第5章动态电路时域分析.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,清华大学电路原理教学组,*,第5章 动态电路时域分析,5.1 电感元件和电容元件,5.2 动态电路方程的列写,5.3 动态电路的初始条件,5.4 一阶动态电路,5.6 全响应的分解,5.5 二阶动态电路,5.9 状态变量法,5.7 单位阶跃响应和单位冲激响应,5.8 卷积积分,清华大学电路原理教学组,一、电感元件(,inductor,),inductance,i,+,u,+,e,L,i,+,u,变量:电流,i,磁链,1.线性定常电感元件,=,N,为电感线圈的磁链,L,称为自感系数,L,的单位名称：亨利 符号：H (Henry）,电感以,磁场形式存储能量,。,5.1 电感元件和电容元件,清华大学电路原理教学组,韦安,（,-,i,）特性,i,0,2.线性电感电压、电流关系：,由电磁感应定律与楞次定律,i,右螺旋,e,右螺旋,u,i,关联,i,+,u,+,e,清华大学电路原理教学组,(3)电感元件是一种记忆元件；,(2)当,i,为常数(直流)时，d,i,/d,t,=0,u,=0,电感在直流电路中相当于短路；,(4),当,u,，,i,为关联方向时，,u,=,L,d,i,/d,t；,u,，,i,为,非,关联方向时，,u,=,L,d,i,/d,t 。,电感的电压-电流关系小结：,(1),u,的大小与,i,的,变化率,成正比，与,i,的大小无关；,清华大学电路原理教学组,3.电感的储能,不消耗能量,从,t,0,到,t,电感储能的变化量：,无源元件,清华大学电路原理教学组,等效电感,与各电感的关系式为,结论,：,n,个并联电感的等效电感值 的倒数等于各电感值倒数之和,。,当两个电感并联（,n,=2）时，等效电感值为,清华大学电路原理教学组,二、电容元件 (,capacitor,),电容器,+,+,q,q,线性定常电容元件,电路符号,C,电容以,电场形式存储能量,。,描述电容的两个基本变量:,u,q,对于线性电容，有：,q=Cu,1.,元件特性,C,i,u,+,+,电容,C,的单位：法拉，,符号：F (Farad),常用,F，pF等表示。,清华大学电路原理教学组,库伏（,q,-,u,）,特性,C,tan,q,u,0,2.线性电容的电压、电流关系,C,i,u,+,+,清华大学电路原理教学组,电容的电压-电流关系小结：,(1),i,的大小与,u,的,变化率成正比,，与,u,的大小无关；,(3)电容元件是一种记忆元件；,(2)当,u,为常数(直流)时，d,u,/d,t,=0,i,=0。电容在直流电路中相当于开路，电容有,隔直作用,；,(4)表达式前的正、负号与,u,，,i,的参考方向有关。当,u,，,i,为关联方向时，,i,=,C,d,u,/d,t,；,u,，,i,为,非,关联方向时，,i,=,C,d,u,/d,t,。,清华大学电路原理教学组,3.电容的储能,从,t,0,到,t,电容储能的变化量：,不消耗能量,无源元件,清华大学电路原理教学组,4.电容的串并联,（1）电容的串联,C,eq,u,i,+,_,i,等效电容,C,1,u,i,+,_,u,1,n,个电容串联,C,2,u,2,C,n,u,n,+,+,+,_,_,_,由KVL，有,代入各电容的电压、电流关系式，得,清华大学电路原理教学组,等效电容,与各电容的关系式为,结论,：,n,个串联电容的等效电容值的倒数等于各电容值的倒数之和。,当两个电容串联（,n,=2）时，等效电容值为,清华大学电路原理教学组,（2）电容的并联,C,eq,u,+,_,+,_,q,等效电容,由KCL，有,代入各电容的电压、电流关系式，得,i,n,i,C,1,u,+,_,i,1,C,2,i,2,C,n,+,_,_,+,+,_,q,1,q,2,q,n,n,个电容并联,等效电容,与各电容的关系式为,结论,：,n,个并联电容的等效电容值等于各电容值之和,。,清华大学电路原理教学组,电容元件与电感元件的比较：,电容,C,电感,L,变量,电流,i,磁链,关系式,电压,u,电荷,q,(1),元件方程是同一类型；,(2),若把,u,-,i,，,q,-,，,C,-,L,，,i,-,u,互换,可由电容元件的方程得到电感元件的方程；,(3),C,和,L,称为对偶元件,、,q,等称为对偶元素。,清华大学电路原理教学组,S,未动作前,i,=0,u,C,=0,i,=0,u,C,=,U,S,1.什么是电路的过渡过程,稳定状态,i,+,u,C,U,S,R,C,三、动态电路简介,稳态分析,S,+,u,C,U,S,R,C,i,t,=,0,S,接通电源后很长时间,清华大学电路原理教学组,S,+,u,C,U,S,R,C,i,初始状态,过渡状态,新稳态,过渡过程,：电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程。,t,1,U,S,u,C,t,0,?,过渡状态,（瞬态、暂态）,清华大学电路原理教学组,2.过渡过程产生的原因,（1）电路内部含有储能元件,L 、M、C,能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。,（2）电路结构发生变化,支路接入或断开；参数变化,+,-,u,S,R,1,R,2,R,3,换路,清华大学电路原理教学组,3.稳态分析和暂态分析的区别,稳 态 暂 态,换路发生很,长,时间后,换路,刚刚,发生,i,L,、,u,C,随时间,变化,代数,方程组描述电路,微分,方程组描述电路,I,L,、,U,C,不变,清华大学电路原理教学组,时域分析法,复频域分析法,时域分析法,经典法,拉普拉斯变换法,状态变量法,数值法,4.分析方法,激励,u,(,t,),响应,i,(,t,),返回目录,清华大学电路原理教学组,5.2 动态电路方程的列写,依据：,KCL、KVL,和,元件约束。,清华大学电路原理教学组,i,S(,t,=0),U,S,+,u,R,C,+,u,C,R,例1,例2,i,L,+,u,L,-,S,R,+,_,u,S,+,-,u,R,L,复习常系数线性常微分方程求解过程。,(,t,=0),0.01F,+,-,u,C,0.04H,R,i,L,例3,返回目录,清华大学电路原理教学组,一、,t,=0,+,与,t,=0,-,的概念,换路在,t,=0时刻进行,0,-,t,=0 的前一瞬间,0,+,t,=0 的后一瞬间,5.3 动态电路的初始条件,初始条件就是,t,=0,+,时,u,，,i,及其各阶导数的值。,0,-,0,+,0,t,f,(,t,),清华大学电路原理教学组,二、换路定律,q,=C u,C,t,=0,+,时刻,当,i,(,),为有限值时,i,u,C,C,+,-,q,(0,+,),=,q,(0,-,),u,C,(0,+,)=,u,C,(0,-,),电荷守恒,清华大学电路原理教学组,当,u,为有限值时,L,(0,+,)=,L,(0,-,),i,L,(0,+,)=,i,L,(0,-,),磁链守恒,i,L,u,L,+,-,换路定律成立的条件,!,清华大学电路原理教学组,三、电路初始值的确定,(2)由,换路定律,u,C,(0,+,)=,u,C,(0,-,)=8V,+,-,10V,i,C,(0,),+,8V,-,10k,0,+,等效电路,(1)由,0,-,电路,求,u,C,(0,-,),+,-,10V,+,u,C,-,10k,40k,u,C,(0,-,)=8V,(3)由,0,+,等效电路,求,i,C,(0,+,),i,C,(0,-,)=,0,i,C,(0,+,),例1,+,-,10V,i,C,+,u,C,-,S,10k,40k,求,i,C,(0,+,)。,电阻电路1,电阻电路2,清华大学电路原理教学组,i,L,(0,+,)=,i,L,(0,-,)=2A,例 2,t,=0时闭合开关S,求,u,L,(0,+,)。,i,L,+,u,L,-,L,10V,S,1,4,+,u,L,-,10V,1,4,0,+,电路,2A,电阻电路,清华大学电路原理教学组,(1),例3,i,L,+,u,L,-,L,S,R,+,-,u,S,+,-,u,R,已知,求,(2)0,+,时刻电路:,+,-,+,u,L,-,R,+,-,u,R,i,L,(0,+,),清华大学电路原理教学组,小结求初始值的步骤：,1.由,换路前电路,（稳定状态）求,u,C,(0,-,),和,i,L,(0,-,),。,2.由,换路定律,得,u,C,(0,+,),和,i,L,(0,+,),。,3.画出,0,+,时刻的等效电路,。,（1）画换路后电路的拓扑结构；,（2）电容,（,电感,）用,电压源,（,电流源,）替代。,取0,+,时刻值，方向同原假定的电容电压、,电感电流方向。,4.由0,+,电路求其它各变量的0,+,值。,电阻电路(直流),电阻电路,返回目录,清华大学电路原理教学组,5.4 一阶动态电路,全解=齐次解+特解,全响应=自由响应+强制响应,列方程：,i,S,(,t,=0),U,S,+,u,R,C,+,u,C,R,u,C,(0,-,)=,U,0,非齐次线性常微分方程,解答形式为：,非齐次方程的通解,非齐次方程的特解,例1,一、经典解法,清华大学电路原理教学组,与输入激励的变化规律有关，某些激励时,强制分量,为,电路的稳态解，此时强制分量称为,稳态分量,变化规律由电路参数和结构决定,全解,u,C,(0,+,)=,A+U,S,=,U,0,A=U,0,-,U,S,由起始条件,u,C,(0,+,)=,U,0,定积分常数,A,：,齐次方程 的通解,：,特解（强制分量）,=U,S,：,通解（自由分量，暂态分量）,清华大学电路原理教学组,强制分量(稳态),自由分量(暂态),t,i,0,U,S,U,0,t,u,C,U,0,-U,S,u,C,u,C,U,S,U,0,0,清华大学电路原理教学组,令,=,RC,称,为一阶电路的,时间常数。,时间常数,的大小反映了电路过渡过程时间的长短。,大,过渡过程时间的,长；,小,过渡过程时间的,短。,U,0,t,u,C,0,小,大,电压初值一定：,R,大,（,C,不变）,i=u/R,放电电流小,放电时间,长,C,大,（,R,不变）,W,=0.5,Cu,2,储能大,清华大学电路原理教学组,工程上认为,经过,3,5,过渡过程结束。,A,0.368,A,0.135,A,0.05,A,0.007,A,t,0,2,3,5,A,A,e,-1,A,e,-2,A,e,-3,A,e,-5,：电容电压,衰减到,原来电压,36.8%,所需的时间。,清华大学电路原理教学组,特征方程:,Lp+R=,0,特征根,p,=,确定,A,：,A,=,i,(0,+,)=,I,0,i,(0,+,)=,i,(0,-,)=,i,S(,t,=0),U,S,L,+,u,L,R,R,1,例2,通解：,I,0,t,i,0,清华大学电路原理教学组,令,=,L,/,R,，,一阶,RL,电路的,时间常数,.,L,大 初始储能大,R,小 放电过程功率小,放电慢,大,电流初值一定：,清华大学电路原理教学组,i,L,(0,+,)=,i,L,(0,-,)=1 A,u,V,(0,+,)=,-,10000V,V,坏了！,例3,t,=0,时刻 S 打开,求,u,V,.,电压表量程为 50V.,i,L,L,R,10V,V,根据例2结论,续流二极管,i,L,S,(,t,=0),+,u,V,L,=4H,R,=10,V,R,V,10k,10V,清华大学电路原理教学组,小结：,经典法求解一阶电路过渡过程的一般步骤:,列写,微分方程（以,u,C,或,i,L,等为变量）；,求非齐次方程的通解（相应的齐次方程的解）；,求非齐次方程的特解（稳态解）；,确定初始条件（,0,+,时刻,）；,求初始值的步骤,根据初始条件确定积分常数。,清华大学电路原理教学组,二、三要素法,特点:,（1）同一电路不同支路变量微分方程的,特征方程完全相同,同一电路不同支路变量解的,自由分量形式完全相同,（2）同一电路不同支路变量微分方程,等号右端项和初始值不同,同一电路不同支路变量解的,强制分量和待定系数不同,（3）同一电路不同支路变量解的,强制分量均为该变量的稳态解,i,S,(,t,=0),U,S,+,u,R,C,+,u,C,R,清华大学电路原理教学组,任意支路量方程的形式：,强制分量,自由分量,恒定激励下一阶电路的解的一般形式为,令,t,=0,+,适用范围：激励为,直流,和,正弦交流,!,清华大学电路原理教学组,例4,已知：,t,=0时合开关S。,求 换路后的,u,C,(,t,)的,全响应，,强制分量，自由分量。,解:,t,u,C,2,(V),0.667,0,全响应,强制分量,自由分量,定性画曲线的几个要点,1A,2,1,3F,+,-,u,C,S,清华大学电路原理教学组,三、脉冲序列作用下的,RC,电路,u,S,+,-,u,C,(0,-,)=0,R,+,u,C,-,+,u,R,-,u,S,t,T,2,T,3,T,100V,0,0,t,T,u,C,(0,+,)=0,u,C,(,)=100V,T,2,T,3,T,t,u,C,0,100V,=RC,T,t,清华大学电路原理教学组,0,t,T,稳态解：,U,2,U,1,u,S,+,-,u,C,(0,-,)=0,R,+,u,C,-,+,u,R,-,t,T,2T,3T,100,V,0,u,S,（2）,T,与,接近,等效电路图,100V,+,-,R,+,u,C,-,+,u,R,-,仿真2,u,S,t,T,2,T,3,T,100V,0,这类问题的分析特点：,（1）认为电路已经进入,稳态,（2）画不同状态下的,电路图，求解电路,（3）利用边界条件求出,关键点电压/电流,清华大学电路原理教学组,T,t,2,T,等效电路图,R,+,u,C,-,+,u,R,-,t,T,2T,3T,100V,U,2,U,1,0,u,S,+,-,u,C,(0,-,)=0,R,+,u,C,-,+,u,R,-,清华大学电路原理教学组,t,T,2T,3T,100V,U,2,U,1,0,0,t,T,T,t,2,T,t,=,T,t,=2,T,这类问题的分析特点：,（1）设,电路已经进入稳态,（2）画,电路图，求解电路,（3）利用边界条件求出,关键点电压/电流,u,S,+,-,u,C,(0,-,)=0,R,+,u,C,-,+,u,R,-,C,清华大学电路原理教学组,1.MOSFET反相器的输出延迟,G,D,S,R,L,U,S,u,i,1,G,D,S,R,L,U,S,u,O2,u,O1,u,i,2,u,i,1,u,O2,A,B,u,O1,u,i,2,t,u,i,1,0,t,u,O1,0,t,u,O1,0,四、一阶电路几个典型的应用实例,清华大学电路原理教学组,G,D,S,R,L,U,S,u,i,1,G,D,S,R,L,U,S,u,O2,u,O1,u,i,2,u,i,1,G,D,S,C,GS1,G,D,S,C,GS2,u,O1,u,O2,R,ON,R,L,R,L,U,S,U,S,G,D,S,C,GS1,G,D,S,C,GS2,u,O1,u,O2,R,ON,R,L,R,L,U,S,U,S,u,i,1,u,i1,=“0”,u,i1,=“1”,清华大学电路原理教学组,导通阈值,u,i1,由“1”变为“0”,C,GS2,充电,u,i,1,G,D,S,C,GS1,G,D,S,C,GS2,u,O1,u,O2,R,ON,R,L,R,L,U,S,U,S,G,D,S,C,GS1,G,D,S,C,GS2,u,O1,u,O2,R,ON,R,L,R,L,U,S,U,S,u,i,1,u,i1,=“0”,u,i1,=“1”,U,S,R,L,C,GS2,+,_,U,O1,+,_,清华大学电路原理教学组,关断阈值,C,GS2,放电,u,i1,由,“,0,”,变为“1”,u,i,1,G,D,S,C,GS1,G,D,S,C,GS2,u,O1,u,O2,R,ON,R,L,R,L,U,S,U,S,G,D,S,C,GS1,G,D,S,C,GS2,u,O1,u,O2,R,ON,R,L,R,L,U,S,U,S,u,i,1,u,i1,=“0”,u,i1,=“1”,U,S,R,L,R,ON,C,GS2,+,_,U,O1,+,_,清华大学电路原理教学组,t,pd,0,1,t,pd,1,0,t,u,i1,0,t,u,O2,0,t,u,O1,0,U,OL,U,OH,清华大学电路原理教学组,2.DC-DC变换,问题：如何改变直流电压？,方法一：,u,GS,t,T,2,T,3,T,0,u,t,T,2,T,3,T,U,S,0,+,u,R,U,S,D,S,G,缺点,：类似桥式整流，,直流质量较差。,改进思路：,利用,电感,维持电流的能力。,开关信号,清华大学电路原理教学组,u,GS,u、i,t,ON,t,OFF,t,0,t,t,ON,时段等效电路,I,1,I,2,+,u,R,U,S,L,i,+,u,R,U,S,D,S,G,L,i,i,T,这类问题的分析特点：,（1）设,电路已经进入稳态,（2）画,电路图，,求,电路解,（3）利用边界条件求出,关键点电压/电流,0,方法二：,清华大学电路原理教学组,t,ON,t,0,u,S,0，,u,=,u,S,条件,i,0,u,S,RC,放电速度。,u,C,u,S,，,D1和D4截止。,u,S,0时,u,C,u,S,，二极管不导通,0,t,假设,u,C,为某值,+,_,i,+,_,u,C,R,C,D1,D4,C,很大,RC,放电,清华大学电路原理教学组,u,S,-,u,S,，二极管不导通,清华大学电路原理教学组,4.用Op Amp构成微分器和积分器,（1）积分器,+,-,+,+,_,u,o,+,_,u,i,R,1,R,C,u,C,u,R,如果,u,i,U,S,（常数），则,线性函数,清华大学电路原理教学组,（2）微分器,+,-,+,+,_,u,o,+,_,u,i,R,1,R,C,u,C,u,R,如果,u,i,t,U,S,（线性函数），则,常数,清华大学电路原理教学组,正反馈电路：虚短不再适用,虚断仍然适用,电路开始工作时存在,小扰动,。,由于正反馈，,u,o,为,U,sat,或,U,sat,设,u,o,U,sat,，,则,u,+,-,+,+,_,u,o,R,R,C,+,_,u,C,R,1,设此时,u,C,=0，等效电路为,+,-,U,sat,+,u,C,-,C,R,1,上升至 时,u,C,=,由于正反馈，,u,o,U,sat,5.用Op Amp构成脉冲序列发生器,清华大学电路原理教学组,u,o,U,sat,，此时,u,C,=,U,sat,/2，等效电路为,+,U,sat,+,u,C,-,C,R,1,下降至 时，,u,C,=,由于正反馈，,u,o,U,sat,+,-,+,+,_,u,o,R,R,C,+,_,u,C,R,1,清华大学电路原理教学组,t,u,O,+,-,+,+,_,u,o,R,R,C,+,_,u,C,R,1,u,C,0,占空比：,D,=,t,on,/,T,也可以得到,如何使占空比可调？,t,=,T,/2时,如何产生三角波？,返回目录,清华大学电路原理教学组,R,分别为5,、4,、1,、0,时求,u,C,(,t,)、,i,L,(,t,)，,t,0。,u,C,(0,-,)=3V,i,L,(0,-,)=0,(,t,=0),0.01F,+,-,u,C,0.04H,R,i,L,1.列方程,5.5 二阶动态电路,一、经典解法求解析表达式,清华大学电路原理教学组,2.求自由分量,特征方程,(,t,=0),0.01F,+,-,u,C,0.04H,R,i,L,清华大学电路原理教学组,R,5,R,4,R,1,(,t,=0),0.01F,+,-,u,C,0.04H,R,i,L,过阻尼,临界阻尼,欠阻尼,清华大学电路原理教学组,有关欠阻尼二阶动态电路中3个参数的讨论：,自由振荡角频率/,自然角频率,衰减系数,欠阻尼,0,物理上稳定的系统,衰减振荡角频率,清华大学电路原理教学组,3.用初值确定待定系数,R,5,R,4,R,1,清华大学电路原理教学组,R,5,R,4,R,1,(,t,=0),0.01F,+,-,u,C,0.04H,R,i,L,看仿真,清华大学电路原理教学组,i,L,u,C,过阻尼，无振荡放电,4.波形与能量传递,R,5,0,t,t,m,u,C,减小,i,减小。,t,m,R,L,C,R,L,C,清华大学电路原理教学组,i,L,u,C,0,t,t,m,u,C,减小,i,减小.,R,4,t,m,R,L,C,R,L,C,临界阻尼，无振荡放电,清华大学电路原理教学组,欠阻尼，振荡放电,R,1,u,C,i,L,清华大学电路原理教学组,u,C,i,L,R,L,C,u,C,减小，,i,增加,R,L,C,u,C,减小，,i,减小,|,u,C,|,增加，,i,减小,R,L,C,讨论半个周期中能量的关系,周而复始，电阻不断消耗能量，,u,C,i,L,衰减到零。,清华大学电路原理教学组,(,t,=0),0.01F,+,-,u,C,0.04H,i,L,R,0,无阻尼振荡,清华大学电路原理教学组,二、用直觉解法定性画支路量的变化曲线,1.过阻尼或临界阻尼（无振荡衰减）,初值,导数初值,终值,(,t,=0),0.01F,+,-,u,C,0.04H,R,i,L,3,u,C,(0,-,)=3V,i,L,(0,-,)=0,u,C,i,L,u,C,t,0,i,L,t,0,以过阻尼为例。,清华大学电路原理教学组,2.欠阻尼（衰减振荡）,初值,导数初值,终值,经过多少周期振荡衰减完毕,(,t,=0),0.01F,+,-,u,C,0.04H,R,i,L,u,C,(0,-,)=3V,i,L,(0,-,)=0,回忆一阶电路中的时间常数,：,35,后过渡过程结束,后过渡过程结束,振荡周期为,衰减过程中有,0.24/0.132次振荡,或0.4/0.13,3次振荡,衰减系数,衰减,振荡角频率,d,清华大学电路原理教学组,(,t,=0),0.01F,+,-,u,C,0.04H,R,i,L,衰减过程中有,0.24/0.132次振荡,或0.4/0.13,3次振荡,3,u,C,u,C,t,0,初值,导数初值,终值,经过多少周期振荡衰减完毕,清华大学电路原理教学组,3.无阻尼,初值,导数初值,最大值,u,C,(0,-,)=3V,i,L,(0,-,)=0,因为无阻尼，所以能量守恒,i,L,取最大值时，,u,C,=0，因此,1.5,-1.5,(,t,=0),0.01F,+,-,u,C,0.04H,i,L,i,L,t,0,i,L,清华大学电路原理教学组,三、关于列写方程和求初值的讨论,C,+,-,u,L,L,R,i,L,+,-,u,C,-,+,u,R,清华大学电路原理教学组,特点：,（1）同一电路不同支路变量微分方程的,特征方程完全相同,自由分量形式完全相同,（2）同一电路不同支路变量微分方程,等号右端项和初值不同,强制分量和待定系数不同,（3）同一电路不同支路变量微分方程列写和初值获取,难度不同,返回目录,清华大学电路原理教学组,5.6 全响应的分解,全解=齐次解+特解,全响应=自由响应+强制响应,激励,外部输入（独立源）,元件的初始储能,零状态响应,零输入响应,+,=,全响应,清华大学电路原理教学组,i,S,(,t,=0),U,S,+,u,R,C,+,u,C,R,u,C,(0,-,)=,U,0,i,S,(,t=,0),U,S,+,u,R,C,+,u,C,R,=,u,C,(0,-,)=0,+,u,C,(0,-,)=,U,0,C,+,u,C,i,S(,t=,0),+,u,R,R,全响应=零状态响应+零输入响应,零状态响应,零输入响应,i,S(,t,=0),U,S,+,u,R,C,+,u,C,R,u,C,(0,-,)=,U,0,例1,强制分量(稳态解),自由分量(暂态解),清华大学电路原理教学组,零状态响应,零输入响应,t,u,C,0,U,S,零状态响应,全响应,零输入响应,U,0,u,C,-U,S,U,0,暂态解,u,C,U,S,稳态解,U,0,u,C,全解,t,u,C,0,强制分量(稳态解),自由分量(暂态解),清华大学电路原理教学组,两种分解方式的比较：,零状态响应,零输入响应,物理概念清楚,利于叠加,计算简单,全响应=零状态响应+零输入响应,全响应=强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解),强制分量(稳态解),自由分量(暂态解),清华大学电路原理教学组,原因1：ZIR 和 ZSR 都是可能单独出现的过渡过程,原因2：ZSR 对于分析一般激励的响应非常重要,i,S(,t,=0),U,S,+,u,R,C,+,u,C,R,u,C,(0,-,)=0,零状态,激励,响应,输入输出线性关系,清华大学电路原理教学组,小结：,2.,一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为,零输入线性,。,一阶电路的零输入响应是由储能元件的初始储能引起的响应,都是从初始值衰减为零的,指数衰减函数,。,3.,衰减快慢取决于,时间常数,RC,电路,=,RC,RL,电路,=,L,/,R,4.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。,1.,一阶电路的零状态响应与输入成正比，称为,零状态线性,。,5.,一阶电路的全响应既不与初始值成正比，也不与输入成正比。,返回目录,清华大学电路原理教学组,一、单位阶跃函数(,unit-step function,),1.定义,用,来描述开关的动作：,t,=0,合S,u,(,t,)=,E,t,=0,拉闸,i,(,t,)=,I,S,S,E,u,(,t,),t,(,t,),0,1,I,S,S,5.7 单位阶跃响应和单位冲激响应,清华大学电路原理教学组,2.单位阶跃函数的延迟,3.由单位阶跃函数可组成复杂的信号,例 1,(,t,),t,f,(,t,),1,0,1,t,0,t,f,(,t,),0,t,(,t-t,0,),t,0,0,1,t,0,-,(,t-t,0,),清华大学电路原理教学组,例 2,1,t,1,f,(,t,),0,t,1,t,1,0,1,1,f,(,t,),1,2,1,2,0,t,(s),V,例3,清华大学电路原理教学组,i,C,+,u,C,R,u,C,(0,-,)=0,二、单位阶跃响应,单位阶跃激励下电路的零状态响应,t,u,C,1,注意,和,的区别,t,0,1,i,t,0,i,清华大学电路原理教学组,u,(,t,)=,(,t,)+,(,t,-,1),-,2,(,t,-,2),(,t,),(1,-,e,-t,/6,),(,t,),(,t,-,1),(1,-,e,-,(,t,-,1)/6,),(,t,-,1),-,2,(,t-,2),-,2(1,-,e,-,(,t,-,2)/6,),(,t,-,2),i,L,(,t,)=(1,-,e,-,t,/6,),(,t,)+,(1,-,e,-,(,t,-,1)/6,),(,t,-,1),-,2(1,-,e,-,(,t,-,2)/6,),(,t,-,2),u,(,t,),1,2,1,2,0,t,(s),例4,+,-,u,(,t,),1,5,5,H,i,L,已知:,u,(,t,)如图示,i,L,(0,-,)=0。,求:,i,L,(,t,),并定性,画出其波形。,清华大学电路原理教学组,例5,求图示电路中电流,i,C,(,t,)。,10k,10k,u,S,+,-,i,C,100,F,u,C,(0,-,)=0,0.5,10,t,/s,u,S,/V,0,解法一,：,两次换路，三要素法,。,解法二：,10k,10k,+,-,i,C,100,F,u,C,(0,-,)=0,10k,10k,+,-,i,C,100,F,u,C,(0,-,)=0,清华大学电路原理教学组,+,-,i,C,100,F,u,C,(0,-,)=0,5k,等效,10k,10k,+,-,i,C,100,F,u,C,(0,-,)=0,10k,10k,+,-,i,C,100,F,u,C,(0,-,)=0,清华大学电路原理教学组,三、单位冲激函数（,unit impulse function,）,1.单位脉冲函数,p,(,t,),1/,t,p,(,t,),0,清华大学电路原理教学组,2.单位冲激函数,(,t,),/2,1/,t,p,(,t,),-,/2,定义：,t,(,t,),(1),0,清华大学电路原理教学组,+,-,C,+,u,C,-,i,C,u,S,例6,CE,/,u,S,t,E,/2,0,-,/2,i,C,清华大学电路原理教学组,0,u,C,E,(,t,),i,C,CE,(,t,),i,C,t,CE,(,t,),0,u,C,t,E,0,i,C,t,/2,CE,/,0,-,/2,u,C,t,E,/2,0,-,/2,+,-,C,+,u,C,-,i,C,E,清华大学电路原理教学组,S,+,u,C,E,C,i,C,3.单位冲激函数的延迟,(,t,-,t,0,),t,=,t,0,i,C,t,CE,(,t,-,t,0,),t,0,0,t,(,t,-,t,0,),t,0,0,(1),清华大学电路原理教学组,4.,函数的筛分性,同理有：,f,(0),(,t,),例7,t,(,t,),(1),0,f,(,t,),f,(0),*,f,(,t,)在,t,0,处连续,清华大学电路原理教学组,t,(,t,),0,1,t,(,t,),(1),0,t,r,(,t,),0,1,1,单位斜升函数,四、,(,t,)与,(,t,)的关系,清华大学电路原理教学组,五、一阶电路的冲激响应,零状态,h,(,t,),单位冲激响应：单位冲激激励在电路中产生的,零状态响应。,方法1.由单位阶跃响应求单位冲激响应,单位阶跃响应,单位冲激响应,h,(,t,),s,(,t,),单位冲激,(,t,),单位阶跃,(,t,),清华大学电路原理教学组,先求,单位阶跃响应,令,i,s,(,t,)=,i,C,R,i,s,C,例8,+,-,u,C,u,C,(0,+,)=0,u,C,(,)=,R,=,RC,已知：,求：,i,S,(,t,),为单位冲激时，电路响应,u,C,(,t,)和,i,C,(,t,)。,i,C,(0,+,)=1,i,C,(,)=0,再求,单位冲激响应,令,i,S,(,t,)=,0,清华大学电路原理教学组,u,C,R,t,0,i,C,1,t,0,u,C,t,0,i,C,t,(1),冲激响应,阶跃响应,清华大学电路原理教学组,0,-,0,+,0,+,t,零输入响应,电容充电,方法2.分两个时间段来考虑冲激响应,u,C,(0,-,)=0,i,C,R,(,t,),C,+,-,u,C,关键在于求,u,C,(0,+,),！,清华大学电路原理教学组,=1,=0,u,C,不可能是冲激函数,否则KCL不成立。,(1),t,在 0,-,0,+,间,电容中的冲激电流使,电容电压发生跳变,i,C,R,i,s,C,+,-,u,C,方法1：,对微分方程,0,0,积分,步骤,：,(1)列写方程；,(2)观察方程求,u,C,(0,+,)；,(3)求,i,C,。,清华大学电路原理教学组,i,C,R,C,+,-,u,C,方法2：电路直接观察法,u,C,(0,-,)=0,在 作用的0,0,范围内的等效电路为,i,C,R,i,S,步骤：,(1)画0,0,范围内电路；,(2)求,i,C,；,(3)求,u,C,。,在,0,0,范围内,将,C,用,电压源,替代。,清华大学电路原理教学组,(2),t,0,+,零输入响应（,RC,放电）,u,C,t,0,i,C,t,(1),i,C,R,C,u,C,+,_,清华大学电路原理教学组,i,L,不可能是冲激,(1),t,在 0,-,0,+,间,L,+,-,i,L,R,例9,+,-,u,L,i,L,+,-,R,+,_,u,L,0,0,清华大学电路原理教学组,（2）,t,0,+,RL,放电,t,i,L,0,R,u,L,i,L,+,-,L,t,u,L,(1),返回目录,清华大学电路原理教学组,5.8 卷积积分,一、卷积积分的定义和性质,定义,设,f,1,(,t,),f,2,(,t,),t,0 均为零,性质1,证明,令,=,t,-,：,0,t,:t,0,性质2,清华大学电路原理教学组,二、卷积积分的应用,线性网络,零状态,e,(,t,),h,(,t,),r,(,t,),即,性质4,筛分性,性质3,=,f,(,t,),利用卷积积分可以求任意激励作用下的零状态响应。,清华大学电路原理教学组,物理解释：,在,0,t,t,0,时段,将激励,e,(,t,)看成一系列(,N,个)宽度为,，高度为,e,(,k,)矩形脉冲的和。,e,(0),2,k,(,k,+1),t,=,t,0,t,=,t,0,时刻的响应是由0,t,t,0,时段的全部激励决定的（,线性系统的因果性,）。,清华大学电路原理教学组,单位脉冲函数的延时,e,(0),2,k,(,k,+1),t,=,t,0,0,t,t,0,清华大学电路原理教学组,第1个矩形脉冲,若单位脉冲函数,p,(,t,),的响应为,h,p,(,t,),e,(0),2,k,(,k,+1),第,k,个矩形脉冲,t,=,t,0,清华大学电路原理教学组,t,0,时刻观察到的响应,应为 0,t,0,时间内所有,激励产生的响应的和,2,k,(,k,+1),r,(,t,),e,(0),2,k,(,k,+1),t,=,t,0,t,=,t,0,清华大学电路原理教学组,单位脉冲响应,单位脉冲,单位冲激,单位冲激响应,积分,积分变量（,激励作用时刻）,t,参变量(观察响应时刻),由,t,0,的任意性,，得,清华大学电路原理教学组,解,：先求该电路的冲激响应,h,(,t,),u,C,(,)=0,例1,R,C,i,S,+,u,C,已知：,R,=500,k,C,=1,F,u,C,(0,-,)=0，,求：,u,C,(,t,)。,清华大学电路原理教学组,再计算 时的响应,u,C,(,t,)：,R,C,i,S,+,u,C,冲激响应,清华大学电路原理教学组,例2,解,被积函数,积分变量,参变量,图解说明,f,2,(,t,-,),f,2,(,),f,2,(-,),f,2,(,t,-,),0,t,0,f,2,(,-t,),t,f,2,(,t,-,),0,t,三、卷积积分的图形解法,清华大学电路原理教学组,f,2,(,t,-,),1,0,t,f,2,(-,),1,0,f,1,(,),2,0,1,f,1,(,),f,2,(,t,-,),0,2,1,t,1,t,f,1,(,t,)*,f,2,(,t,),0,t,1,t,t,t,f,2,(,),1,0,f,1,(-,),2,0,1,-1,t,f,1,(,t,)*,f,2,(,t,),0,t,1,t,t,-1,t,卷,移,乘,积,f,1,(,t,-,),0,1,-,1,t,2,f,2,(,),f,1,(,t,-,),0,1,-,1,t,2,1,清华大学电路原理教学组,由图解过程确定积分上下限：,2,0,1,1,e,-,(,-,),t,0,1,e,-,(,t,-,),t,t,t,t,t,-1,2,0,t,0,1,-1,1,e,-,返回目录,清华大学电路原理教学组,一、状态变量,分析动态过程的独立变量。,选定系统中一组,最少数量,的变量,X,=,x,1,x,2,x,n,T,，,如果当,t,=,t,0,时这组变量,X,(,t,0,),和,t,t,0,后的输入,e,(,t,),为已知，,就可以确定,t,0,及,t,0,以后,任何时刻,系统的,响应,。,X,(,t,0,),e,(,t,),t,t,0,称这一组,最少数目,的变量为状态变量。,Y,(,t,),t,t,0,5.9 状态变量法,L,3,i,3,u,S,R,6,R,5,C,2,C,1,L,4,+,-,i,5,i,6,i,4,+,-,+,-,u,1,u,2,原因 1:方程列写上的需要,原因 2:,容易描述多输入多输出,从另一种角度研究动态电路,清华大学电路原理教学组,已知,输出:,u,L,i,C,。,选状态变量,u,C,，,i,L,。,解,u,L,(0,+,)=7V,i,C,(0,+,)=,-,1.5A,例1,R,u,L,C,e,(,t,),+,-,u,C,i,L,i,C,u,R,+,-,+,-,+,-,L,i,R,2,u,L,10V,+,-,3V,i,C,u,R