高中数学第三章概率331几何概型3必修.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,3.3,几 何 概 型,3.3.1,几 何 概 型,1.,掌握几何概型的概念,.,2.,会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率,.,3.,会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型,.,1.,几何概型,如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的,_(_,或,_),成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为,_.,2.,几何概型的概率计算公式,区域长度,(,面积或体积,),区域长度(面积或体积),长度,面积,体积,几何概型,1.,在区间,0,10,中任意取一个数,则它与,4,之和大于,10,的概率是,.,【,解析,】,此数落在区间,(6,10,内时符合要求,区间长度为,4,区间,0,10,总长度为,10,所求事件的概率为,0.4.,答案：,0.4,2.,在长为,10cm,的线段,AB,上任取一点,P,并以线段,AP,为边作正方形,这个正方形的面积介于,16cm,2,与,36cm,2,之间的概率为,.,【,解析,】,当,AP,长度在,4cm,到,6cm,之间时,正方形的面积介于,16cm,2,与,36cm,2,之间,.,所求事件的概率为,答案：,3.,在,10,立方米的沙子中藏有一个玻璃球,假定这个玻璃球在沙,子中的任何一个位置是等可能的,若取出,1,立方米的沙子,.,则取,出的沙子中含有玻璃球的概率为,.,【,解析,】,记事件,A,为,“,取,1,立方米沙子中含有玻璃球,”,则事件,A,发生对应的沙子体积与原沙子体积之比为,110.,因为玻璃球在,沙子中任何位置等可能,所以由几何概型概率计算公式得,P(A)=,.,答案：,(2),在两种转盘游戏中,甲获胜的概率与字母,B,所在的扇形区域的哪个因素有关,?,哪个因素无关,?,提示：,与扇形的弧长,(,或面积,),有关,与扇形区域所在的位置无关,.,(3),两个试验中概率的求法一样吗,?,你又是如何解决这些问题的,?,提示：,不一样,.,第一个试验骰子的六个面上的数字是有限个的,且每次投掷都是等可能性的,因而可以利用古典概型公式求解,;,第二个试验指针指向的每个方向都是等可能性的,但指针所指的方向却是无限个的,因而无法利用古典概型求解,但可以借助几何图形的长度、面积比等分析概率,.,探究,2,：根据几何概型的概念回答下列问题：,(1),从区间,-10,10,内任取出一个数,求取到,1,的概率,.,这个问题能看作是几何概型吗,?,提示：,能,.,该事件发生的概率为,0.,从区间,-10,10,内任取出一个数,基本事件数是无限多个,每个事件发生也是等可能的,所以是几何概型,.,(2),几何概型与古典概型有什么区别,?,提示：,古典概型要求随机试验所包含的所有基本事件的个数必须是有限多个,;,几何概型要求随机试验所包含的基本事件应当是无限多个,而且几何概型解决的问题一般都与几何知识有关,.,【,探究总结,】,1.,对几何概型中基本事件的理解,对于几何概型,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几,何区域内随机地取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样,.,一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点,.,这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等,.,2.,几何概型的特点,(1),无限性：试验中所有可能出现的基本事件有无限多个,.,(2),等可能性：每个基本事件出现的可能性相等,.,二、几何概型概率的计算公式,探究,1,：根据几何概型概率的计算公式,P(A)=,回答问题：,(1),几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关系吗,?,提示：,几何概型的概率只与构成事件的区域的长度,(,面积或体积,),有关,而与构成事件的区域形状无关,.,(2),在几何概型中,概率为,0,的事件一定是不可能事件,概率为,1,的事件一定是必然事件,.,这种说法正确吗,?,为什么,?,提示：,不正确,.,如果随机事件所在区域是一个单点,A,由于单点,A,的长度、面积、体积均为,0,根据几何概型概率的计算公式,则该事件出现的概率为,0,但它不是不可能事件,;,如果随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点,A,则该事件出现的概率为,1,但它不是必然事件,.,探究,2,：如图为一正方形及其内切圆,随机向,正方形内丢一粒石子,.,(1),若求石子落在圆内的概率,则构成事件的,区域与哪个几何量有关,?,提示：,事件所构成的区域与圆和正方形的面积有关,.,(2),若记,“,石子落在圆内,”,为事件,A,则事件,A,发生的概率,P(A)=,.,提示：,【,探究总结,】,几何概型应用中的注意点,(1),关键是要构造出随机事件对应的几何图形,利用图形的几何度量来求随机事件的概率,.,(2),确定基本事件时一定要选准角度,注意基本事件的等可能性,.,类型一,几何概型的判断,1.,下列概率问题中属于几何概型的为,.,(1),随机地向正方形内掷硬币,30,次,统计硬币正面朝上的概率,.,(2),从一批产品中抽取,50,件进行检验,有,5,件次品,求正品的概率,.,(3),箭靶的直径为,60cm,其中,靶心的直径只有,12cm,任意向靶射箭,射中靶心的概率为多少,?,2.,判断下列试验中所求事件发生的概率是几何概型,还是古典概型,.,(1),从,0,10,中任取一个整数,x,求,x3,的概率,.,(2),从,0,5,中任取一个数,x,求,x3,的概率,.,【,解题指南,】,1.,根据几何概型的特征逐一判断,.,2.(1),根据所包含的基本事件为有限个可判断,.(2),根据所包含的基本事件为无限个可判断,.,【,自主解答,】,1.,根据古典概型和几何概型的特点,知,(1)(2),为古典概型,(3)(4),为几何概型,.,答案：,(3),2.(1),由题知,x,可取,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,共,11,个基本事件,且由,x,的任意性知它们是等可能的,因此属于古典概型,.,(2),由于在,0,5,中有无穷多个数,即基本事件有无限个,且由,x,的任意性知它们是等可能的,因此属于几何概型,.,【,延伸探究,】,题,2(2),中,“,求,1x4,的概率,”,是几何概型吗,?,【,解析,】,基本事件有无限个,并且是等可能发生的,因此属于几何概型,.,【,规律总结,】,判断几何概型的关键,(1),看其是否满足,“,等可能性,”,.,(2),判断基本事件的个数,.,古典概型基本事件有有限个,而几何概型则在试验中出现无限多个基本事件,且与构成事件的区域长度,(,面积或体积,),等有关,.,类型二,与长度或角度有关的概率问题,1.(2013,湛江高一检测,),在等腰直角三角形,ABC,中,过直角顶点,C,在,ACB,内部任作一射线,CM,与线段,AB,交于点,M,则,AMAC,的概率为,.,2.,甲欲从某车站乘车出差,已知该站发往各站的客车均每小时一班,求甲等车时间不多于,10,分钟的概率,.,【,解题指南,】,1.,设,A=,在,ACB,内部任作一射线,CM,与线段,AB,交于点,M,AMAC,由于过直角顶点,C,在,ACB,内部任作一射线,CM,故可以认为所有可能结果的区域为,ACB,可将事件,A,构成的区域表示为,ACC,以角度为,“,测度,”,来计算,.,2.,设,A=,等待的时间不多于,10,分钟,.,我们所关心的事件,A,恰好是甲等车的时刻位于,50,60,的时间段内,.,【,自主解答,】,1.,在,AB,上取,AC=AC,则,ACC=67.5,记,A=,在,ACB,内部任作一射线,CM,与线段,AB,交于点,M,AMAC,则所有可能结果的区域为,ACB,事件,A,构成的区域为,ACC,又,ACB=90,ACC=67.5,所以,P(A)=,故,AMAC,的概率为,答案：,2.,设相邻两班车到站时刻所对应的点分别为,P,Q,作出相应的,图象,如图,线段,PQ=60,MQ=10,甲到站的时刻构成线段,PQ.,事件,A,“,等,待的时间不多于,10,分钟,”,构成线段,MQ,由几何概型的概率公式,得：,P(A)=,故甲等车时间不多于,10,分钟的概率为,.,【,规律总结,】,1.,与长度有关的概率求解步骤,2.,与角度有关的两种几何概型,(1),涉及射线的转动问题,.,(2),扇形中有关落点区域的问题,常以角度的大小作为区域的度量标准进行概率的计算,.,【,变式训练,】,取一条长为,30cm,的绳子,拉直后在任意位置剪断,则剪得的两段绳子的长度都不小于,10cm,的概率为,.,【,解题指南,】,记,“,剪得两段绳长都不小于,10cm,”,为事件,A.,把绳子三等分,当剪断位置处在中间一段上时,事件,A,发生,.,【,解析,】,记,“,剪得两段绳长都不小于,10cm,”,为事件,A.,把绳子三,等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件,A,发生,.,由于中间,一段的长度等于绳长的,.,所以事件,A,发生的概率为,P(A)=.,答案：,【,加固训练,】,如图,在平面直角坐标系内,射线,OA,落在,135,角的终边上,任作一条射线,OT,则射线,OT,落在,xOA,内的概率,为,.,【解析】,记,“,射线,OT,落在,xOA,内,”,为事件,A.,构成事件,A,的区域,角度是,135,所有基本事件对应的区域角度是,360,由几何概,型的概率公式得,P(A)=,答案：,类型三,与面积或体积有关的概率问题,1.(2014,济南高一检测,),在区间,0,1,内任取两个数,则这两个,数的平方和也在,0,1,内的概率是,(,),2.,正三棱锥,S-ABC,的底面边长为,a,，高为,h,，在正三棱锥内取一,点,M,，则点,M,到底面的距离小于 的概率为,_,【,解题指南,】,1.,此题是几何概型问题，转化为面积之比,.,2.,先找出点,M,的位置，再用几何概型概率公式转化为体积之比求解,.,【,自主解答,】,1.,选,A.,设在,0,1,内取出,的数为,a,b,若,a,2,+b,2,也在,0,1,内，则有,0a,2,+b,2,1.,如图，试验的全部结果所构成的区域为边长为,1,的正方形，满足,a,2,+b,2,在,0,1,内的点在 单位圆内,(,如阴影部分所示,),，故所求概率为,2.,记正三棱锥,S-ABC,内部区域为,D,，正三棱锥内到底面的距离小,于 的区域为,d,在,SA,SB,SC,上取点,E,F,G,使,E,F,G,分别是,SA,SB,SC,的中点，则当点,M,位于面,ABC,和面,EFG,之间时，点,M,到底面,的距离小于,.,设,ABC,的面积为,S,，由于,ABCEFG,，且相,似比为,2,，得,EFG,的面积为,.,由题意，区域,D,的体积为,Sh,，区域,d,的体积为,Sh,由几何概型概率公式得：,所以，点,M,到底面的距离小于 的概率为,.,答案：,【,规律总结,】,求解与面积或体积有关的几何概型问题的步骤,【,变式训练,】,在棱长为,a,的正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,内任取一点,P,则点,P,到点,A,的距离小于等于,a,的概率为,.,【,解析,】,答案：,