数学物理方法-143-分离变量法-laplace.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,分离变量法,3,二维拉普拉斯方程的边值问题,矩形区域上的拉普拉斯边值问题,问题描述：,一个长为,a,，宽为,b,的矩形薄板，上下两面绝热，四周边界温度已知，具体为：板的两边（,x,=0,x,=,a,）始终保持零度，另外两边（,y,=0,y,=,b,）的温度分别为,f,(,x,),和,g,(,x,),，求薄板内稳恒状态下的温度分布规律。,0,x,a,b,f,(,x,),g,(,x,),0,。,0,。,y,二维拉普拉斯方程的边值问题,矩形区域上的,Laplace,方程边值问题,二维拉普拉斯方程的边值问题,设,边界条件如何处理,?,关于,Y,(,y,),的方程,关于,X,(,x,),的方程,固有值为,固有函数为,将固有值代入,Y,(,y,),的方程,二维拉普拉斯方程的边值问题,原定解问题的解：,由边界条件得：,问题：如何推导系数,C,n,和,D,n,?,看成整体,算例：边界温度分布,温度,算例：温度分布三维图,算例：温度分布平面图,二维拉普拉斯方程的边值问题：,圆形域,问题,一个半径为,R,0,的薄圆盘，上下两面绝热，圆周边界上的温度已知，求达到,稳恒状态,时圆盘的温度分布；,分析过程,稳恒状态下温度分布满足,拉普拉斯方程,；,区域是圆形的,，若采用直角坐标系，,边界条件很难描述；,为了应用分离变量法，,采用拉普拉斯方程极的坐标形式,将更方便；,圆板内点,(,r,),，,用,u,(,r,),来表示一点的温度；,区域的圆周边界用,r,=,R,0,表示，那么，边界条件可写成,u,(,R,0,)=,f,(,),；,其中，,f,(,),为圆周边界上的已知温度,。,R,0,r,二维拉普拉斯方程的边值问题,所述问题可以表示为下列定解问题,这个问题能采用分离变量法求解吗？,先尝试！,二维拉普拉斯方程的边值问题,设泛定方程的解为,边界条件的提法,原有的定解条件,虽然,的取值范围是所有实数，但实际只须取,0,2,，,温度分布,u,(,r,),关于,是周期变化的，且周期是,0,2,。,固有值问题,(1),当 时,，方程的通解为,式中,A,与,B,是任意常数。这样的函数不满足周期性条件。,(2),当 时,，是特征值。,(3),当 时,只有当 取整数时，对所有,才满足周期边界条件。特征值是,周期边界条件,求,R,(,r,),将固有值问题的特征值 代入上式，,其解是（,Euler,方程,）,当,r,0,时，,r,-,n,，违背了物理规律。所以，,必须强加条件,|,R,(0)|,，令,D,n,=0,即可，,u,0,(,r,),u,n,(,r,),欧拉方程的解法,令 ，有 ，则,代入欧拉方程中，得到,则方程有通解,求,R,(,r,),将固有值问题的特征值 代入上式，,其解是（,Euler,方程）,当,r,0,时，,r,-,n,。,但，,r,0,处的温度不可能为无限大，所以，,必须强加条件,|,R,(0)|,，即令,D,n,=0,u,0,(,r,),u,n,(,r,),特解叠加,表示成统一的形式,根据,Fourier,级数展开定理，得,作为,整体而非两个参数,求解过程之回顾,所述问题可以表示为下列定解问题,这个问题是定解问题吗？,暂时无法判断！,先用分离变量法求解。,整个求解过程中，,采用了什么定解条件？,周期边界条件，,有界性条件,所述问题可以表示为下列定解问题,周期性边界条件,：,有界性条件,：,以上为本定解问题的完整表述，其解如下：,算例：,f,(,)=10+10sin(,),算例：温度分布平面图,作 业,pp356,T17(2,4),