第二章--利息理论-保险精算学教学.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章,第一节,利息的基础知识,主要内容,累积函数,利息,利率,单利与复利,现值函数,一年计息m次的实际利率与实际贴现率,利息力,1、累积函数,单位货币经过t 年后的价值。,A,0,为本金，A,t,为t年后的价值。,3、利率,单位资本的获得的利息。,例一,设：a,t,=ct,2,+d(c、d为常数），a,5,=126,A,0,=100,求：A,10、,i,10,解：,a,0,=1 a,5,=126,得：c=5 d=1,所以：a,t,=5t,2,+1,A,10,=A,0,a,10,=50100,i,10,=(a,10,-a,9,)/a,9,=0.233,2）复利,设利率为i，期初本金为1。,1+i (1+i),2,(1+i),t,1,0 1 2 t,a,t,=(1+i),t,5、单利、复利的比较,（1）单利条件下，每年利息相等，实际利率减少。,每年的利息：I,n,=A,n,-A,n-1,=A,0,(a,n,-a,n-1,)=A,0,i,每年的利率：,（3）、图形比较,当t(1+i),t,当t1时：1+it(1+i),t,a,t,=1+it,a,t,=(1+i),t,1,1,解：,（1）A,1,=1，000（1+it）,=1，000（1+0.122）=1，240元,A,2,=1，000(1+i),2,=1，254.4元,（2）1，500=1，000（1+it,1,）,t,1,=4.17年,1，500=1，000(1+i),t,t,2,=3.58年,6、现值和贴现率,现值函数,。未来t年1单位货币在现在的值。,（1）单利：各年1元的现值。,1+i 1+2i 1+it,1,1 1 1 1,1/1+i,1/1+2i,折现过程,0,复利条件下：,折现因子：,折现函数：,贴现率,1）计息的方式。,滞后利息 期初利息,例：购买一年期面值为100元的国债，,第一种方法：一年后还本付息110元；,10元为滞后利息，是期初本金上的增加额。-利息。,第二种方法：购买时90元，一年后按面值返还。,10元为期初利息，是期末值的减少额。-贴现额。,.,2）贴现率的定义：单位货币在一年内的贴现额。,年贴现额=A,n,d,n,=A,n,-A,n-1,以A,n,为标准的减少额。,年利息=A,n-1,i,n,=A,n,-A,n-1,以A,n-1,为标准的增加额。,3）贴现率与利率,或：,4）贴现率与折现因子,公式一,及：,公式二,及：,7、一年计息m次的实际利率与贴现率,例：期初本金为1元，年利率为10%。,如果一年计息一次，则年末积累值为1.10元。,如果一年计息两次，则年末积累值为,（1+10%/2）,2,=1.1025元,即年实际利率为10.25%,1）实际利率：每个度量时期内结转一次利息的利率。名义利率：每个度量时期内多次结转利息的利率。,设年名义利率为i,（m）,，年实际利率为i。,每次计息的实际利率为,i,（m）,/m,。,则：,所以：,或：,2）实际贴现率：每个度量期内贴现一次的贴现率。名义贴现率：每个度量期内多次贴现的贴现率。,设年名义贴现率为d,(m),实际贴现率为d，,则：每次的贴现率为,所以：,或：,一般公式,如果一年结转m次利息，或一年贴现n次等价。,则：,例（1）求每月结算的年利率为12%的实际利率；（2）求每季结算的年贴现率为10%的实际贴现率。,解（1）,（2）,结论：结转次数越多，实际利率越大，实际贴现率越小。,解,1）共计息10次,2）由公式,得：,例:一张尚需6个月到期的债券，其面值为2，000元，如果名义贴现率为6%，一年贴现4次，求该债券现在的价格为多少？,解：1）,P=,或：2）,8、利息力,瞬时利率。度量资本在某一时点上的获利能力。,1）常数利息力,定义：,。,或：,所以：a）,b）,利息力与累积函数,2）常数贴现力,当m ，期初付与期末付没有区别。,3）利息力的一般式,定义,累积函数与利息力,由定义式：,两边积分,。,当 为常数时：,各年的利息力分别为：,积累函数值,第n年的利率为,。,现值函数值为：,例：设某项投资基金的利息力为，其中k为投资年度。求投资者在开始投资多少资金于该基金时，使得投资在5年末的终值为50，000元。,解：,例：设,1）,4）,第二节、利率问题、时间问题求解,利率问题求解,1）解析法,2）线性插值法,3）迭代法,1）解析法,例：期初的2，000元本金经过2年3个月之后的累积额为2，500元，试确定这笔投资的收益率,。,解：,2）线性插值法,设y=f(i)，在区间（i,1,，i,2,）近似呈线性变化。,且：f(i,1,)0，f(i,0,)=0,.,.,i,1,i,0,i,2,f(i,1,),f(i,2,),y,0,x,斜率相等,例：某人现在投资500元，第一年末投资300元，第二年末再投资150元，这样在第四年末将积累到1，300元，求i,解：500(1+i),4,+300(1+i),3,+150(1+i),2,=1300,令：,f(i)=500(1+i),4,+300(1+i),3,+150(1+i),2,-1300,由试算得：,f(0.1)=12.85=f(i,2,),f(0.09)=-27.49=f(i,1,),由线性插值法得：,3）迭代法,多次运用线性插值法。,例：用迭代法求上例，要求精确度达到小数点后5位。,解:上例中,f(i)=500(1+i),4,+300(1+i),3,+150(1+i),2,-1300,第一次近似：,f(0.0968)=-0.1604=f(i,1,),试算：,f(0.0969)=0.2447=f(i,2,),由线性插值法得：,时间问题的求解,1）解析式,2）72规则,。,3）加权算术平均公式,设在时间t,1,，t,2,，t,3,t,n,分别需要偿还金额x,1,，x,2,，x,3,x,n,；如果他希望一次还清总贷款(x,1,+x,2,+x,3,+x,n,)。,求还款的时间。,。,近似公式,。,。,作业,1、李华90年1月1日在银行帐户上有5，000元存款。,1）在每年10%的单利下，求94年1月1日的存款。,2）在每年8%的复利下，求94年1月1日的存款。,。,2、张军94年初在银行帐户上有10，000元存款。,1）在复利11%下计算90年的现值。,2）在11%的贴现率下计算90年的现值。,习题,1、假设累积函数a(t)=at,2,+b，如果期初的100元在3年末可以累积到172元，试计算在第6年初投资100元，在第10年末可以累积到多少元？,2、如果A(t)=100+5t，试计算i,5,。,3、如果A(t)=100(1.1),t,，试计算i,5,。,4、已知投资3 000元在两年后的利息是158元，试计算以相同的复利利率投资，起初的3 000元在3年半的利息。,5、第n年末的1元和第2n年末的1元在起初的现值之和为1元，试计算(1+i),2n,是多少？,6、如果每季度接转一次利息的年名义利率为6%，试计算200元本金在3年零4个月末的值。,7、如果i,(m),=0.179 988 9,d,(m),=0.173 734 8试 确定m为多大？,8、当常数利息力为多大时，等价于每月接转一次利息的年名义利率6%。,9、如果,内等价的年实际利率。,10、如果投资者愿意立即投资3 000元，并在第3年末追加一笔投资，希望在第5年末和第6年末个获得5 000元，假设i,(4),=5%，试确定投资者应该在第3年末追加多少投资？,11、有两笔金额均为3 000元的资金，如果一笔按6%的实际利率投资，另一笔按4%的实际利率投资，试计算经过多长时间以后，前者的累积值是后者的2倍。,12、一项贷款的年实际利率为5%，原来的还款计划是：第1年末偿还5 000元，第2年末偿还6 000元，地4年末再偿还5 000元正好还清。如果借款人希望一次还清16 000元的贷款，试计算合理的还款时间。,。,13、如果现在投资300元，第1年末投资200元，第2年末投资100元，到第3年末时将累积到800元，试计算实际利率为多少？,14、厂商向零售商提供了两种可供选择的付款方式,：（,1）立即付款，可以享受20%的价格折扣；（2）6个月后付款，可以享受15%的价格折扣。当实际利率为多少时，这两种付款方式对零售商没有区别？,