数量金融套利理论.ppt

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,1,第五讲,套利理论,5.1,套利机会,.,5.2,有限状态模型,.,5.3,风险中性定价,.,2,5.1,套利机会,A,类套利,具体指某投资可以带来正的即时回报，而不带来任何未来支付（无论正支付或负支付）。,若市场不存在,A,类套利，则市场上交易的资产是线性定价的。,第,i,个资产,S,i,的价格为,，则投资组合,=(,1,n,),的价格为,3,5.1,套利机会,B,类套利,指某投资有着非正的成本，却能够带来非负的收益，且收益为正的概率大于零。,市场不存在套利机会，当且仅当如下期望效用最大化投资组合模型存在最优解，,其中,u,(.),为单调增函数，且当,x,时，,u,(,x,),。,4,5.2,有限状态模型,有限状态模型,假设市场上所有资产和投资组合在未来的可能价格仅依赖于,m,个有限状态,s,1,s,2,s,m,（,m,个基本事件）。在,0,时刻，仅知道,m,个状态中的某一个状态会发生。在,1,时刻，明确知道哪一个状态发生，即明确了解资产和投资组合的价格,。,5,5.2,有限状态模型,基本证券（,elementary state security,）,基本证券,j,是指状态,s,j,发生时，价格为,1,，其他状态发生时，价格为,0,的特殊资产。此证券可以为现实中存在的证券，或者为人造证券。,那么，第,i,个资产在,1,时刻的随机价格可以表示为,其中,表示状态,s,j,发生时，第,i,个资产的价格。,6,5.2,有限状态模型,基本证券（继续）,若,基本证券,j,在,0,时刻的价格为,j,，则根据线性定价原理，我们有,我们将,j,称为状态,s,j,的状态价格。,7,5.2,有限状态模型,正状态价格定理,市场中存在一组正的状态价格,1,2,m,，当且仅当市场中没有套利机会。,证明：,1,）假设市场中存在一组正的状态价格。若某投资组合,在,1,时刻的价格为,则该投资组合在,0,时刻的价格为,10,5.2,有限状态模型,例子,5.1,某投资者考虑参与投资拍摄一部电影。如果电影票房反映良好（概率为,0.3,），其将获得,3,倍的回报；如果票房反映平平（概率为,0.4,），其将收回初始投资；如果票房失败（概率为,0.3,），其将损失全部初始投资。与此同时，投资者也可以选择投资某无风险资产，获得,1.2,的总回报率。计算此市场三个状态的状态价格。,11,5.2,有限状态模型,例子,5.1,（继续）,解答：定义电影票房反映良好，票房反映平平和票房失败对应的状态价格为,1,2,3,，则我们有,即,12,5.2,有限状态模型,例子,5.1,（继续）,假设投资者也可以选择购买电影重播收费权。若电影票房反映良好，其将以此获得,6,倍的回报。其他情况时，其将损失全部初始投资。,我们有,13,5.3,风险中性定价,风险中性概率测度,已知,m,个状态的状态价格,1,2,m,。,第,i,个资产在,0,时刻的价格为,q,1,q,2,q,m,称为风险中性概率测度。,14,5.3,风险中性定价,风险中性定价,若存在一个无风险资产,S,1,，回报率为,r,f,，则,因此，风险资产在,0,时刻的价格为,称为风险中性定价公式。,15,3.3,期望效用最大化模型（回顾）,期望效用最大化模型（,EUT,模型）,期望效用最大化模型为,其最优投资组合,*,必满足,16,3.3,期望效用最大化模型（回顾）,拉格朗日乘子法,拉格朗日函数,最优化条件：,其中,17,3.3,期望效用最大化模型（回顾）,当一个资产为无风险资产时,假设第一个资产为无风险资产，其回报率为,有,其他,n,1,个风险资产的回报率满足,18,5.3,风险中性定价,风险中性概率测度的计算,1,）利用状态价格计算,2,）利用期望效用最大化投资组合模型来计算,3,）利用风险中性定价公式计算,19,5.3,风险中性定价,完全市场（,complete market,）,指任何的随机回报都可以表示为资产的线性组合。,市场是完全市场，当且仅当市场存在唯一的风险中性概率测度。,在完全市场中，资产数量等于市场中状态数量，资产的未来价格与状态之间通过状态价格存在一一对应关系。而任何的随机回报都是状态的线性函数，因此也可以通过资产的线性组合得到。此时随机回报在,0,时刻的价格唯一。,20,5.3,风险中性定价,不完全市场（,incomplete market,）,市场是不完全市场，当且仅当市场存在无穷多的风险中性概率测度。,在不完全市场中，资产数量小于市场中状态数量（即可用于交易的资产少于随机源）。故随机回报不一定可以表示为资产的线性组合。此时，若仅假定市场无套利机会，则随机回报在,0,时刻的价格不唯一。,21,第六讲,即期利率曲线拟合,6.1,债券,.,6.2,即期利率曲线,.,6.3,即期利率曲线拟合,.,22,6.1,债券,债券,在指定时间，债券,发行人向债券持有人归还借款（,par value/face value/principal,）和支付利息的凭证。,零息债券：没有息票（利息）支付的债券。,Maturity date,Face value,stream of coupon payments:Face value*coupon rate,23,6.1,债券,即期利率（,spot rate,）,记当前时刻为,0,时刻，,T,年期的即期利率,r,T,为面值等于,1,的,T,年期零息债券的到期收益率，即,其中,B,(0,T,),为面值等于,1,的,T,年期零息债券的价格（假设市场为连续复利）。,r,T,称为,T,-year spot rate,（,zero rate,，,short rate,）。,B,(0,T,),称为,T,年的无风险贴现因子（,risk-free discount factor from,T,to 0,）。,24,6.1,债券,债券价格,假设时刻,T,i,的即期利率为,r,i,，那么如下一般债券的价格为,Maturity date(,T,N,),F,+,c,N,c,1,T,1,T,2,c,2,T,0,=0,25,6.1,债券,即期利率与债券收益率的关系,债券收益率,y,描述了某个特殊债券的整体回报情况，满足,因此，我们有,故，可以将,y,视为即期利率的某种平均。,26,6.2,即期利率曲线,即期利率曲线,描述即期利率,r,i,相对于到期时间,T,i,的变化规律的曲线。也称为利率的期限结构（,term structure of interest rate,）。,如何构建即期利率曲线？,使用各种债券，互换，或其他利率衍生产品计算关键时刻,T,1,，,T,2,，,，,T,N,的即期利率，而后对关键时刻之间的即期利率进行拟合。,27,6.2,即期利率曲线,28,6.2,即期利率曲线,29,3.2 Bond,（,Topic 3.Interest rates market,）,Construction of Zero Rates CurveExample 3.3,Principal($),Time to maturity(years),Annual coupon($)(semiannual paying),Bond price($),100,0.25,0,97.5,100,0.50,0,94.9,100,1.00,0,90.0,100,1.50,8,96.0,100,2.00,12,101.6,30,3.2 Bond,（,Topic 3.Interest rates market,）,Solution:,31,3.2 Bond,（,Topic 3.Interest rates market,）,The 1.75-year zero rate(,R,)can be calculated from the,r,(1.5)and,r,(2),as follow:,r,(1.75)=0.5,r,(1.5)+0.5,r,(2)=0.510.68%+0.510.81%=10.75%,32,6.3,即期利率曲线拟合,样条函数（,spline function,）,一类分段（片）光滑、并且在各段交接处也有一定光滑性的函数。,我们使用二次连续可微的（三次）自然样条函数,r,(,T,),拟合即期利率曲线，具体的,33,6.3,即期利率曲线拟合,例子,6.1,上交所企债即期利率曲线,2012-03-27,上交所企债即期利率曲线,2012-03-20,序号,期限,(,年,),利率,(%),利率,(%),利差,(bp),1,0.25,3.253006,3.610978,-35.7972,2,0.5,3.496965,3.829652,-33.2686,3,1,3.944909,4.231233,-28.6323,4,2,4.672248,4.882171,-20.9923,5,3,5.145991,5.302309,-15.6319,6,4,5.363075,5.487949,-12.4874,7,5,5.440517,5.545199,-10.4683,8,7,5.409646,5.486094,-7.64475,9,8,5.347287,5.411438,-6.41512,10,10,5.180657,5.219236,-3.85791,11,15,4.751384,4.70247,4.891406,12,20,4.643839,4.443202,20.06371,13,30,10.65957,7.392026,326.7541,34,6.3,即期利率曲线拟合,35,6.3,即期利率曲线拟合,