高三数学第二轮复习：转化与化归的思想方法课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,专题五 转化与化归的思想方法,数学第二轮专题复习第一部分,考题剖析 ,规律总结 ,知识概要 ,03,08,28,转化与化归的思想方法,1.,解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难,.,通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的,目的，这一思想方法我们称之为,“,化归与转化的思想方法,”,.,知识概要,转化与化归的思想方法,返回目录,2.,化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化,.,除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的,.,从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程,.,化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程,.,数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现,.,知识概要,转化与化归的思想方法,返回目录,3.,转化有等价转化和非等价转化,.,等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等,价性，或对所得结论进行必要的验证,.,4.,化归与转化应遵循的基本原则：,（,1,）,熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决,.,知识概要,转化与化归的思想方法,返回目录,（,2,）,简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据,.,（,3,）,和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其变为有利于运用某种数学方法或使其方法符合人们的思维规律,.,（,4,）,直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决,.,（,5,）,正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解,.,知识概要,转化与化归的思想方法,返回目录,5.,利用转化与化归的思想解决问题的模式可图示如下：,知识概要,转化与化归的思想方法,返回目录,考 题 剖 析,返回目录,1.,（,2007,烟台模拟题,）,若,(2,x,),4,=,a,0,a,1,x,a,2,x,2,a,3,x,3,a,4,x,4,，,则,(,a,0,a,2,a,4,),2,(,a,1,a,3,),2,的值为,（,）,A.0,B.,1,C.1,D.2,考题剖析,解析,令,f,(,x,)=(2,x,),4,=,a,0,a,1,x,a,2,x,2,a,3,x,3,a,4,x,4,(,a,0,a,2,a,4,),2,(,a,1,a,3,),2,=(,a,0,a,1,a,2,a,3,a,4,)(,a,0,a,1,a,2,a,3,a,4,),=,f,(1),f,(,1)=(2,),4,(,2,),4,=1,所以选,C.,点评,本题巧妙地将二项式项的系数问题转化为函数问题，关键是要看清,(,a,0,a,2,a,4,),2,(,a,1,a,3,),2,的结构特点，可以分解因式，而分解因式后与前面式子联系起来看，就不难转化为一个函,数问题了,.,转化与化归的思想方法,返回目录,2.,（,2007,云南昆明市质检题,）,若,|,x,y,3|=0,，,则点,M,(,x,y,),的轨迹是,（,）,A.,圆,B.,椭圆,C.,双曲线,D.,抛物线,考题剖析,解析,由原式可以变形为 ，,即可以看作是动点,（,x,y,),到点,（,3,1,）,的距离与到定直线,x,y,3=0,的距离的比为 ，故点,M,(,x,y,),的轨迹是双曲线,.,点评,本题如果直接对原式进行变形，是有一定运算量的，效率也不高，但将式子转化为这种公式之后，它的几何意义就凸,现出来了，解题时要有一定的转化能力与数形结合的能力,.,转化与化归的思想方法,返回目录,分析,本题要求,(,x,2,3,x,2),5,展开式中,x,的系数，而我们只学习过多项式乘法法则及二项展开式定理，因此，就要把对,x,系数的计算用两种思路进行转化,.,3.,在,(,x,2,3,x,2),5,的展开式中,x,的系数为,（,）,A.160 B.240 C.360 D.800,考题剖析,解析思路,1,：,直接运用多项式乘法法则和两个基本原理求解，则,(,x,2,3,x,2),5,展开式是一个关于,x,的,10,次多项式,，,(,x,2,3,x,2),5,=(,x,2,3,x,2)(,x,2,3,x,2)(,x,2,3,x,2)(,x,2,3,x,2)(,x,2,3,x,2),，,它的展开式中的一次项只能从,5,个括号中的一个中选取一次项,3,x,并,在其余四个括号中均选择常数项,2,相乘得到，故为,C (3,x,)C 2,4,=5316,x,=240,x,，,所以应选,B.,转化与化归的思想方法,返回目录,思路,2:,利用二项式定理把三项式乘幂转化为二项式定理再,进行计算：,x,2,3,x,2=,x,2,(3,x,2)=(,x,2,2),3,x,=(,x,2,3,x,),2,=(,x,1)(,x,2)=(1,x,)(2,x,),，,这条思路下又有四种不同的化归与转化方法,.,如利用,x,2,3,x,2=,x,2,(3,x,2),转化，可以发现只有,C (3,x,2),5,中会有,x,项，即,C (3,x,)2,4,=240,x,，,故选,B,；,如利用,x,2,3,x,2=(,x,2,2),3,x,进,行转化，则只,C (,x,2,2),4,3,x,中含有,x,一次项，即,C,3,x,C 2,4,=240,x,；,如利用,x,2,3,x,2=(,x,2,3,x,),2,进行转,化，就只有,C (,x,2,3,x,)2,4,中会有,x,项，即,240,x,；,考题剖析,转化与化归的思想方法,返回目录,如选择,x,2,3,x,2=(1,x,)(2,x,),进行转化,，,(,x,2,3,x,2),5,=(1,x,),5,(2,x,),5,展开式中的一次项,x,只能由,(1,x,),5,中的一次项乘以,(2,x,),5,展开式中的常数项加上,(2,x,),5,展开式中的一次项乘以,(1,x,),5,展开式中的常数项后得到，即为：故选,B .,考题剖析,点评,化归与转化的意识帮我们把未知转化为已知,.,转化与化归的思想方法,返回目录,4.,（,2007,北京宣武区模拟题,）,某厂,2006,年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到,12,月投入建设资金又恰好与,12,月的生产利润相同，问全年总利润,m,与全年总投入,N,的大小关系是,（,）,A.,m,N,B.,m,4,x,p,3,对一切,0,p,4,均成立，试求实数,x,的取值范围,.,解析,x,2,px,4,x,p,3,(,x,1),p,x,2,4,x,30,令,g,(,p,)=(,x,1),p,x,2,4,x,3,，,则要使它对,0,p,4,均有,g,(,p,)0,，,只要有,x,3,或,x,1.,点评,在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的,.,但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解,.,本题中，若视,x,为主元来处理，既繁且易出错，实行主元的转化，使问题变成关于,p,的一次不等式，使问题实现了从高维向低维转化，解题简单易行,.,转化与化归的思想方法,考题剖析,返回目录,7.,（,2007,湘潭市调研题,）,已知二次函数,f,（,x,）,=,ax,2,2,x,2,a,1,，,其中,x,=2sin,（,0,）,.,若二次方程,f,（,x,）,=0,恰有两个不相等的实根,x,1,和,x,2,，,求实数,a,的取值范围,.,分析,注意,0,，,则,12sin,2,，,即,1,x,2,，,问题转化为二次方程根的分布问题，根据图象得出等价的不等式组,.,解析,由以上分析，问题转化为二次,方程,ax,2,2,x,2,a,1=0.,在区间,1,2,上,恰有两个不相等的实根，由,y,=,f,（,x,）,的图象,（如图所示），,转化与化归的思想方法,考题剖析,返回目录,得等价不等式组：,解得实数,a,的取值范围为,3,，,.,考题剖析,点评,本题体现了函数与方程的转化、数与形的转化，直观明了,.,转化与化归的思想方法,返回目录,8.,如下图所示，图,（,a,）,为大小可变化的三棱锥,P,ABC,.,（,1,）,将此三棱锥沿三条侧棱剪开，假定展开图刚好是一个直,角梯形,P,1,P,2,P,3,A,，,如图,（,b,）,所示,.,求证：侧棱,PB,AC,；,（,2,）,由,（,1,）,的条件和结论，若三棱锥中,PA,=,AC,，,PB,=2,，,求,侧面,PAC,与底面,ABC,所成角；,（,3,）,将此三棱锥沿三条侧棱剪开，假定其展开图刚好是一个,三角形,P,1,P,2,P,3,，,如图,（,c,）,所示,.,已知,P,1,P,3,=,P,2,P,3,，,P,1,P,2,=2,a,，,若三,棱锥相对棱,PB,与,AC,间的距离为,d,，,求此三棱锥的体积,.,考题剖析,转化与化归的思想方法,返回目录,考题剖析,解析,（,1,）,在平面图中,P,1,A,P,2,B,，,P,2,B,P,2,C,.,故三棱锥中,，,PB,PA,，,PB,PC,，,PB,平面,PAC,，,PB,AC,.,（,2,）,由,（,1,）,在三棱锥中作,PD,AC,于,D,，,连结,BD,.,由三垂线定理得,BD,AC,，,PDB,是所求二面角的平面角，在展开图中，,连,BP,3,得,BP,3,AC,，,作,AE,CP,3,于,E,，,得,AE,=,P,1,P,2,=4.,设,PA,=,AC,=,x,，,则,P,1,A,=,AC,=,P,3,A,=,x,，,由,P,2,C,=,CP,3,，,CE,=,EP,3,=,，,EP,3,=.,故,CP,3,=2,，,P,2,P,3,=4,，,转化与化归的思想方法,返回目录,由,AC,DP,3,=,CP,3,AE DP,3,=,，,又,BP,3,=6,，,且,BD,=.,在,PDB,中,，,cos,PDB,=,，,侧面,PAC,与,底面,ABC,所成的角的大小为,arccos,.,考题剖析,转化与化归的思想方法,返回目录,（,3,）,在平面图中，由剪法知,，,A,、,B,、,C,分别是三角,形三边的中点,.,由此得：,AB,=,BC,=,AC,=,a,.,在三棱锥中，,取,AC,中点,D,.,连,PD,、,B,D AC,PD,，,AC,BD,，,故,AC,平面,PDB,，,且,D,到,PB,的距离为异面直线,PB,与,AC,之间的距离,d,，,S,PDB,=,ad,，,V,=,a,2,d,.,考题剖析,点评,立体几何中有关位置关系的论证实际上是位置关系的相互转化，有关空间角的计算总是转化为平面内的角来求解,.,转化与化归的思想方法,返回目录,9.,设函数,f,(,x,),的定义域为,R,，,若对于任意实数,m,，,总有,f,(,m,n,)=,f,(,m,),f,(,n,),且当,x,0,时,，,0,f,(,x,),1.,(,),证明,：,f,(0)=1,且,x,0,时,，,f,(,x,),1,；,(,),证明,：,f,(,x,),在,R,上单调递减；,(,),若,f,(,x,),m,2,2,am,1,对所有,x,0,),a,1,1,时恒成立，求实数,m,的取值范围,.,解析,（,）,在,f,(,m,n,)=,f,(,m,),f,(,n,),中取,m,0,n,=0,有,f,(,m,）,=,f,(,m,),f,(0).,x,0,时,，,0,f,(,x,),1,f,(,m,)0.,f,(0)=1,又设,m,=,x,0,，,n,=,x,0,，,则,0,f,(,x,),1,f,(,m,n,)=,f,(0)=,f,(,x,),f,(,x,),，,f,(,x,)=,1,即,x,0,时,，,f,(,x,),1.,转化与化归的思想方法,考题剖析,返回目录,(,),设,x,1,x,2,，,则,x,2,x,1,0,0,f,(,x,2,x,1,),1,f,(,x,1,),0,，,f,(,x,2,),f,(,x,1,),=,f,(,x,2,x,1,),x,1,f,(,x,1,)=,f,(,x,2,x,1,),f,(,x,1,),f,(,x,1,)=,f,(,x,1,),f,(,x,2,x,1,),1,0.,f,(,x,),在,R,上单调递减,.,（,）,f,(,x,),在,R,上递减,，,当,x,0,）,时,，,f,(,x,),f,(0)=1,，,由若,f,(,x,),m,2,2,am,1,对所有,x,0,）,a,1,1,时恒成立，有,：,1,m,2,2,am,1,，,即,m,2,2,am,0,恒成立，记,g,(,a,)=,2,ma,m,2,，,解得,m,2,或,m,=0,或,m,2.,m,的取值范围是,（,2,0,2,).,转化与化归的思想方法,考题剖析,返回目录,点评,抽象函数中，恰当地对条件给出的恒等式进,行赋值，是解题的常用方法,.,(,),中通过将,m,，,n,赋值,x,和,x,，,从而将,f,(,x,),用,f,(,x,),表达,;,(,),中将,f,(,x,2,),等价转化为,f,(,x,2,x,1,),x,1,是常用方法；,(,),是“恒成立”问题，“恒成立”常可转化为最值问题，,本题中只要考察,f,(,x,),的最大值，问题就明朗化了,.,转化与化归的思想方法,考题剖析,返回目录,规 律 总 结,返回目录,1.,逐步树立转化与化归意识，遇到难题试着转换,.,2.,转化与化归应遵循,五条原则：,(1),熟悉化原则：将陌生的问题化为熟悉的问题来解决；,(2),简单化原则：将复杂问题化为简单问题，通过对简单问,题的解决，达到解决复杂问题的目的；,(3),和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更,符合数与形的内部所表示的和谐统一的形式，或者转化命题，,使其推理有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律；,(4),直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来,解决；,规律总结,转化与化归的思想方法,返回目录,返回目录,(5),正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解,.,3.,化归的基本方法与途径：,(1),等价转化,将原题转化为与之等价的命题；,(2),数形结合,将问题中的数量关系,(,解析式,),与空间形式,(,图形,),关系互相转化，获得化归途径；,(3),降维,(,幂,),与升维转化；,(4),构造法,“,构造,”,一个合适的数学模型，使问题易于解决,.,另外还有特殊化方法、一般化方法、换元法、补集法等,.,规律总结,转化与化归的思想方法,