,流经电容,*注：,的电流；,流入节点为正；,流出节点为负。,从三个回路,l,1,、,l,2,、,l,3,，按基尔霍夫定律列出电压方程,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,由以上,6,式消去独立变量,和,得,由第1式得：,代入4式得,由第2式得：,由3式得，,代入5式得,由6式,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,从上式解出：,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,7-3状态空间表达式的建立（一）,例7-3,由即,由牛顿定律，对,为脱离体进行受力分析,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,将,代入整理，即得,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,注,为输入指定 和,为输出,即,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,例7-4 试写出如图所示机械系统的状态空间表达式，,其中,K,为扭转轴的刚性系数（类似弹簧刚度）,B,为粘性阻尼系数,T,为外扭矩,J,为转动惯量,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,令,解：选择扭转轴的转角 为及其角速度 为为状态变量,由牛顿定律，得,即,从而有,而,指定,为输出，即,整理得：,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,例7-5,如图是直流他励电动机的示意图，写出该系统在电枢电压,作为,控制作用时的状态空间表达式。,由电枢回路知,解：流过电感回路的电流,和转体的角速度,为状态变量（转体有两个,独立的状态变量，另一个为转角）即,（,为反电动势）,由动力系方程,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,由电磁感应关系,代入,关系，得到,若指定角速度,为输出，则,若指定电动机的转角,为输出，则需要增加状态变量,即,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,输出方程为,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,若考虑一个单变量线性定常系统，它的运动方程是一个n阶线形常系数微,分方程,相应的传递函数为,所谓实现问题，就是根据上二式寻求如下式的状态空间表达式,7-4状态空间表达式的建立（二）,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,注意：,1,、实现的存在条件是,当,时，状态空间表达式中,当,时，,在这种情况下传递函数可写成,2、实现并非唯一的，,可以取无穷多种形式,3、若原系统传递函数中分子和分母没有公因子，即不出现零极点,对消，系统矩阵 的元素取值不同，但其特征根是相同的。通常把这种没有零极点对消的传递函数的实现称之为,最小实现。,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,一、传递函数中没有零点时的实现（,即没有输入系数项,）,在这种情况下，系统的微分方程为,相应的传递函数为,（7-22）,（,7-23,）,将(,7-22,)移项，并两端同除以,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,令,则,输出方程为,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,表示成矩阵形式为,上述,A,阵为友矩阵，即主对角线上方元素为,1,；最后一行元素可取任意值；其余元素均为零。,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,例7-6,系统的输入输出微分方程为,写出其状态空间表达式。,传递函数标准形式,解：对比标准形式，故,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,故状态方程为,输出为,二、传递函数中有零点时的实现（,即方程中包含输入函数的系数,）,此时，系统的微分方程为,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,相应地，系统传递函数为,实现一：,为了说明方便，又不失一般性，这里先从三阶微分方程出发，如待实现的系统传递函数为,即,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,该式可分解为,令,则,即原传递函数,可分解为以下二式：,由1得，,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,可由上面“,1,中没有输入系数项命题”求得状态方程及它的输入方程,由,2,式取拉氏反变换求输出方程,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,或表示为,其模拟结构图可仿上“1”，只是输出不同罢了。,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,对于,n,阶系统类似地有,对于“1”可见两者状态方程式相同，不同的是输出方程。因此，可根据传,递函数中系数写出状态空间表达式。,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,实现二：,书中的方法是图,1-15,将所有系数项等效地处理一个无系数的,如此按“,1,”中方法求解，然后令图,1-16,（,a,）和图,1-15,等效，再将图,1-16,（,a,）等效变换成图,1-16,（,b,），因图,1-16,（,b,）和图,1-15,等效，并结构,完全相同，求得传递函数后，故可求得,本题也可直接用数学方法求得。,取状态变量为输出 和输入 的多阶导数的适当组合,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,取,分别用,乘上式中的前,项，并移项得,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,上式左端相加后，即为线性微分方程的左端，因此，,上式右端相加后，也应等于线性微分方程的右端。,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,即,如,则自然就有,等式,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,或记为,系统状态空间表达式为,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,注意到上,*,式,再令状态变量中第一式 得，,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,即,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,例,7-7,已知系统的输入输出微分方程为,，试写出其状态空间表达式。,解：由微分方程得,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,状态方程表达式为,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,三、多输入,-,多输出系统微分方程的实现简介（举例）,以双输入双输出的三阶系统为例，设系统的微分方程为,注：虽然第一式导数最高阶为2，但式中为求得,，需要对第一式求导,原式可写为,对每一个方程积分,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,由上面式子，可得模拟结构图（注意一次积分相当一个积分器，两次积分相当两个积分器）,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,取每一个积分器的输出为一个状态变量，如图，则根据模拟结构图可,列出一种实现，,输出：,写成矩阵形式：,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,7-5 状态向量的线性变换（坐标变换）,一、系统状态空间表达式的非唯一性,对于任意状态变量,为什么要进行线性变换？,说明状态变量不同，但实际可以通过线性交换互相转换；,交换成标准形式可使后面的研究简化。,选择不同的状态变量，可以得到不同的状态空间表达式。实质上不同的状态变量可以通过非奇异交换实现。,设系统为,，我们可以找到一个非奇异矩阵（满秩），通过,线性,变换，将,变换为,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,左边乘,，即得,因,为 任意非奇异矩阵，故状态空间表达式非唯一。,新的状态空间表达式,令,即,为变换矩阵（,为非奇异阵，,存在）,代入原状态空间表达式得,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,例,7-8,若系统状态空间表达式为,即,解：若取变换矩阵,则变换后的状态矢量将为,即,亦即新的状态变量,、,是原始状态变量,的线性组合。,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,又,从而得交换后的状态空间表达式为,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,书本,2,）、,3,）举了其他交换矩阵下（我们也可举出任意的非奇异矩阵），可以得到不同的状态空间表达式。,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,二、系统特征值的不变性及系统的不变量,1,、系统特征值的概念,系统,的特征值，也即特征方程：,系统特征值就是系统矩阵,的根。,若 方阵 有,n,个特征值；,实际物理系统中，,A,为实数方阵，故特征值或为实数，或为成对,共轭复数；,A,为是实数对称方阵，则其特征值都是实数。,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,2,、系统的不变量与特征值的不变性,定理：,系统,经非奇异变换后（交换阵为,），其特征值不变，且特征多项式,的系数,也不改变。,证明：,设变换矩阵,为非奇异，则系统可变换为,其特征方程为,而,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,将特征方程写成多项式形式,而特征多项式的系数,唯一地确定，而特征值经非,奇异变换是不变的，即这些系数,也是不变的量。,所以称特征多项式的系数为系统的不变量。,设,3,、特征变量,为,的一个特征值，若存在等个非零矢量,，满足,，则称,为,的对应于,的特征矢量。,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,例,7-9,试求,的特征矢量。,解：,的特征方程为,即,解之,对应于,的特征矢量,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,设,，按特征矢量定义,则有,亦即,解之得,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,令于是,同理，可以算出对应于,时的特征矢量,对应于,时的特征矢量,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,三、状态空间表达式变换为对角线标准型和约旦标准型,定理：对于线性定常系统，如果其特征值,是两两相异的，,1、系数矩阵,A,具有任意形式,经过变换，,化为,则必存在非奇异矩阵,T,，经过变换，状态方程化为对角线标准型。,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,其中,如果特征值包含有,q,个重根时，,则将状态方程化为约旦标准型,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,证明：,先证特征值无重根,设,是,A,的,n,个互异特征根 ，是,A,对应于这些特征值的特征矢量。,由于特征值 互异，故特征矢量 线性无关。它们构成的矩阵 必为非奇异，即 存在。,由特征矢量的意义：,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,两端左乘,得到：,从而，证得经非奇异矩阵,T,变换后，系统矩阵为对角,矩阵,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,7-5 状态向量的线性变换（坐标变换）,当,A,的特征值包含,q,个重根时,不加证明地给出变换矩阵,T,：,其中，是对应于(,n-q,)个单根的特征矢量，求法同前，对应于,q,个,重根的各向量 的求得，应根据下式计算,显然，仍为 对应的特征矢量，其余 则称之为广义特征矢量。,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,讲了三个问题：特征值的求法,特征向量的求法,状态空间表达式线性变换,当矩阵,A,为任意矩阵形式时,a、特征值互异,b、特征值包含,q,个重根 ，其余 为单根，,其中对应于,q,个重根 的各向量 的求得，,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,其中对应于,q,个重根 的各向量 的求得，,后个单根的特征向量求法同前，,即,（）,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,例7-10,试将下列状态方程变换为对角线标准型,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,解：,A,的特征值互异，则变换矩阵,则经,变换后各有关矩阵分别为,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,变换后的状态空间表达式为,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,例7-11,试将 下列状态空间表达式化为约旦标准型。,解：先求出,A,的特征值,即,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,设对应 的特征向量,由特征矢量的定义 得,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,将1，2代入3得到,解得，,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,再求对应于 的另一广义特征向量 ，设 ，,-得,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,最后对应于 的特征矢量 ，设 ，则有,同完全一样，取,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,实际相当两个方程代入得,同完全一样，解得,于是得到变换矩阵,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,为此交换后的矩阵分别为,交换后的状态空间表达式为,第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合,