几何图形变式复习.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,几何图形变式复习,几何图形变式复习几何图形变式复习,证法二：（补短法）延长AC至F,使AF=AB,连接EF.易证F、E、B,三点共线。,EA,EB分别平分CAB和DBA1=2，3=4,在AFE和AEB中,AF=AB,1=2，AE=AE,AEFAEB(SAS),EF=BE，AEF=AEB,又ACBD，F=4；FAB+DBA=180,0,2+3=90,0,AEF+AEB=180,0,F、E、B三点共线；,在FEC和BED中,6=5；EF=EB;F=4,FECBEDBD=CF,AB=AF=AC+CF=AC+BD,A,C,E,D,B,F,1,2,3,4,5,6,2,法二：（补短）如图（2），延长BE，及AC的延长线相交于点F,ACBD,EA,EB,分别平分,CAB,和,DBA1=2,，,3=4,F=4,3=4,F=3,在AEF和AEB中,AEFAEB（AAS）,AB=AF，BE=FE,在BED和FEC中,BEDFEC（ASA）,BD=FC,AB=AF=AC+CF=AC+BD。,A,C,E,D,B,F,5,6,1,2,3,4,3,已知四边形ABCD，ABAD，BCCD,AB=BC,ABC=120,0,，MBN=60,0,，MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC（或它们的延长线）于E、F,(1)当MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），是猜想AE、CF、EF之间存在怎样的数量关系？请将三条线段分别填入后面横线中,;,+,=,(不需证明）,（2）当MBN绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上问的结论分别是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，那么这三条线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。,AE,CF,EF,图,1,A,H,B,A,F,N,C,E,M,D,H,B,C,F,N,D,M,E,B,N,A,C,F,D,M,E,4,+,=,5,6,7,26,（,8,分）,(2014,年黑龙江龙东地区）已知,ABC,中，,M,为,BC,的中点，直线,m,绕点,A,旋转，过,B,、,M,、,C,分别作,BD,m,于,D,，,ME,m,于,E,，,CF,m,于,F,（1,）当直线,m,经过,B,点时，如图,1,，易证,EM=,CF,（不需证明）,（,2,）当直线,m,不经过,B,点，旋转到如图,2,、图,3,的位置时，线段,BD,、,ME,、,CF,之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明,利用中位线、角平分线、高证明线段的和、差、倍的关系,K,K,K,K,8,9,10,11,25,（,12,分）（,2014,本溪）如图，在,ABC,和,ADE,中，,AB=AC,，,AD=AE,，,BAC+,EAD=180,，,ABC,不动，,ADE,绕点,A,旋转，连接,BE,、,CD,，,F,为,BE,的中点，连接,AF,（,1,）如图,，当,BAE=90,时，求证：,CD=2AF,；,（,2,）当,BAE,90,时，（,1,）的结论是否成立？请结合图,说明理由,H,12,（,1,）证明：如图,，,BAC+,EAD=180,，,BAE=90,，,DAC=90,，,在,ABE,及,ACD,中,ABE,ACD,（,SAS,），,CD=BE,，,在,RT,ABE,中，,F,为,BE,的中点，,BE=2AF,，,CD=2AF,13,（,2,）成立，,证明：如图,，延长,EA,交,BC,于,G,，在,AG,上截取,AH=AD,，,BAC+,EAD=180,，,EAB+,DAC=180,，,EAB+,BAH=180,，,DAC=,BAH,在,ABH,及,ACD,中,ABH,ACD,（,SAS,）,BH=DC,，,AD=AE,，,AH=AD,，,AE=AH,，,EF=FB,，,BH=2AF,，,CD=2AF,14,如图（,1,），,BD,、,CE,分别是,ABC,的外角平分线，过点,A,作,AFBD,，,AGCE,，垂足分别为,F,、,G,，连结,FG,，延长,AF,、,AG,，及直线,BC,相交于,M,、,N,。,（,1,）试说明：,FG=,（,AB+BC+AC,）；,（,2,）,如图（,2,），,BD,、,CE,分别是,ABC,的内角平分线；,如图（,3,），,BD,为,ABC,的内角平分线，,CE,为,ABC,的,外角平分线。则在图（,2,）、图（,3,）两种情况下，线段,FG,及,ABC,三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其,中的一种情况说明理由。,A,D,F,M,E,G,N,B,C,(1),A,D,F,M,E,G,N,B,C,(1),C,G,D,(2),A,E,B,F,B,F,D,E,A,C,G,(3),M,N,M,N,15,解：（1）AFBD ABF=MBF BAF=BMF MB=AB,AF=MF 同理可说明：CN=AC，AG=NG,FG是AMN的中位线,FG=MN=（MBBCCN）=（ABBCAC）,（2）图（2）中，FG=（ABACBC）,图（3）中，FG=（ACBCAB）,如图（2），延长AF、AG，及直线BC相交于M、N，,AFBD，AGCE，BD为ABC的内角平分线，ABN和,ACM是等腰三角形AB=BN，AC=MC，AG=GM,AF=FN,BM=BC-AC,CN=BC-AB,FG=MN=BC-(BM+CN)=BC-（BC-AC+BC-AB）,=（ABACBC）,A,D,F,M,E,G,N,B,C,(1),C,G,D,(2),A,E,B,F,M,N,16,如图（3）延长AF、AG，及直线BC相交于M、N，同样由,（2）中可知，MB=AB，AF=MF，CN=AC，AG=NG,FG=MN=（CNBCBM）=（ACBCAB）,B,F,D,E,A,C,G,(3),M,N,17,26（9分）（2014,绥化）在菱形ABCD和正三角形BGF中，ABC=60，P是DF的中点，连接PG、PC,（1）如图1，当点G在BC边上时，易证：PG=PC（不必证明）,（,2,）如图,2,，当点,F,在,AB,的延长线上时，线段,PC,、,PG,有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给及证明；,（,3,）如图,3,，当点,F,在,CB,的延长线上时，线段,PC,、,PG,又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）,E,E,H,18,19,20,21,26,（,8,分）（,2015,齐齐哈尔）如图,1,所示，在正方形,ABCD,和正方形,CGEF,中，点,B,、,C,、,G,在同一条直线上，,M,是线段,AE,的中点，,DM,的延长线交,EF,于点,N,，连接,FM,，易证：,DM=FM,，,DM,FM,（无需写证明过程）,（,1,）如图,2,，当点,B,、,C,、,F,在同一条直线上，,DM,的延长线交,EG,于点,N,，其余条件不变，试探究线段,DM,及,FM,有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；,（,2,）如图,3,，当点,E,、,B,、,C,在同一条直线上，,DM,的延长线交,CE,的延长线于点,N,，其余条件不变，探究线段,DM,及,FM,有怎样的关系？请直接写出猜想,22,证明：连接,DF,，,NF,，,四边形,ABCD,和,CGEF,是正方形，,AD,BC,，,BC,GE,，,AD,GE,，,DAM=,NEM,，,M,是,AE,的中点，,AM=EM,，,在,MAD,及,MEN,中，,，,MAD,MEN,，,DM=MN,，,AD=EN,，,AD=CD,，,CD=NE,，,CF=EF,，,DCF=,DCB=90,，,在,DCF,及,NEF,中，,，,MAD,MEN,，,DF=NF,，,CFD=,EFN,，,EFN+,NFC=90,，,DFC+,CFN=90,，,DFN=90,，,DM,FM,，,DM=FM,23,（,2,）猜想：,DM,FM,，,DM=FM,，,证明如下：如图,3,，连接,DF,，,NF,，,连接,DF,，,NF,，,四边形,ABCD,是正方形，,AD,BC,，,点,E,、,B,、,C,在同一条直线上,AD,CN,，,ADN=,MNE,，,在,MAD,及,MEN,中，,，,MAD,MEN,，,DM=MN,，,AD=EN,，,AD=CD,，,CD=NE,，,CF=EF,，,DCF=90,+45,=135,，,NEF=180,45,=135,DCF=,NEF,，,在,DCF,及,NEF,中，,MAD,MEN,，,DF=NF,，,CFD=,EFN,，,CFD+,EFD=90,，,NFE+,EFD=90,，,DFN=90,，,DM,FM,，,DM=FM,24,如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A,B,E在同一条直,线上，连接DF,且P是线段DF的中点，连接PG,PC.,(1)如图1中，PG及PC的位置关系是,数量关系是,；,（2）如图2将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“矩形ABC,D和矩形BEFG”其他条件不变，求证：PG=PC;,（3）如图3，若将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“菱形,ABCD和菱形BEFG”，A、B、E在同一条直线上，连接DF,P是线,段DF的中点，连接PG、PC,且ABC=BEF=60,0,，求 的值,H,H,H,25,26,27,28,29,26（本题满分8分）,（,2015,陇东地区）,如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC,上，连接AE，将ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B，,连接AB并延长交直线DC于点F.,(1)当点F及点C重合时如图（1），易证：DF+BE=AF（不需证明）.,(2)当点F在DC的延长线上时如图（2）,当点F在CD的延长线上时,如图（3），线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你,的猜想，并选择一种情况给予证明.,G,M,30,解：图(2)的结论：DF+BE=AF 2分,图(3)的结论：BE-DF=AF 2分,图(2)的证明：延长CD到点G,使DG=BE，连接AG,需证ABEADG 1分,BAE=DAG,AEB=AGD,CBAD,AEB=EAD,BAE=BAE,BAE=DAG,GAF=DAE,AGD=GAF 1分,GF=AF 1分,BE+DF=AF 1分,31,图(3)的证明：在BC上取点M，使BMDF，连接AM,需证ABMADF 1分,BAM=DAF,AF=AM,ABEABE,BAE=BAE,MAE=DAE,ADBE,MEA=DAE,MEA=MAE 1分,ME=MA=AF 1分,BE-DF=AF 1分,32,26.（本小题满分8分）,在等腰直角三角形ABC中，BAC=90，AB=AC，直线MN过,点A且MNBC.以点B为一锐角顶点作RtBDE，BDE=90，,且点D在直线MN上（不及点A重合）.如图1，DE及AC交于点P，,易证：BD=DP.(无需写证明过程),（1）在图2中，DE及CA延长线交于点P，BD=DP是否成立？,如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；,（2）在图3中，DE及AC延长线交于点P，BD及DP是否相等？,请直接写出你的结论，无需证明.,F,F,F,1,2,1,2,33,证明：如答图1，过点D作DFMN，交AB于点F，,则ADF为等腰直角三角形，DA=DF,1+FDP=90，FDP+2=90，,1=2,在BDF及PDA中，,BDFPDA（ASA）,BD=DP,（1）答：BD=DP成立,34,证明：如答图2，过点D作DFMN，交AB的延长线于点F，,则ADF为等腰直角三角形，DA=DF,1+ADB=90，ADB+2=90，,1=2,在BDF及PDA中，,BDFPDA（ASA）,BD=DP,（2）答：BD=DP,35,证明：如答图3，过点D作DFMN，交AB的延长线于点F，,则ADF为等腰直角三角形，DA=DF,在BDF及PDA中，,BDFPDA（ASA）,BD=DP,36,26,（,8,分）（,2013,牡丹江）在,ABC,中，,AB=AC,，点,D,在边,BC,所在的直线上，过点,D,作,DF,AC,交直线,AB,于点,F,，,DE,AB,交直线,AC,于点,E,（,1,）当点,D,在边,BC,上时，如图,，求证：,DE+DF=AC,（,2,）当点,D,在边,BC,的延长线上时，如图,；当点,D,在边,BC,的反向延长线,上时，如图,，请分别写出图,、图,中,DE,，,DF,，,AC,之间的数量关系，不需要证明,（,3,）若,AC=6,，,DE=4,，则,DF=,2,或,10,37,解：（,1,）证明：,DF,AC,，,DE,AB,，,四边形,AFDE,是平行四边形,AF=DE,，,DF,AC,，,FDB=,C,又,AB=AC,，,B=,C,，,FDB=,CDF=BF,DE+DF=AB=AC,；,（,2,）,图中：,AC+DF=DE,图中：,AC+DE=DF,（,3,）,当如图的情况，,DF=ACDE=64=2,；,当如图,的情况，,DF=AC+DE=6+4=10,故答案是：,2,或,10,38,25.,在四边形,ABCD,中，对角线,AC,、,BD,相交于点,O,，将,COD,绕点,O,按逆时针方向旋转得到,C,1,OD,1,，旋转角为,（,0,90,）,，连接,AC,1,、,BD,1,，,AC,1,及,BD,1,交于点,P,.,（,1,）如图,1,，若四边形,ABCD,是正方形,.,求证：,AOC,1,BOD,1,.,请直接写出,AC,1,及,BD,1,的位置关系,.,（,2,）如图,2,，若四边形,ABCD,是菱形，,AC,=5,，,BD,=7,，设,AC,1,=,k,BD,1,.,判断,AC,1,及,BD,1,的位置关系，说明理由,，并,求出,k,的值,.,（,3,）如图,3,，若四边形,ABCD,是平行四边形，,AC,=5,，,BD,=10,，连接,D,D,1,，设,AC,1,=,kBD,1,请直接写出,k,的值和,的值,.,来源,:,学。科。网,P,A,B,C,D,D1,O,C1,C,D,A,B,D1,P,C1,O,图,1,图,2,图,3,第,25,题图,C,D,A,B,D1,P,C1,O,由旋转产生的线段的关系,39,40,41,42,如图,1,，在菱形,ABCD,中，对角线,AC,及,BD,相交于点,O,，,AB=13,，,BD=24,，在菱形,ABCD,的外部以,AB,为边作等边三角形,ABE,点,F,是对角线,BD,上一动点（点,F,不及点,B,、,D,重合），将线段,AF,绕点,A,顺时针方向旋转,60,得到线段,AM,，连接,FM,（,1,）求,AO,的长；,（,2,）如图,2,，当点,F,在线段,BO,上，且点,M,，,F,，,C,三点在同一条直线上时，求证：,ACM=30,；,（,3,）连接,EM,，若,AEM,的面积为,40,，请画出图形，并直接写出,AFM,的周长,F,M,43,（2）如图2，,四边形ABCD是菱形，BD垂直平分AC，,FA=FC，FAC=FCA，由已知AF=AM，MAF=60，,AFM为等边三角形，M=AFM=60，,点M，F，C三点在同一条直线上，,FAC+FCA=AFM=60，FAC=FCA=30，,MAC=MAF+FAC=60+30=90，,在RTACM中,tanM=tan60=，,AC=AM,M,C,E,A,D,O,F,B,解：（1）四边形ABCD是菱形，,ACBD，OB=OD=BD，BD=24，OB=12，,在RTOAB中，AB=13，,OA=5，,44,（3）如图，连接EM，,ABE是等边三角形，,AE=AB，EAB=60，,由（1）知AFM为等边三角形，,AM=AF，MAF=60，,EAM=BAF，,在AEM和ABF中，,，,AEMABF（SAS），,AEM的面积为40，ABF的高为AO,BFAO=40，BF=16，,FO=BFBO=1612=4,AF=，,AFM的周长为3 ,E,A,D,M,O,F,B,45,D,G,46,47,48,25,（,14,分）（,2013,营口）如图,1,，,ABC,为等腰直角三角形，,ACB=90,，,F,是,AC,边上的一个动点（点,F,及,A,、,C,不重合），以,CF,为一边在等腰直角三角形外作正方形,CDEF,，连接,BF,、,AD,（1,）,猜想图,1,中线段,BF,、,AD,的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；,将图,1,中的正方形,CDEF,，绕着点,C,按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度,，得到如图,2,、图,3,的情形图,2,中,BF,交,AC,于点,H,，交,AD,于点,O,，请你判断,中得到的结论是否仍然成立，并选取图,2,证明你的判断,（2,）将原题中的等腰直角三角形,ABC,改为直角三角形,ABC,，,ACB=90,，正方形,CDEF,改为矩形,CDEF,，如图,4,，且,AC=4,，,BC=3,，,CD=,CF=1,，,BF,交,AC,于点,H,，交,AD,于点,O,，连接,BD,、,AF,，求,BD,2,+AF,2,的值,，,H,H,49,解：（,1,）,BF=AD,，,BF,AD,；,BF=AD,，,BF,AD,仍然成立，,证明：,ABC,是等腰直角三角形，,ACB=90,，,AC=BC,，,四边形,CDEF,是正方形，,CD=CF,，,FCD=90,，,ACB+,ACF=,FCD+,ACF,，,即,BCF=,ACD,，,在,BCF,和,ACD,中,BCF,ACD,（,SAS,），,BF=AD,，,CBF=,CAD,，,又,BHC=,AHO,，,CBH+,BHC=90,，,CAD+,AHO=90,，,AOH=90,，,BF,AD,；,50,（,2,）证明：连接,DF,，,四边形,CDEF,是矩形,FCD=90,，,又,ACB=90,，,ACB=,FCD,ACB+,ACF=,FCD+,ACF,，,即,BCF=,ACD,，,AC=4,，,BC=3,，,CD=,CF=1,，,，,，,BCF,ACD,，,CBF=,CAD,，,又,BHC=,AHO,，,CBH+,BHC=90,CAD+,AHO=90,，,AOH=90,，,BF,AD,，,51,BOD=,AOB=90,，,BD,2,=OB,2,+OD,2,，AF,2,=OA,2,+OF,2,，AB,2,=OA,2,+OB,2,，,DF,2,=OF,2,+OD,2,=CF,2,+CD,2,BD,2,+AF,2,=OB,2,+OD,2,+OA,2,+OF,2,=AB,2,+DF,2,，,在,Rt,ABC,中，,ACB=90,，,AC=4,，,BC=3,，,AB,2,=AC,2,+BC,2,=3,2,+4,2,=25,，,在,Rt,FCD,中，,FCD=90,，,CD=,，CF=1,，,，,BD,2,+AF,2,=,52,25,（,14,分）（,2014,营口）四边形,ABCD,是正方形，,AC,及,BD,，相交于点,O,，点,E,、,F,是直线,AD,上两动点，且,AE=DF,，,CF,所在直线及对角线,BD,所在直线交于点,G,，连接,AG,，直线,AG,交,BE,于点,H,（,1,）如图,1,，当点,E,、,F,在线段,AD,上时，,求证：,DAG=,DCG,；,猜想,AG,及,BE,的位置关系，并加以证明；,（,2,）如图,2,，在（,1,）条件下，连接,HO,，试说明,HO,平分,BHG,；,（,3,）当点,E,、,F,运动到如图,3,所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接写出,BHO,的度数,M,N,H,G,O,M,N,53,（,1,）,证明：,四边形,ABCD,为正方形，,DA=DC,，,ADB=,CDB=45,，,在,ADG,和,CDG,中,，,ADG,CDG,（,SAS,），,DAG=,DCG,；,解：,AG,BE,理由如下：,四边形,ABCD,为正方形，,AB=DC,，,BAD=,CDA=90,，,在,ABE,和,DCF,中,，,ABE,DCF,（,SAS,），,ABE=,DCF,，,DAG=,DCG,，,DAG=,BAE,，,DAG+,BAG=90,，,ABE+,BAG=90,，,AHB=90,，,AG,BE,；,54,（,2,）解：由（,1,）可知,AG,BE,如答图,1,所示，过点,O,作,OM,BE,于点,M,，,ON,AG,于点,N,，则四边形,OMHN,为矩形,MON=90,，又,OA,OB,，,AON=,BOM,AON+,OAN=90,，,BOM+,OBM=90,，,OAN=,OBM,在,AON,及,BOM,中，,AON,BOM,（,ASA,）,OM=ON,，,矩形,OMHN,为正方形，,HO,平分,BHG,55,（,3,）将图形补充完整，如答图,2,示，,BHO=45,及（,1,）同理，可以证明,AG,BE,过点,O,作,OM,BE,于点,M,，,ON,AG,于点,N,，,及（,2,）同理，可以证明,AON,BOM,，,可得,OMHN,为正方形，所以,HO,平分,BHG,，,BHO=45,56,在四边形ABCD中,AC=AB,DC=DB,CAB=60,0,，CDB=120,0,E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF.,思考验证：,（1）求证:DE=DF;,（2）在图1中，若G在AB上且EDG=60,0,，是猜想CE、EG、BG,之间的数量关系并证明；,（3）若题中条件“CAB=60,0,，且CDB=120,0,”改为CAB=a,CDB=180,0,-a,G在AB上，EDG满足什么条件时，（2）中结,论仍然成立？（只写结果不需证明）,探究应用：,（4）运用（1）（2）（3）解答中所积累的经验和知识，完成下,题：如图2，在四边形ABCD中，ABC=90,0,，CAB=CAD,=30,0,，E在AB上，DEAB，且DCE=60,0,，若AE=3，求BE的长,G,B,F,A,E,C,D,图,1,A,E,B,C,D,图,2,M,N,57,58,G,B,F,A,E,C,D,图,1,59,60,A,E,B,C,D,图,2,m,N,61,第,26,题图,1,A,D,C,B,Q,R,E,P,第,26,题图,2,A,D,C,B,Q,R,E,P,A,D,C,B,Q,R,E,P,第,26,题图,3,26,、（本题满分,8,分）如图，点,E,是矩形,ABCD,的对角线,BD,上的一点，且,BE=BC,，,AB=3,，,BC=4,，点,P,为直线,EC,上的一点，且,PQBC,于点,Q,，,PRBD,于点,R,（,1,）如图,1,，当点,P,为线段,EC,中点时，易证：,PR+PQ=,（不需证明）,（,2,）如图,2,，当点,P,为线段,EC,上的任意一点（不及点,E,、点,C,重合）时，其它条件不变，则（,1,）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。,（,3,）如图,3,，当点,P,为线段,EC,延长线上的任意一点时，其它条件不变，则,PR,及,PQ,之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想。,。,H,H,H,62,63,将ABC绕A顺时针旋转a得到ADE,DE的延长线及BC相交于F连接AF,(1)如图若BAC=a=60,0,DF=2BF,请直接写出AF及BF的数量关系,（2）如图若BACa=60,0,DF=3BF,猜想线段AF及BF的数量关系，并证明你的猜想；,（3）如图若BACa,DF=mBF(m为常数），请直接写出 的值（用含a、m的式子表示）,D,A,E,B,F,C,图,D,A,E,B,F,C,图,D,A,E,B,F,C,图,G,G,G,H,64,D,A,E,B,F,C,图,D,A,B,F,C,E,G,G,图,65,D,G,H,A,B,F,C,E,图,66,图,A,E,C,D,F,B,E,F,D,C,A,图,F,D,A,B,C,E,图,B,M,M,M,67,A,B,M,E,F,D,C,图,A,F,E,B,M,C,D,图,A,B,D,F,M,E,C,图,68,69,A,B,C,D,P,E,图,E,A,B,C,D,P,图,D,P,A,B,E,C,图,M,M,M,H,M,70,71,72,26,（,8,分）（,2013,绥化）已知，在,ABC,中，,BAC=90,，,ABC=45,，点,D,为直线,BC,上一动点（点,D,不及点,B,，,C,重合）以,AD,为边做正方形,ADEF,，连接,CF,（1,）如图,1,，当点,D,在线段,BC,上时求证,CF+CD=BC,；,（2,）如图,2,，当点,D,在线段,BC,的延长线上时，其他条件不变，请直接写出,CF,，,BC,，,CD,三条线段之间的关系；,（3,）如图,3,，当点,D,在线段,BC,的反向延长线上时，且点,A,，,F,分别在直线,BC,的两侧，其他条件不变；,请直接写出,CF,，,BC,，,CD,三条线段之间的关系；,若正方形,ADEF,的边长为,2,，对角线AE,，,DF,相交于点,O,，连接,OC,求,OC,的长度,73,证明：（1,）,BAC=90,，,ABC=45,，,ACB=,ABC=45,，,AB=AC,，,四边形,ADEF,是正方形，,AD=AF,，,DAF=90,，,BAD=90,DAC,，,CAF=90,DAC,，,BAD=,CAF,，,则在,BAD,和,CAF,中，,，,BAD,CAF,（,SAS,），,BD=CF,，,BD+CD=BC,，,CF+CD=BC,；,（2,）,CF,CD=BC,；,（3,）,CD,CF=BC,74,BAC=90,，,ABC=45,，,ACB=,ABC=45,，,AB=AC,，,四边形,ADEF,是正方形，,AD=AF,，,DAF=90,，,BAD=90,BAF,，,CAF=90,BAF,，,BAD=,CAF,，,在,BAD,和,CAF,中，,BAD,CAF,（,SAS,）,ACF=,ABD,，,ABC=45,，,ABD=135,，,ACF=,ABD=135,，,FCD=90,，,FCD,是直角三角形,正方形,ADEF,的边长为,2,且对角线AE,、,DF,相交于点,O,DF=,AD=4,，,O,为,DF,中点,OC=,DF=2,75,正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PFCD于点F，如图1，当点P及点O重合时，显然有DF=CF。,（1）如图2，若点P在线段OA上（不及点A、O重合）PEPB且交CD于点E.,求证：DF=EF,写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论。,(2)若点P在线段OC上（不及点O、C重合）PEPB且PE交直线CD于点E，完成图3并判断（1）中的结论是否成立？若不成立，写出相应结论。,Q,Q,G,G,F,E,Q,P,H,76,解：（1）延长FP交AB于点Q，,AC是正方形ABCD对角线，QAP=APQ=45，,AQ=PQ，易得出BQ=PF，,PEPB，QPB+FPE=90，,QBP+QPB=90，QBP=FPE，,BQP=PFE=90，BQPPFE，,QP=EF，AQ=DF，DF=EF；,PFCD，PGAD，且，PCF=PAG=45，,PCF和PAG均为等腰直角三角形，四边形DFPG为矩形，,PA=PG，PC=CF，PG=DF，DF=EF，PA=EF，,PC=CF=（CE+EF）=CE+EF=CE+PA，,即PC、PA、CE满足关系为：PC=CE+PA；,77,78,79,如图，已知BAD和BCE均为等腰直角三角形，BAD=BCE=90，点M为DE的中点，过点E及AD平行的直线交射线AM于点N,（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；,（2）将图1中的BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：ACN为等腰直角三角形；,（3）将图1中BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由,80,1）证明：如图1，ENAD，,MAD=MNE，ADM=NEM,点M为DE的中点，DM=EM,在ADM和NEM中，,MADMNE,ADMNEM,DMEM,ADMNEM,AM=MNM为AN的中点,（2）证明：如图2，,BAD和BCE均为等腰直角三角形，,AB=AD，CB=CE，CBE=CEB=45,ADNE，DAE+NEA=180,DAE=90，NEA=90,NEC=135A，B，E三点在同一直线上，,ABC=180-CBE=135ABC=NEC,ADMNEM（已证），,AD=NEAD=AB，AB=NE,81,在ABC和NEC中，,ABNE,ABCNEC,BCEC,ABCNEC,AC=NC，ACB=NCE,ACN=BCE=90ACN为等腰直角角形,3）ACN仍为等腰直角三角形证明：如图3，此时A、B、N三,点在同一条直线上ADEN，DAB=90，ENA=DAN,=90BCE=90，CBN+CEN=360-90-90=180,A、B、N三点在同一条直线上，ABC+CBN=180,ABC=NECADMNEM（已证），,AD=NEAD=AB，AB=NE,ABNE,在ABC和NEC中，ABCNEC,BCECABCNEC,AC=NC，ACB=NCEACN=BCE=90,ACN为等腰直角三角形,82,25,（,10,分）（,2013,烟台）已知，点,P,是直角三角形,ABC,斜边,AB,上一动点（不及,A,，,B,重合），分别过,A,，,B,向直线,CP,作垂线，垂足分别为,E,，,F,，,Q,为斜边,AB,的中点（1,）如图,1,，当点,P,及点,Q,重合时，,AE,及,BF,的位置关系是,，,QE,及,QF,的数量关系式,；,（2,）如图,2,，当点,P,在线段,AB,上不及点,Q,重合时，试判断,QE,及,QF,的数量关系，并给予证明；,（3,）如图,3,，当点,P,在线段,BA,（或,AB,）的延长线上时，此时（2,）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明,D,p,E,F,D,83,解：（,1,）,AE,BF,，,QE,=,QF,，理由是：如图,1,，,Q,为,AB,中点，,AQ,=,BQ,，,BF,CP,，,AE,CP,，,BF,AE,，,BFQ,=,AEQ,，,在,BFQ,和,AEQ,中,BFQ,AEQ,（,AAS,），,QE,=,QF,，,故答案为：,AE,BF,，,QE,=,QF,（,2,）,QE,=,QF,，证明：如图,2,，延长,FQ,交,AE,于,D,，,AE,BF,，,QAD,=,FBQ,，,在,FBQ,和,DAQ,中,FBQ,DAQ,（,ASA,），,QF,=,QD,，,AE,CP,，,EQ,是直角三角形,DEF,斜边上的中线，,QE,=,QF,=,QD,，即,QE,=,QF,84,（,3,）（,2,）中的结论仍然成立，证明：如图,3,，,延长,EQ,、,FB,交于,D,，,AE,BF,，,1=,D,，,在,AQE,和,BQD,中,AQE,BQD,（,AAS,），,QE,=,QD,，,BF,CP,，,FQ,是斜边,DE,上的中线，,QE,=,QF,85,26（8分）（2015牡丹江）已知四边形ABCD是正方形，等,腰直角AEF的直角顶点E在直线BC上（不及点B，C重合），,FMAD，交射线AD于点M,（1）当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，如图，,求证：AB+BE=AM；（提示：延长MF，交边BC的延长线于点H）,（2）当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，如图；当,点E在边BC的延长线上，点M在边AD上时，如图请分别写出,线段AB，BE，AM之间的数量关系，不需要证明；,（3）在（1），（2）的条件下，若BE=，AFM=15，,则AM=,A,D,M,H,E,B,图,1,F,C,D,B,A,C,E,F,图,2,M,A,M,B,F,图,3,D,E,C,H,H,86,（1）证明：如图，延长MF，交边BC的延长线于点H，,四边形ABCD是正方形，FMAD，,ABE=90，EHF=90，四边形ABHM为矩形，,AM=BH=BE+EH,AEF为等腰直角三角形，,AE=AF，AEB+FEH=90，,EFH+FEH=90，,AEB=EFH，,在ABE及EHF中，,，,ABEEHF（AAS），,AB=EH，,AM=BH=BE+EH，,AM=BE+AB，即AB+BE=AM；,A,D,M,H,E,B,图,1,F,C,87,（2）解：如图，AEB+FEH=90，AEB+EAB=90，,FEH=EAB，,在ABE及EHF中，,，,ABEEHF（AAS），,AB=EH=EB+AM；,如图BAE+AEB=90，AEB+HEF=90，,BAE=HEF，,在ABE及EHF中，,，,ABEEHF（AAS），,AB=EH，,BE=BH+EH=AM+AB；,D,B,A,C,E,F,图,2,M,A,M,B,F,图,3,D,E,C,88,（3）解：如图，AFM=15，AFE=45，EFM=60，,EFH=120，在EFH中，FHE=90，EFH=120，,此情况不存在；,如图，AFM=15，AFE=45，EFH=60，,ABEEHF，EAB=EFH=60，,，AB=BEtan60=，,AB=EB+AM，AM=ABEB=；,如图，AFM=15，AFE=45，,EFH=4515=30，AEB=30，,AB=BEtan30=，,BE=AM+AB，AM=BEAB=，,故答案为：,A,D,M,H,E,B,图,1,F,C,D,B,A,C,E,F,图,2,M,A,M,B,F,图,3,D,E,C,H,H,89,25,（,12,分）（,2015,锦州）如图,，,QPN,的顶点,P,在正方形,ABCD,两条对角线的交点处，,QPN=,，将,QPN,绕点,P,旋转，,旋转过程中,QPN,的两边分别及正方形,ABCD,的边,AD,和,CD,交于,点,E,和点,F,（点,F,及点,C,，,D,不重合）,（,1,）如图,，当,=90,时，,DE,，,DF,，,AD,之间满足的数量关系是；,（,2,）如图,，将图,中的正方形,ABCD,改为,ADC=120,的菱形，,其他条件不变，当,=60,时，（,1,）中的结论变为,DE+DF=AD,，,请给出证明；,（,3,）在（,2,）的条件下，若旋转过程中,QPN,的边,PQ,及射线,AD,交于点,E,，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，,DE,，,DF,，,AD,之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明,B,A,C,D,P,E,Q,F,N,B,A,D,Q,E,C,F,N,M,B,A,C,D,F,E,P,P,N,Q,M,90,解：（,1,）正方形,ABCD,的对角线,AC,，,BD,交于点,P,，,PA=PD,，,PAE=PDF=45,，,APE+EPD=DPF+EPD=90,，,APE=DPF,，,在,APE,和,DPF,中,APEDPF,（,ASA,），,AE=DF,，,DE+DF=AD,，,（,2,）如图,，取,AD,的中点,M,，连接,PM,，,四边形,ABCD,为,ADC=120,的菱形，,BD=AD,，,DAP=30,，,ADP=CDP=60,，,MDP,是等边三角形，,PM=PD,，,PME=PDF=60,，,PAM=30,，,MPD=60,，,QPN=60,，,MPE=FPD,，,91,在,MPE,和,FPD,中，,MPEFPD,（,ASA,）,ME=DF,，,DE+DF=AD,，,（,3,）如图，,在整个运动变化过程中，,当点,E,落在,AD,上时，,DE+DF=AD,，,当点,E,落在,AD,的延长线上时，,DE+DF,逐渐增大，当点,F,及点,C,重合时,DE+DF,最大，,即,AD,DE+DF AD,92,28.(2015绥化）如图1，在正方形,ABCD,中，延长,BC,至,M,使,BM,=,DN,连接,MN,交,BD,延长线于点,E,.,(1)求证：,