概率论与数理统计大数定律.ppt

概率统计,下页,结束,返回,第五章 极限定理,一、大数定律,二、中心极限定理,下页,大数定律和中心极限定理就是使用极限方法研究大量随机现象统计规律性的。,阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性的一,系列定律都称为大数定律。,论证随机变量（试验结果）之和渐进服从某一,分布的定理称为中心极限定理,。,本章概述,下页,5.1 大数定律,一、切比雪夫不等式,(,是任一正数),1.对于任何具有有限方差的随机变量,X,，都有,则,证明：,(,以连续型随机变量为例,),设,X,的概率密度为,f,(,x,)，,下页,2.不等式的等价形式,例1,估计,的概率,解:,作用：,（1）证明大数定律；（2）估计事件的概率.,下页,例2,若在每次试验中，,A,发生的概率为0.5，进行1000次独立试验，估计,A,发生 400600 次之间的概率.,解：,因,X,B,（1000，0.5），,E,（,X,）=500，,D,（,X,）=250,所以 P 400,X,600 =P|,X,-500|100,e,2,),(,1,|,),(,|,e,X,D,X,E,X,P,-,-,由,得，P|X-500|100,下页,例3.,设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率均,为0.7，假定灯的开、关是相互立的，使用切贝雪夫不等式估计,夜晚同时开着的灯数在6800到7200盏之间的概率.,解,:,令,X,表示在夜晚同时开着的灯数目，则,X,服从,n,=10000，,p,=0.7的二项分布，,这时,E,(,X,)=,np,=7000,D,(,X,)=,npq=,2100，,由切,贝雪夫不等式可得,下页,二 、大数定律,即，对于任意0，当,n,充分大时，不等式,定理1,(切贝雪夫大数定律)如果,X,1,，,X,2,，,X,n,，是相互独立的,随机变量序列，每一个,X,i,都有数学期望,E,(,X,i,）和有限的方差,D,(,X,i,),且方差有公共的上界，即,则对于任意0，有,依概率1成立.,下页,证明,:,直接可由推论得出,(略).,这就是以频率定义概率的合理性依据。,定理2,（,贝努里大数定律,）,设,n,重贝努里试验中事件,A,发生,n,A,次,每次试验事件,A,发生的概率,p,，则对任意0 有,定义,(依概率收敛)设,是一个互相独立的,随机变量序列，,a,是一个常数，若对于任意正数,，,有,则称序列,依概率收敛于,a,.,下页,作业：,92页 1，2,3，7,8,结束,若,X，Y,相互独立，则,f,(,x,y,)=,f,X,(,x,),f,Y,(,y,)，,得卷积公式:,3.3,二维随机变量函数的分布-,回顾,下页,例3,设,X,和,Y,是两个互相独立的随机变量，且,X,N,(,0,1,),Y,N,(,0，1,),，求,Z,=,X,+,Y,的概率密度.,解：,由于,X,、,Y,互相独立，由卷积公式,从而有，,Z,=,X,+,YN,（0，2）.,（2）如果,X,i,(,i,=1,2,n,)为,n,个互相独立的随机,变量，且,X,i,N,(,i,，,i,2,)，则,一般地,（1）,若,X,1,，X,2,N,，,且,X,1,、X,2,相互独立，则有,X,1,+X,2,N,下页,定理3,（同分布中心极限定理）,设随机变量,X,1,，,X,2,，,X,n,，相互独立，服从相同分布，且有有限的数学期望和方差，即,的分布函数,F,n,(,x,)满足：对任意的,x,，有,E,(,X,k,)=,，,D,(,X,k,)=,2,，,k,=1,2,则随机变量,5.2 中心极限定理,下页,说明：,（1）当,n,很大时，,Y,n,近似地服从N（0，1），即,（2）当,n,很大时，近似地服从N（,n,，,n,2,）,即不论,X,i,具有怎样的分布，只要有有限的期望和方差，,当,n,很大时，其和 就近似地服从正态分布.,下页,例1,设样本,X,1,，,X,2,，,X,20,相互独立，且都来自均匀分布,U,(0,1)，其中,E,(,X,i,)=1/2,D,(,X,i,)=1/12，令,Y,20,=,X,1,+,X,2,+,X,20,，,求：,P,Y,20,9.1.,解：,P,Y,20,9.1=,n,=20，,=1/2,2,=1/12,下页,定理4,（,棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理,）,设随机变量,n,服从参数为,n,p,的二项分布（,n,=1,2,0,p,1），则对于任意实数,x,恒有,其中,由独立同分布中心极限定理可得,证:,由于服从二项分布的随机变量和,h,n,可视为,n,个相互独立的、,服从同一参数,p,的（0-1）分布的随机变量,X,1,，,X,2,，,X,n,之和，,下页,例2,一批种子，其中良种占1/6，在其中任选6000粒，试问在这些种子中，良种所占的比例与1/6之差的绝对值小于1%的概率是多少？,解：,设,X,表示取6000粒种子中的良种粒数，则,XB,(6000,1/6),注 若,X,B,(,n,p,),则当,n,较大时，有,下页,例3.,某出租车公司有500辆的士参加保险，在一年里的出事故的概率为0.006，参加保险的的士每年交800元的保险费若出事故，保险公司最多赔偿50000元，试利用中心极限定理，计算保险公司一年赚钱不小于200000元的概率,解：,设,X,表示500 辆的士中出事故的车辆数，则,X,B(500,0.006),其中,np,=3,npq,=2.982,保险公司一年赚钱不小于200000元的事件为,500,800 500800-50000X 200000,即事件0,X4,可见，保险公司在一年里赚钱不小于200000元的概率为0.7781.,下页,例4.,在抽样检查某种产品的质量时，如果发现次品多于10个，则拒绝接受这批产品设产品的次品率为10，问至少应抽查多少个产品进行检查，才能保证拒绝这批产品的概率达到0.9？,解:,设应抽查,n,件产品,其中次品数为,Y,.记,由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理，得,要使,即,得,即至少要抽查147件产品才能保证拒绝这批产品的概率达到0.9,下页,作业：,92页 1,2,3,7，8,结束,