02材料力学轴向拉伸和压缩.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 轴向拉伸和压缩,材料力学,2-1 轴向拉伸和压缩的概念,桁架的示意图,受力特点,：外力合力的作用线与杆件的轴线重合,变形特点,：轴向伸长或缩短,2-2 内力截面法及轴力图,.内力,内力,：物体内部一部分与另一部分之间相互作用的力。,附加内力,：物体受到外力作用时，发生变形，相邻各部分的相对位置发生改变，从而内力发生改变，这个改变量称为附加内力。,根据可变形固体的连续性假设，内力在物体内连续分布,。,通常把物体内任一截面两侧相邻部分之间分布内力的,合力和合力偶,简称为,该截面上的内力,.截面法轴力及轴力图,（1）假想地,截开,指定截面；,截面法的步骤：,（2）用内力,代替,另一部分对所取分离体的作用力；,（3）根据分离体的,平衡,求出内力值。,横截面上的内力F,N,其作用线与杆的轴线重合(垂直于横截面并通过其形心),轴力,。无论取横截面的左边或右边为分离体均可。,轴力符号的规定：,拉为正：,轴力背离截面，产生伸长变形,压为负：,轴力指向截面，产生缩短变形,AB、BC两段受拉,仅BC段受拉,不能随便采用力（或力偶）的可移性原理,轴力图,：用折线表示横截面上轴力与横截面位置的关系。该图一般以杆轴线为横轴表示截面位置，纵轴表示轴力大小。它能确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据,四要素：,大小、符号、图名、单位。,F,F=,10kN,m,m,10,F,N,图（KN）,(a),一等直杆的受力情况如下图，,试作此杆的轴力图。,解：,（,1）求支座反力,得：,例题2-1,2-3 应力拉(压)杆内的应力,1、应力的概念,应力,：受力杆件某截面上一点处的内力集度，以分布在单位面积上的内力来衡量。,法向分量：,正应力,s,切向分量：,切应力（剪应力）,t,国标单位：帕斯卡（Pa）,1Pa=1N/m,2,1MPa=10,6,Pa1N/mm,2,1GPa=10,9,Pa,已知内力,F,要得到截面各处的应力,p,，必须已知应力,p,在截面上的分布情况,在实验的基础上假定应力,p,在截面上的分布情况,平截面假设,：原为平面的横截面在杆变形后仍为平面,横截面在杆变形后保持平行，沿轴线相对平移,横截面各处变形相同，应力也相同,实验结果：ab,cd保持直线，仍然平行,.拉(压)杆横截面上的应力,截面内力等于各微元内力的总和,正应力的符号与轴力的符号一致,正应力与最大正应力,式中,F,N,，,F,N，max,轴力与最大轴力（绝对值）,A,横截面面积,1.上述正应力计算公式来自于平截面假设；对于某些特定杆件,例如锲形变截面杆，受拉伸(压缩)时，,平截面假设不成立,，故原则上不宜用上式计算其横截面上的正应力。,2.即使是等直杆，在,外力作用点附近,，横截面上的应力情况复杂，实际上也不能应用上述公式。,b,F,F,b,F,F,b,F,=,F,/,A,max,=,1.027,F,A,b/,2,F,=,F,/,A,max,=,F,A,1.387,b/,4,F,=,F,/,A,max,=,F,A,2.575,杆端,外力的作用方式不同（静力等效），只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响，远处的影响可以忽略不计。,圣维南Saint-Venant原理,这一原理虽被许多实验所证实，但没有经过严格的理论证明，也没有确切的数学表达式，因此不能随便使用。上图为不能应用圣维南(Saint-Venant)原理的例子（详见奚绍中编 材料力学精讲，p15)。,q=F/A,q,F/2,F/2,F/2,F/2,F,F,F,F,F,F,F,F,（a）,（b）,一横截面为正方形砖柱如左图。已知,F,=50 kN，不考虑自重。试求荷载引起的横截面上的最大工作应力。,解：,（,1）作轴力图,例题2-2,（3）段柱横截面上的正应力,所以，最大工作应力为,s,max,=,s,2,=,-,1.1 MPa,(压应力）,（2）,段柱横截面上的正应力,(压应力),(压应力),已知：长为,b,、,d,=200 mm，,=5 mm，,的薄壁圆环，承受,p,=2 MPa,的内压力作用,。,试求薄壁圆环在内压力作用下径向截面上的拉应力。,例题2-3,解：,薄壁圆环,(,两平行的斜截面之间的所有纵向线段伸长变形相同。斜截面上各点处的总应力,p,a,相等。,斜截面上的总应力：,式中，为拉(压)杆横截面上(,a,=0)的正应力。,斜截面上的正应力和切应力：,轴向拉压杆件的最大切应力发生在与杆轴线成45,0,截面上。,讨论,：,轴向拉压杆件的最大正应力发生在横截面上。,在平行于杆轴线的截面上、均为零。,2-4 拉(压)杆的变形 胡克定律,等直杆，两端受轴向力,两个方向均产生变形,沿轴线方向产生伸长或缩短,纵向变形,横向尺寸也相应地发生改变,横向变形,1、纵向变形与线应变,线应变：,每单位长度的伸长（或缩短）,纵向伸长：,当杆沿长度非均匀变形时,x,y,C,O,A,B,x,z,A,C,B,x,x,(无量纲）,(拉正压负）,2、胡克定律与弹性模量,实验表明：在材料的线弹性范围内，L与外力F和杆长L成正比，与横截面面积A成反比。,引入比例常数E,E,称为,弹性模量,，由实验测定，单位为,Pa,，,MPa，GPa。,EA,称为,拉抗（压）刚度,单轴应力,状态下的胡克定律,单轴应力,状态下的胡克定律阐明的是沿正应力,s,方向的线应变,e,与正应力之间的关系，不适用于求其它方向的线应变。,不等于0,不成立,当应力不超过材料的比例极限时，某一方向的线应变,e,与和该方向垂直的方向(横向)的线应变,e,的绝对值之比为一常数，此比值称为,横向变形因数或泊松比,：,3、横向变形与泊松比,b,b,1,横向线应变：,b,=,b,1,b,横向变形：,低碳钢(,Q235,),：,n,=,0.24,0.28,例题2-4,已知：长为,b,、,d,=200 mm，,=5 mm，,的薄壁圆环，承受,p,=2 MPa,的内压力作用，弹性模量,E,210GPa,。,求薄壁圆环的径向应变直径的改变量d,。,解：前面已求出圆环径向截面上的正应力,假设材料为钢，此值小于钢的比例极限（约,200Pa,）,忽略内压力的影响，则可认为薄壁圆环沿圆环切向的线应变(周向应变)与径向截面上的正应力 的关系符合单轴应力状态下的胡克定律,从而有圆环直径的改变量(增大)为,圆环的周向应变,e,与圆环直径的相对改变量,e,d,有如下关系：,解题步骤：,内力应力应变变形,例题2-5,如图所示杆系，,已知：,a,=30，,l,=2 m，,d,=25 mm,，杆的材料(钢)的弹性模量为,E,=210 GPa,。,荷载,P,=100 kN,，试求结点,A,的位移,A,。,解题步骤：,内力应力应变变形位移,由胡克定律得,其中,1.求杆的轴力及伸长,解：结点,A,的位移,A,系由两杆的伸长变形引起，故需先求两杆的伸长。,由结点,A,的平衡(如图)有,2.由杆的总变形求结点,A,的位移,亦即,代入数值得,C,A,A,a,a-Da,Da,D,A,此杆系结点,A,的位移是因杆件变形所引起，但两者虽有联系又有区别。,变形,是指杆件几何尺寸的改变，是个标量；,位移,是指结点位置的移动，是个矢量，它除了与杆件的变形有关以外，还与各杆件所受约束有关。,2-5 拉(压)杆内的应变能,应变能,弹性体受力而变形时所积蓄的能量。,弹性变形时认为，积蓄在弹性体内的应变能,V,在数值上等于外力所作功,W,，,V,=,W,应变能的单位为 J（1,J,=1,Nm,）。,拉杆(压杆)在线弹性范围内的应变能,或,外力,F,所作功：,杆内应变能：,l,l,F,杆件,弹簧,变形：,变形能：,或,或,应变能密度,v,单位体积内的应变能,。,应变能密度的单位为,J/m,3,。,能量法,：利用应变能的概念解决结构或构件的弹性变形有关的问题,。,例题2-6,如图所示杆系，,已知：,a,=30，,l,=2 m，,d,=25 mm,，杆的材料(钢)的弹性模量为,E,=210 GPa,。,荷载,P,=100 kN,，试求结构的应变能和结点,A,的位移,A,。,解,：（1）,应变能:,（2）结点,A,的位移,由 知,思考题：为什么外力,P,所作的功为,P,A,/2,而不是,P,A,？,为了消除动能的影响，必须从0开始逐步加载,2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能,.材料的拉伸和压缩试验,拉伸试样,圆截面试样：,l,=10,d,或,l,=5,d,(工作段长度称为标距)。,矩形截面试样：或 。,力学性能:指材料受力时在强度和变形方面表现出来的性能。,试验设备：,万能试验机,：使,试样变形并测定试样的抗力,变形仪：将试样的微小变形放大后加以显示的仪器。,压缩试样,圆截面短柱(用于测试金属材料的力学性能),正方形截面短柱(用于测试非金属材料的力学性能),.低碳钢试样的拉伸图及低碳钢的力学性能,含碳量：碳素钢 2%,低碳钢0.25%,铸铁2%,O,l,F,拉伸图,拉伸图:,横坐标工作段的伸长量,l,纵坐标抗力,F,(即荷载),变形完全是,弹性的,，卸载后恢复原状，且,l,与,F,成线性关系，即此时材料的力学行为符合,胡克定律,。,(1)阶段,弹性阶段,O,l,F,A,B,C,D,E,F,拉伸图,O,l,F,A,B,C,D,E,F,拉伸图,(2)阶段,屈服阶段,在此阶段,伸长变形急剧增大,，但抗力只在很小范围内波动。此阶段产生的变形是不可恢复的所谓,塑性变形,；在抛光的试样表面上可见大约与轴线成45的滑移线,(3)阶段,强化阶段,重新恢复对抗变形的能力。卸载后有残留的塑性变形。,l,e,l,p,O,l,F,A,B,C,D,E,F,卸载,重新加载,拉伸图,塑性变形,弹性变形,O,l,F,A,B,C,D,E,F,拉伸图,(4)阶段,局部变形阶段,试样上出现局部收缩,颈缩,，并导致断裂。,O,a,c,d,b,e,p,s,b,-,图,消除试样几何尺寸的影响,应力-应变曲线,特征点：,a,比例极限,s,p,满足胡克定律,b,弹性极限,s,e,弹性变形,c,屈服极限,s,s,屈服的低限,d,强度极限,s,b,(拉伸强度),最大值,冷作硬化与冷作时效,若在强化阶段卸载，短期内再次加载，比例极限和弹性极限提高，而断裂时塑性变形却降低，这种现象称为,冷作硬化,。,若在强化阶段卸载，过一段时间再次加载，比极限和弹性极限还有所提高，这种现象称为,冷作时效,。,伸长率与断面收缩率,低碳钢的塑性指标：,伸长率,断面收缩率,：,A,1,断口处最小横截面面积。,Q235,钢：,d,=20%30%,y,60%,(通常,d,5%的材料称为,塑性材料,),y,越高，塑性越好,注意：,低碳钢的,s,s,，,s,b,都还是以相应的抗力除以试样,横截面的原面积,所得，实际上此时试样直径已显著缩小，因而它们是,名义应力,。,2.,低碳钢的强度极限,s,b,是试样拉伸时最大的名义应力，并非断裂时的应力。,3.,超过屈服阶段后的应变还是以试样工作段的伸长量除以试样的原长而得，因而是,名义应变,(,工程应变,),。,4.,伸长率是把拉断后整个工作段的均匀塑性伸长变形和颈缩部分的局部塑性伸长变形都包括在内的一个平均塑性伸长率。标准试样所以规定标距与横截面面积,(,或直径,),之比，原因在此。,.其他金属材料在拉伸时的力学性能,1 其他塑性材料,材料,锰钢,强铝,退火球墨铸铁,弹性阶段,屈服阶段,强化阶段,局部变形阶段,伸长率,条件屈服极限,无屈服阶段的塑性材料采用,条件屈服极限,（规定非比例伸长应力）,s,p,0.2,塑性变形为0.2时的应力,屈服极限,：衡量承载力的重要指标,2 脆性材料,铸铁拉伸时的应力应变曲线,是一条微弯的曲线。近似服从胡克定律。采用,割线弹性模量,没有屈服极限,s,；,可得到强度极限,b,，但没有“颈缩”现象,；,拉断后的残余变形很小，故为脆性材料。,断口与轴线垂直,.金属材料在压缩时的力学性能,1、低碳钢的压缩实验,E、,p,、,s,均与拉伸时基本相同,得不到强度极限,2、脆性材料的压缩实验,灰口铸铁压缩时的,s,e,曲线,（1）压缩时强度极限和伸长率均比拉伸时大的多,（2）近似地满足胡克定律,（3）破坏时，断口与轴线成,50 55,发生错动。,.几种非金属材料的力学性能,混凝土,：,脆性材料，抗压强度远大于抗拉强度,端面未润滑时的破坏形式,端面润滑时的破坏形式,木材,：,各向异性，顺纹方向的强度远大于横纹方向的强度,玻璃钢,：,重量轻，比强高，成型工艺简单，耐腐性、抗振性好。,各向异性，线弹性,VI.塑性材料和脆性材料的比较,塑性材料,脆性材料,断裂前有很大塑性变形,断裂前变形很小,抗压能力与抗拉能力相近,抗压能力远大于抗拉能力,延伸率,5%,延伸率,5%,可承受冲击载荷，适合于锻压和冷加工,适合于做基础构件或外壳,材料的塑性和脆性会因为制造方法工艺条件的改变而改变,2-7 强度条件安全因数许用应力,.拉(压)杆的强度条件,强度条件,保证构件在使用寿命内不发生强度破坏的条件，也就是其最大工作应力必须不大于某一个限定值。,其中：,s,max,拉(压)杆的最大工作应力,s,材料拉(压)时的,许用应力,.极限应力与许用应力,极限应力,指保证正常工作条件下，该材料所能承受的最大应力值,脆性材料材料发生断裂即为破坏,塑性材料材料发生屈服即认为不能再继续承载（破坏),s,（塑性材料）,b,（脆性材料）,u,=,塑性材料：,脆性材料：,其中，,n,s,对应于屈服极限的安全因数,许用应力：极限应力除以一个大于1的因数,许用拉应力：,许用压应力：,其中，,n,b,对应于拉、压强度的安全因数,.安全因数,强度储备,主观计算与客观实际的差异,（1）极限应力的差异,（2）横截面尺寸的差异,（3）荷载值的差异,（4）实际结构与其计算简图的差异,安全性与经济性的统一,材料特性、工作条件等,常用材料的许用应力约值,(适用于常温、静荷载和一般工作条件下的拉杆和压杆）,材料名称,牌号,许用应力/,MPa,低碳钢,低合金钢,灰口铸铁,混凝土,混凝土,红松（顺纹）,Q235,16Mn,C20,C30,170,230,3454,0.44,0.6,6.4,170,230,160200,7,10.3,10,轴向拉伸,轴向压缩,危险截面,：应力最大截面,等直杆：轴力最大截面,变截面杆：分别考虑,.强度计算的三种类型,(2),截面选择,(1),强度校核,(3),计算许可荷载,注意圆整,如超出量在5%内，认为基本上满足,例题2-8,已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布集度为：,q,=4.2kN/m，,屋架中的钢拉杆直径,d,=16 mm，,许用应力,=170M Pa。,试校核刚拉杆的强度。,1.42m,钢拉杆,q,8.5m,9.3m,解：1),求支反力,F,Ay,F,By,F,Ax,1.42m,钢拉杆,q,8.5m,9.3m,3)求应力,：,4)强度校核：,满足强度要求，是安全的。,2)求轴力：,q,F,Ay,F,Ax,F,Cy,F,Cx,F,N,例题2-9,某桁架的计算简图如图中(a)所示。已知：,F,=,16 kN,，,s,=,120 MPa。,试选择钢拉杆,DI,的直径,d,2.,求所需横截面面积并求钢拉杆所需直径,由于圆钢的最小直径为,10 mm,，故钢拉杆,DI,采用,f,10,圆钢。,解:,1）,求DI的内力,例题2-10,图中(a)所示三角架(计算简图)，杆,AC,由两根,80 mm,80 mm,7 mm,等边角钢组成，杆,AB,由两根10号工字钢组成。两种型钢的材料均为,Q235,钢,，,s,=170 MPa。,试求许可荷载,F,。,解：1）,.求轴力与荷载的关系,(拉),（压）,解得,2）计算各杆的许可轴力,先由型钢表查出相应等边角钢和工字钢的横截面面积，再乘以2得,由强度条件,杆,AC,的横截面面积,杆,AB,的横截面面积,得各杆的许可轴力：,3）求三角架的许可荷载,先按每根杆的许可轴力求各自相应的许可荷载：,该三角架的许可荷载应是,F,1,和,F,2,中的较小者，所以,此例题中给出的许用应力,s,=170 MPa是关于强度的许用应力；对于受压杆,AB,实际上还需考虑其,稳定性,，此时的许用应力将小于强度许用应力。,2-8 应力集中的概念,应力集中,：,由于杆件横截面骤然变化而引起的局部应力骤增的现象,d/2,d/2,r,D,d,r,F,F,F,F,F,F,按线弹性理论或相应的数值方法得出的最大,局部应力,s,max,与该截面上,名义应力,s,nom,之比，即,理论应力集中因数：,其中,K,t,s,的下标,t,s,表示是对应于正应力的理论应力集中因数。名义应力,s,nom,为截面突变的横截面上,s,max,作用点处按不考虑应力集中时得出的应力(对于轴向拉压的情况即为横截面上的,平均应力,)。,应力集中因数取决于截面的几何形状变化的急剧程度，而与材料性能无关。,具有小孔的均匀受拉平板，,K,t,s,3。,在构件上开孔或开槽时，尽量采用圆形、椭圆形或带圆角的形状，避免采用方形和尖角形；,截面突变处尽量采用光滑过渡。,理论应力集中因数,应力集中对强度的影响,塑性材料,制成的杆件受静荷载情况下：,荷载增大进入弹塑性,极限荷载,塑性材料,制成的杆件，在,静荷载,下，通常可不考虑应力集中的影响。,非均匀的脆性材料，如铸铁，其本身就因存在气孔等引起应力集中的内部因素，故可不考虑外部因素引起的应力集中。,均匀的脆性材料或塑性差的材料（如高强度钢）制成的杆件即使受静荷载时也要考虑应力集中的影响。,动荷载作用下，脆性材料和塑性材料制成的杆件都必须考虑应力集中的影响。,本章要点,内力、内力图和截面法,应力、许用应力和强度条件,应变、变形和位移,应变能和能量法,材料在拉伸和压缩时的力学性质,