第二章不随时间改变的电磁场.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第二章 不随时间改变的电磁场,1、静电场和静磁场,2、用分离变量法求解拉普拉斯方程,3、电象法,4、电荷体系在外场中的能量,1,2.1 静电场和静磁场,（J,f,和,f,为自由电荷和传导电流）,2,边值关系,一、电势,电场对电荷作的功与路径无关，只与起点和终点的位置有关,电场对电荷作正功，电势下降。,3,电场强度的梯度等于电势的负梯度,只有势的差值才有物理意义，如果电荷分布于有限区域，通常选取无穷远处的电势为零。,若电荷连续分布,4,二、势的方程及边值关系,（泊松方程）,（,为自由电荷密度,）,在界面上，电势连续,在分界面上，电势的边值条件,5,例1：,求均匀电场,E,0,的电势,（第55页）,8,例2：两块接地的无限大导体板相互平行，,在两板间区域内分布着自由电荷,求导体板间的电场分布和板上感应电荷面密度,解：直角坐标系中的泊松方程为,而,与,y,和,z,无关，,9,边界条件,因此,电场强度为,左板感应电荷面密度,右板感应电荷面密度,（自由电荷与感应电荷符号相反）,10,例3：无限长圆柱导体，半径为,a,，单位长度荷电为,，求导体柱外的电势和电场。,解：在柱坐标系中,在球坐标系中,导体柱外的泊松方程,11,边界条件为：,(1)在导体表面电荷密度,(2)选择电势参考点。在本题中，导体柱无限长，电荷分布在无限空间，不能选无限远处电势为零，可选择在某一个柱面上,r,=,R,0,（,R,0,a,）,为零，即,方程的解为,最后求得,12,例4：在介电常数为,的液面上浮着一半径为,a,的带电导体球，电量为,Q,。导体一半浸入液体中，一半在空气中（介电常数,0,）,(见图)。求电势、电场和导体表面电荷分布。,解：以球心为原点选取球坐标，极轴垂直液面向上。设液体中和空气中的电势分别为,1,和,2,，在两个区域中有,边界条件是：,13,（1）,（2）,边值关系为,（3）,（4）,14,由于轴对称性，电势与方位角,无关。又因为导体表面等势，所以在上、下两个半球，,都与,无关。由此推测,1,、,2,都只与,r,有关。设,这个解满足边界条件（2）及边值关系（4），利用边值关系（3），有,根据边界条件（1），得,15,所以,电位移矢量D为,电场强度为,16,上、下半球上电荷面密度,请参阅课本中第62页的例题,17,2.2 用分离变量法求解拉普拉斯方程,如果自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中没有其他自由电荷分布，那么选择这些导体表面作为区域V的边界，则在V内部自由电荷密度,=0,，因而泊松方程化为比较简单的拉普拉斯（Laplace）方程,如果求解的问题中具有对称轴，取此轴为极轴，则电势,不依赖于方位角,，,在球坐标系中,拉氏方程的通解为,18,为勒让德函数，,a,n,和,b,n,待定常数，由边界条件确定。,例1 一个内径和外径分别为R,2,和R,3,的导体球壳，带电荷Q，同心地包围着一个半径为R,l,的导体球(R,l,R,2,)使这个导体球接地，求空间各点的电势和这个导体球的感应电荷（P64）,19,20,21,例,介电常数为,的介质球置于均匀外电场,E,0,中，求电势。,设球半径为,R,0,，球外为真空，这问题具有抽对称性，对称轴为通过球心沿外电场E,0,方向的轴线，取此轴线为极轴。,解：,极化电荷只存在介质球的表面，在球内和球外的两个区域没有自由电荷，故电势满足拉氏方程。,球外：,22,球内：,（1）在无穷远处，则,所以,（2）R=0,2,为有限值，因此,23,（3）在介质球面上，（R=R,0,）,代入,1,、,2,的方程中,比较P,1,的系数，可得,24,由此求得,比较其他P,n,项的系数，可得,最后,25,电象法的基本思路是：,利用点电荷电场的特性，用区域以外假想的点电荷代替导体表面感应电荷分布或介质界面的电荷分布对区域内电场的影响，同时保证边界条件得到满足。这样，区域内真实的点电荷与区域外假想的点电荷在所研究区域内产生的总电场就是所求的电场。,2.3 电 象 法,26,例:设在一无限大接地导体平面上方，与平面相距为,d,处，有一点电荷,q,，求平面以上空间内的电势分布及导体面上感应电荷密度。,电势满足的边界条件,27,（0,0,d,）点电荷q和（0,0,-,d,）点电荷-,q,，相距2,d,，在空间产生的电势为,导体面上感应电荷密度为,28,例2,如图，半径为,a,的接地导体球外有一点电荷,q,，其与导体球心相距,l,(,l,a,)，求导体外真空中的电势和导体球上的面电荷分布。,解：以导体球心为原点建立球坐标，极轴通过点电荷,q,。边界条件是,设象电荷,q,在极轴上，距原点,l,a,，同时撤掉导体球，,q,与原电荷,q,在空间任一点,p,(,r,)产生的电势为,29,要求在,r,a,的球面上满足边界条件：,30,上式要求对任意,都成立，则,有物理意义的解是,31,这样求出导体外任意一点的电势,导体球面上感应电荷分布为：,32,2.4,电荷体系在外场中的能量,一、静电场和静磁场的能量,电磁场能量密度为,总电磁能,33,静电场的总能量,34,例3：求带电量,Q,、半径为,a,的导体球的静电场总能量。,35,习题：第93页,1、2、3、6、9、11,36,